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2024-2025 学年山西省晋中市榆社等三地高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { || | < 3}， = { ∈ | 2 < 11}，则 ∩ =( )
A. { 2, 1,0,1,2,3} B. {0,1,2}
C. {1,2,3} D. {1,2}

2.已知 的共轭复数是 ，且| | = + 1 2 ( 为虚数单位)，则复数 的虚部为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
3.“ = 0”是“|3 + 2 | = |3 2 |”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.下列说法中正确的是( )
A.过三个点有且只有一个平面
B.四边形可以确定一个平面
C.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行
D.若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点
5.若 2 ( 2 ) = + ，则 ， 的关系是( )
A. = B. = 2 C. = 4 D. = 或 = 4
6.给图中五个区域染色，有 4 种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染
色方法有( )
A. 216 种
B. 192 种
C. 180 种
D. 168 种
7.已知 1、 2为椭圆与双曲线的公共焦点， 为它们的一个公共点，且∠ 1 2 = 60°.则该椭圆与双曲线的
离心率之积的最小值为( )
A. 3 33 B. 2 C. 1 D. 3
8 5.已知 , ∈ (0, 2 )，cos( + ) = 13， 2 2 =
6
13，则 2 =( )
A. 63 B. 3316 16 C.
33 63
56 D. 56
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.若随机变量 服从正态分布 (3, 2)，且 ( ≤ 4) = 0.7，则 (3 < < 4) = 0.2
B.一组数据 10，11，11，12，13，14，16，18，20，22 的下四分位数为 18
C.若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱
D. (2 2 1若 ) 展开式的二项式系数之和为 32，则展开式中
4项的系数为 80
10.已知函数 ( ) = ( + ) 2( > 0, > 0, | | < 2 )，若函数 = | ( )|的部分图象如图所示，则关
于函数 ( ) = ( + )的结论正确的是( )
A. ( ) = 4
B. = 直线 12是函数 ( )图象的对称轴
C. ( ) 3 在[ 2 , 4 ]上单调递增
D.函数 ( ) 的图象可由函数 ( )的图象先向左平移4个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到
11.已知过点 (1,0)的直线 与动圆 ： 2 + 2 2 = 0( < 0)相切，切点为 ，记点 的轨迹为曲线 ，则
( )
A.曲线 经过原点 B.曲线 是轴对称图形
C.点( 1 , 32 2 )在曲线 上 D.曲线 在第二象限的点的纵坐标有最大值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.一个金属模具的形状、大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩
余的部分.那么该模具的体积为______．
2 + + 2, ≤ 1
13.已知函数 ( ) = 1 , > 1 在
上单调递减，则实数 的取值范围
3
为______．
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14 △
2

2
.已知 1 2的顶点 1， 2分别为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，点 在 的右支上，
且 1与
3
的一条渐近线垂直，记 的离心率为 ，若 tan∠ 1 2 = 3 ，则
2 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记 为正项等比数列{ }的前 项和，已知 6 = 63， 5 + 4 = 8( 2 + 1).
(1)求{ }的通项公式；
(2)设 = 2 ，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中，点 ， 分别在棱 1， 1上， = 1， = 2， 1 = 3， =
1
2，
1 = 2．
(1)证明： ⊥ 1E.
