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2024-2025 学年河北省保定市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |( 3)( + 8) < 0}， = { | ∈ }，则 ∩ =( )
A. ( 3,3) B. ( ∞, 3) ∪ (3, + ∞)
C. ( 8,8) D. ( ∞, 8) ∪ (8, + ∞)
2.已知随机变量 ～ (17, 2)，且 ( 19) = 0.65，则 ( < 15) =( )
A. 0.25 B. 0.45 C. 0.15 D. 0.35
3.(2 3 )
4的展开式中 2的系数为( )
A. 216 B. 216 C. 96 D. 96
4.已知 = 0.90.1， = log 21.11.2， = ，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.某校当天的新增感冒人数 与温差 (单位：℃)的 5 组数据如下表：
5 7 8 9 11
9 17 20

由于保存不善，有两个数据模糊不清，用 ， 代替，已知 关于 的经验回归方程为 = 1.8 + 0.6，则
+ =( )
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
6.若函数 ( ) = 2 (2 + 6 ) 在 上单调递减，则 的取值范围为( )
A. [4, + ∞) B. [ 4, + ∞) C. [2, + ∞) D. [ 2, + ∞)
2 2
7.已知 0 < < 1 < ，且 + = 2 +2，则 1+ 的最小值为( )
A. 8 B. 4 + 2 2 C. 5 + 2 2 D. 6 + 2 2
8 4 .若要用铁皮制作一个容积为 33 的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积的最小值为( )
A. 2 2 2 B. 2 3 2 C. 4 2 D. 2 5 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 的分布列为
1 2 4 5
0.2 0.35 0.3
下列结论正确的是( )
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A. = 0.15 B. ( ) = 2.5 C. (2 ) = 6 D. ( ) = 2
10.已知(5 1)9 = 0 + 1 + 2 2 + + 99 ，则( )
A. 0 = 1
B. 2 = 900
C. (5 1)9的展开式的二项式系数之和为49
9 9
D. 0 + 2 + + 8 =
4 6
2
| |, > 0,
11.已知函数 ( ) = ( 1 ) , 0, ( ) =
2 + 2| | + 3， ( ) = ( ( )) ，则下列结论正确的是( )
2
A.当 = 0 时， ( )有 1 个零点
B.当 0 < < 1 时， ( )有 4 个零点
C. ( )可能有 6 个零点
D.当 ( )的零点个数最多时， 的取值范围为( 3, 4)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某校举办运动会，甲参加跑步比赛、跳绳比赛(这两个比赛不能同时参加)的概率分别为 0.6，0.4，若甲
参加跑步比赛获奖的概率为 0.7，参加跳绳比赛获奖的概率为 0.6，则甲获奖的概率为______．
13.已知函数 ( ) = 13
2 3 52
2 + 6 的极小值点为 1，则 = ______．
14.在由数字 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成的三位数(数字可以重复)中，能被 3 整除的三位数的个
数为______，能被 3 整除且不含数字 0 的三位数的个数为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
为了研究高二学生的性别与身高是否大于 165 的关联性，现随机调查了某中学的 80 名高二学生，整理得
到如下列联表：
男 女 合计
不低于 165 30 25 55
低于 165 10 15 25
合计 40 40 80
(1)依据 = 0.1 的独立性检验，能否认为该中学高二学生的性别与身高是否大于 165 有关联？
(2)从身高不低于 165 的 55 名学生中任选 2 人，求这 2 人性别不同的概率．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
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0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16.(本小题 15 分)
3 名数学小组成员(包括甲、乙)和 4 名语文小组成员站成两排拍照，第一排站 3 人，第二排站 4 人．
(1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数；
