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2024-2025学年陕西省商洛市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数在复平面上的第象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2.已知向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知正三棱台的上、下底面边长分别为，，高为，则该三棱台的体积为( )
A. B. C. D.
5.先将函数的图象上所有点的横坐标扩大为原来倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的对称中心为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.圆锥中，轴截面为正三角形，、为底面圆的两条相互垂直的直径，点为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别是，，，且，，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.在梯形中，，，，点在线段上，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校调查学生对学校食堂意见情况，该学校分高一，高二，高三三个年级，统计可得这三个年级的人数比例为：：现用分层随机抽样的方法从这些学生中抽取名学生进行调研，若高一年级抽到人，则( )
A. 高二年级抽到人 B. 高三年级抽到人
C. D. 抽取的高二与高三人数之和比高一多人
10.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，的平分线交于点，则下列说法正确的是( )
A. 外接圆的而积为
B. 若与的面积比为：，则
C. 若，则为直角三角形
D. 周长的最小值为
11.如图，正方体的棱长为，，，分别是，，的中点，是线段上的动点包括端点，则下列说法中正确的是( )
A. 直线与所成角的余弦值的最大值为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 存在点，使，，，四点共面
D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现用随机数表的方法选出名学生参与班级工作，该班级一共名学生，学生编号分别为，，，，随机数表的第行和第行如下：
若从表中第行第列开始向右依次读取数据，则抽取得到的第名学生的编号是______．
13.已知梯形用斜二测画法得到的直观图为如图所示，其中，，则梯形的面积为______．
14.已知四面体中，，，点为该四面体外接球的球心，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，满足，，．
求向量，夹角的大小；
求的值；
求向量与夹角的余弦值．
16.本小题分
已知函数，且函数为最小正周期为的周期函数．
求函数的解析式；
求函数在上的值域；
若，其中，求的值．
17.本小题分
某市举行了数学竞赛选拔考试，参加的学生众多，为了解本次考试的成绩分布情况，抽取出名学生的成绩进行分析，绘制成如图所示的频率分布直方图．
求的值；
估计这名学生成绩的平均数和第百分位数；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，若成绩在中的平均数和方差分别为和，成绩在中的平均数和方差分别为和，请据此估计这两组成绩总体的方差．
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，；；，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差．
18.本小题分
如图，在平面凸四边形中，对角线与相交于点，，，，．
求的值；
求；
求四边形的面积．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上．
求；
若平面，求三棱锥的体积；
若二面角的大小为，求．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
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6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.由于平面向量，满足，，，
故，由于，
所以向量，夹角的大小为；
由已知条件得：
；
由已知条件得：．
16.函数
，
因为函数的最小正周期为，所以，解得，
所以函数；
因为，所以，
根据正弦函数的图象与性质知，，
所以函数在上的值域为；
若，则，即，
又因为，所以，
所以，
所以
．
17.由图可得，解之可得；
根据题意知，
，，
设第百分位数为，所以，，解之可得，
故这名学生的成绩平均数为，第百分位数为；
设，中成绩的平均数、方差分别为，，，，
且两组的频率之比为，
则，中成绩的平均数为，
所以，中成绩的方差为
，
则，中成绩的方差为．
18.因为，且，
所以，为的平分线，可得；
由可知，所以，
因为，
可得，
所以，解得；
取中点，连接，因为，所以，
由，可得，
所以．
19.证明：因为平面，平面，所以平面平面，
又因为，平面，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以三角形为直角三角形，
所以，即．
连接与交于点，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，可知为的中点，而平面，平面，因此，
在三角形中，，，，
所以，，，
所以
．
根据题意知平面，过点作的平行线交于点，
所以平面，再作为垂足，
由于平面，因此，而，，平面，
因此平面，而平面，因此，
所以为二面角的平面角，，
根据第二问可知，因此三角形是等腰直角三角形，
同理三角形也是等腰直角三角形，从而，
在三角形中，，，所以，
设，，那么且，
所以，所以．
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