(2)求平面 1 与平面 1 1 的夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节. 2025 年报考该试点高校的学生的笔试成绩 ′近似
服从正态分布 ( , 2).其中， 近似为样本平均数， 2近似为样本方差 2.已知 的近似值为 76.5， 的近似值
为 5.5，以样本估计总体．
(1)若笔试成绩高于 76.5 进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取 10 人，设其中进入面试学生数
为 ，求随机变量 的期望．
(2) 1 1 1 1现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为3、 3、 2、 2 .设这 4 名学生中
通过面试的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
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参考数据：若 ～ ( , 2)，则： ( < ≤ + ) ≈ 0.6827； ( 2 < ≤ + 2 ) ≈ 0.9545； (
3 < ≤ + 3 ) ≈ 0.9973．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + ( 2) ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 ( )有两个零点， ′( )为 ( )的导函数．
( )求实数 的取值范围；
( )记 ( )较小的一个零点为 0，证明： 0 ′( 0) > 2．
19.(本小题 17 分)
已知向量 = ( , ) 绕着原点 沿逆时针方向旋转 角可得到向量 ′ = ( ( + ), ( +
))．
(1) 求点 ( 2, 0)绕着原点 沿逆时针方向旋转4得到的点 ′的坐标；
(2) 若曲线 上的所有点绕着原点逆时针方向旋转4得到曲线 ′对应的方程为 5 ′
2 + 5 ′2 2 ′ ′ =
24，
( )求曲线 的方程；
( )设直线 过定点( 2, 0)与曲线 交于点 ， ，直线 过定点( 2, 0)与曲线 交于点 ， ，且 ⊥ ，求 ，
， ， 四点构成的四边形面积的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.8
13.[ 83 , 2]
14.13 6 3
15.(1)设正项等比数列{ }的公比为 ( > 0)，
因为 + = 35 4 ( 2 + 1) = 8( 2 + 1)，
所以 3 = 8，解得 = 2．
1(1 6 = ) = 1(1 2
6)
又 6 1 1 2 = 63，
所以 1 = 1， = 2 1；
(2)由题知 = 2 = 2 ，
所以 = 1 × 21 + 2 × 22 + 3 × 23 + + × 2 ，
2 = 1 × 22 + 2 × 23 + 3 × 24 + + × 2 +1，
= 2 + 22 + 23 + + 2 × 2 +1 = 2(1 2
)
两式相减得 1 2 × 2
+1
= (1 )2 +1 2，
所以 = ( 1)2 +1 + 2．
16.(1)证明：以 1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (2,0,2)， (0,1, 52 )， 1(2,1,0)，
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所以 = ( 2,1, 12 )， 1 = (0, 1,2)，
1
所以 1 = 1 + 2 × 2 = 0，
所以 ⊥ 1E.
(2)解：由(1)知 = ( 2,1, 1 2 )， 1 = (0, 1,2)，
= 2 + + 1 = 0
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，则 2 ，
1 = + 2 = 0
取 = 4，则 = 8， = 5，所以 = (5,8,4)，
易知平面 1 1 的一个法向量为 = (0,1,0)，
cos < >= = 8 = 8 105所以 ， | | | | ，25+64+16×1 105
故平面 1 与平面
8 105
1 1 的夹角的余弦值为 ．105
17.(1) 1由 ≈ 76.5，可得 ( > 76.5) = 2，
1
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取 1 人，该学生笔试成绩高于 76.5 的概率为2
1 1
所以随机变量 服从二项分布 ～(10, 2 )，故随机变量 的期望为： ( ) = 10 × 2 = 5；
(2)根据题目 的可能取值为 0，1，2，3，4，
( = 0) = 02 × (1
1 2 0 1 2
3 ) × 2 × (1 2 ) =
1
9，
( = 1) = 1 × 12 3 × (1
1
3 ) ×
0 1 2 0 1 2
2 × (1 2 ) + 2 × (1 3 ) ×
1 × 12 2 × (1
1
2 ) =
1
3，
( = 2) = 2 1 2 0 1 2 1 1 12 × ( 3 ) × 2 × (1 2 ) + 2 × 3 × (1 3 ) ×
1 × 1 × (1 1 ) + 0 1 2 2 1 22 2 2 2 × (1 3 ) × 2 × ( 2 ) =
13
36，