(2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数；
(3)若语文小组成员分成两排站(每排至少站 1 人)，求不同的排法种数．
17.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = 2 2 + (3 )
3 ， ( ) = 2 2 2 ．
(1)若曲线 = ( )在点(0, 72 )处的切线与曲线 = ( )在点(0,0)处的切线平行，求 的值；
(2)若 ( )有最小值，且 ( )的最小值大于 ( )的最小值，求 的取值范围．
18.(本小题 15 分)
某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额 5%的代金券(例如：消费 200 元，则赠送 200 ×
5% = 10 元的代金券)；方案二，消费每满 100 元可进行一次抽奖(例如：消费 370 元可进行三次抽奖)，每
次抽奖抽到 10 元代金券的概率为 (0 < < 1)，抽到 4 元代金券的概率为 1 ，每次抽奖结果互不影响.
每人只能选择一种方案．
(1) 3若甲的消费金额为 210 元，他选择方案二且抽到 14 元代金券的概率为8，求 ；
(2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为 元，当 ( ) + ( )最大时，求 ；
(3)若 = 13，请你根据顾客消费金额(消费金额大于 0)的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客
选择方案．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( )与 ( )，若存在 ， ∈ ，使得 ( ) + ( ) = 0，则称点( , )为 ( )与 ( )的一个“关键点”．
(1)请写出函数 ( ) = 12 与 ( ) = sin( 1) + 的一个“关键点”的坐标(不需要证明)．
(2)判断函数 ( ) = 2与 ( ) = 是否存在“关键点”.若存在，求出该“关键点”的坐标；若不
存在，请说明理由．
(3) +1 2已知函数 ( ) = +1 和 ( ) = 的一个“关键点”的坐标是( , )，且 + ∈ (0,2)，证明： 1 <
3
< 2 +4 3 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.66
13.3
14.300 243
15.(1) 2 = 80×(30×15 10×25)
2 16
根据题意可知， 40×40×25×55 = 11 ≈ 1.455 < 2.706，
所以不能认为该中学高二学生的性别与身高是否大于 165 有关联；
(2)从身高不低于 165 的 55 名学生中任选 2 人，
12 2 1 1 2 = 30
1 50
若 人的性别不同，即 人中 男 女，则这 人性别不同的概率 25 = ．
255 99
16.(1)3 名数学小组成员(包括甲、乙)和 4 名语文小组成员站成两排拍照，第一排站 3 人，第二排站 4 人．
又数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，
则不同的排法种数为： 33 44 = 6 × 24 = 144．
(2)根据题意，分甲、乙站在第一排和第二排两种情况：
①甲、乙站在第一排：
选 1 人在甲、乙中间： 15，
甲、乙二人插空排法： 22，
第二排 4 人全排： 44，
1 2 45 2 4 = 5 × 2 × 24 = 240，
②甲、乙站在第二排：
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选 2 人与甲、乙站在第二排： 25，
甲、乙二人插空排法： 23，
第一排 3 人全排： 33，
2 2 2 35 2 3 3 = 10 × 2 × 6 × 6 = 720，
所以总共排法为：240 + 720 = 960．
(3)利用间接法：语文小组成员分成两排站(每排至少站 1 人) =总排法 语文小组成员全在第二排．
即 77 3 43 4 = 5040 144 = 4896．
17.(1)因为 ( ) = 1 2 2 + (3 ) 3 ， ( ) = 2
2 2 ，
所以 ′( ) = 2 + (3 ) 3 ， ′( ) = 4 2 ，
所以 ′(0) = 4 4 ， ′(0) = 2 ，
根据题意可知 ′(0) = ′(0)，所以 4 4 = 2 ，
所以 = 2；
(2)函数 ( )， ( )的定义域均为 ，
由(1)可知： ′( ) = 2 + (3 ) 3 = ( + 3)( )，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0 在 上恒成立，所以函数 ( )在 上单调递增，没有最值；
当 > 0 时，令 ′( ) > 0，则 > ；令令 ′( ) < 0，则 < ，
所以函数 ( )在( ∞, )单调递减，在( , + ∞)单调递增，有最小值 ( )．
因为 ( )有最小值，所以 > 0，
2
所以 ( ) = ( ) =
1 2
2 + (3 ) 3 = 3 3

2，
2
( ) 2 = ( 2 ) = 2( 2 ) 2 × 2 = 2，
2 2
则 3 3

2 >

2 0 < < ，
> 0
所以 的取值范围为(0, )．
18.(1)甲的消费金额为 210 元，选择方案二可进行两次抽奖，
14 3 1 3则抽到 元代金券的概率为 2 (1 ) = 8解得 = 4或4；
(2)设抽奖次数为 ( ∈ +)，抽到 10 元代金券的次数为 ，
则 ～ ( , )，得 ( ) = ， ( ) = (1 )，
因为 = 10 + 4( ) = 6 + 4 ，
所以 ( ) = 6 ( ) + 4 = 6 + 4 ，
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( ) = 36 ( ) = 36 (1 )，
( ) + ( ) = 6 + 4 + 36 (1 ) = ( 36 2 + 42 + 4)，
当 = 42 72×( 36) = 12时， ( ) + ( ) =
7
取得最大值，所以 12；
(3)①当消费金额(单位：元)在(0,100)内时，不能参与方案二，只能选择方案一，
由(2)可得，当 = 13时， ( ) = 6 ×
1
3 + 4 = 6 ，
设消费金额为 100 + ( ∈ , 0 ≤ < 100)，方案一的代金券的数学期望为 5 + 0.05 ( ∈ , 0 ≤ <
100)；
②当消费金额(单位：元)在[100,120)或[200,240)或[300,360)或[400,480)或[500, + ∞)内时，6 > 5 +
0.05 ( ∈ , 0 ≤ < 100)，选择方案二；
③当消费金额(单位：元)为 120 或 240 或 360 或 480 时，6 = 5 + 0.05 ( ∈ , 0 ≤ < 100)，选择方
案一、方案二都可以；
④当消费金额(单位：元)在(120,200)或(240,300)或(360,400)或(480,500)内时，6 < 5 + 0.05 ( ∈
, 0 ≤ < 100)，选择方案一；
综上，当消费金额(单位：元)在(0,100)或(120,200)或(240,300)或(360,400)或(480,500)内时，选择方案一；
当消费金额(单位：元)在[100,120)或[200,240)或[300,360)或[400,480)或[500, + ∞)内时，选择方案二；
当消费金额(单位：元)为 120 或 240 或 360 或 480 时，选择方案一、方案二都可以．
19.(1) 1设 ( ) + ( ) = 0，那么有 2 + sin( 1) + = 0，
1
因此满足 2 + sin( 1) + = 0 由的点( , )都是函数 ( )与 ( )的一个“关键点”，
对(4,1) 1，那么有 2 × 2+ 0 + 1 = 0，因此点(4,1)符合要求；
(2)根据题意得函数 ( )的值域为[0, + ∞)，函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，
1 +1
导函数 ′( ) = ( + 1) 1 = ( 1)．
令函数 ( ) = 1，那么导函数 ′( ) = ( + 1) > 0，因此函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
由于 (1) = 1 > 0， (0) = 1 < 0，
因此函数 ( )在(0, + ∞)上存在唯一零点 0，且 0 ∈ (0,1)．
当 ∈ ( 0, + ∞)时， ( ) > 0， ( )在( 0, + ∞)上单调递增，
当 ∈ (0, 0)时， ( ) < 0， ( )在(0, 0)上单调递减，
因此 ( ) ≥ ( 0) = 0 0 0 0，
根据 ( 0) = 0，得 0 0 1 = 0，得 0 0 = 1，即 0 + 0 = 0，
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因此 ( 0) = 0 0 0 0 = 1，得 ( ) ≥ 1．
又函数 ( ) ≥ 0，因此不存在 ， ∈ ，使得 ( ) + ( ) = 0，因此 ( )与 ( )不存在“关键点”；
(3) ( ) = +1证明：设函数 = ，那么函数 ( ) =
+1 = ，得 + 1 = ①， = 1②，
① ②得 + 1 = ( + 1)，① +②得 + + 1 = ( 1)，
1
由 + ∈ (0,2)，得 + + 1 ∈ (1,3) +1 + ，那么 + +1 = 1，
+ 1 + +1+1
那么 + 1 = 1 ( + + 1) = + +1 1 ( + + 1)．
2
设函数 ( ) = ( +1) 1 , ∈ (1, 3)，那么导函数 ′( ) =
2 1
( 1)2 ，
设函数 ( ) = 2 2 1，那么导函数 ′( ) = 2 2 2 2 = 2 ( 1)．
令 ( ) = 1，由于导函数 ′( ) = 1 > 0，因此函数 ( )在(1,3)上单调递增．
根据 ( ) > (1) > 0，得导函数 ′( ) > 0，得函数 ( )在(1,3)上单调递增，
由 ( ) > (1) > 0，得 ( )在(1,3)上单调递增，
3
(1) = +1 < ( ) < (3) < 3( +1) +1 < + 1 < 3(
3+1)
所以 1 3 1 ，则 1 3 1 ．
2 3
故 1 < <
2 +4
3 1．
第 7页，共 7页

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