( = 3) = 2 1 2 1 12 × ( 3 ) × 2 × 2 × (1
1
2 ) +
1 × 12 3 × (1
1
3 ) ×
2 1 2 1
2 × ( 2 ) = 6，
( = 4) = 2 × ( 1 )2 × 22 3 2 × (
1 )2 12 = 36，
因此 的分布列为：
0 1 2 3 4
1 1 13 1 1
9 3 36 6 36
( ) = 0 × 1+ 1 × 1 + 2 × 13 + 3 × 1 + 4 × 1因此 9 3 36 6 36 = 0 + 1 +
13 1 1 5
18 + 2 + 9 = 3．
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18.(1) ( )的定义域为(0, + ∞)，
导函数 ′( ) = 2 + ( 2) 1 ( 1)(2 +1) = ，
①当 ≤ 0 时，导函数 ′( ) < 0， ( )在区间(0, + ∞)单调递减；
②当 > 0 1时，令导函数 ′( ) = 0，解得 = ，
当 ∈ (0, 1 )时，导函数 ′( ) < 0， ( )单调递减；
∈ ( 1当 , + ∞)时，导函数 ′( ) > 0， ( )单调递增．
综上所述，当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)单调递减；
当 > 0 时， ( ) 1在( , + ∞)单调递增，在(0,
1
)上单调递减．
(2)( )若 ≤ 0，根据第一问知，函数 ( )至多有一个零点；
> 0 1 1 1若 ，根据第一问知，当 = 时，函数 ( )取得最小值为 ( ) = 1 + ．
1 1
由于当 ∈ ( , + ∞)时，函数 ( ) ∈ (1 + , + ∞)；
当 ∈ (0, 1 )时，函数 ( ) ∈ (1
1
+ , + ∞)，
( ) ( 1因此 有两个零点当且仅当 ) < 0．
设函数 ( ) = 1 + 1， ( )在区间(0, + ∞)单调递增．
由于 (1) = 0， ( ) < 0 的解集为 ∈ (0,1)．
综上所述， 的取值范围是(0,1)．
( )证明：由于函数 ( ) = ( 2 + ) 2 ，根据 (1) = 2 2 < 0，结合( )知 0 < 0 < 1，
要证 0 ′( 0) > 2，那么即证(2 0 + 1)( 0 1) > 2，即 0(2 0 + 1) > 2 0 1，
当 0 < 10 ≤ 2时，由于 0(2 0 + 1) > 0，2 0 1 ≤ 0，不等式恒成立；
1
当2 < 0 < 1 时，根据 ( 0) = 0，得 0( 0 + 1) = 0 + 2 0．
即证(2 0 + 1)( 0 + 2 0) > (2 0 1)( 0 + 1)．
> (2 0 1)( +1) 2
2 1 1
即证 0 0 00 2 2 0 =0+1 2 0+1
= 0 2 0+1
．
1
即证 0 + 0 + 2 0+1
> 0．
设 ( ) = + + 1 12 +1， ∈ ( 2 , 1)，
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由 ′( ) = 1 2 1 2 + 1 (2 +1)2 > + 1 (2×1 2
> 0，
2+1)
所以 ( )在( 12 , 1)
1
单调递增．所以 ( ) > ( 2 ) = 2 + 1 > 0，故原不等式成立．
所以 0 ′( 0) > 2．
19.(1)因为 ( 2, 0) 2 = 2 0 ，即 ，绕着原点 沿逆时针方向旋转 得到的点 ′( , )，
0 = 2 0 4 0 0
0 = 2cos(0 +

4 ) = 1则 ，
0 = 2sin(0 +

4 ) = 1
所以 ′(1,1)；
(2)( ) 将曲线 绕着原点 沿逆时针方向旋转4得到曲线 ′，
设 ′( ′, ′)为曲线 上点 ( , )旋转后的对应点，
=
设 = ，
′ = ( + 24 ) = 2 ( ) =
2
2 ( )则 ，
′ = ( + 24 ) = 2 ( + ) =
2
2 ( + )
又因为 5 ′2 + 5 ′2 2 ′ ′ = 24，
5 5 2 2
所以 ( )2 + 22 2 ( + ) (
2 2) = 24，整理得 6 + 4 = 1；
2 2
( )依题意， 与 交点满足 2 + 2 = 2 ，且在椭圆 6 + 4 = 1 内部，
当 与 重合时，| | = 2 6，| | = 4 63 ，
1
四边形 = 2 | || | = 8；
当 与 不重合时，设直线 ： = 2，与椭圆的交点为 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2
联立 6
+ 4 = 1 ，整理得(2 2 + 3) 2 4 2 8 = 0，
= 2
+ 4 2 8则 1 2 = 2 2+3 , 1 2 = 2 2+3，
2
所以| | = 1 + 2 ( 4 2 )2 4 × 8 = 96 1+ 2 2+3 2 2+3 2 2+3，
2
同理可得| | = 96 1+ 2+3 2，
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= 1
2
| || | = 48 (1+ )
2 (1+ 2)2 192
四边形 2 (2 2+3)(2+3 2) ≥ 2 2 = ，(2 +3+2+3 )2 252
当且仅当 2 2 + 3 = 2 + 3 2，即 2 = 1 时取等号，
192 192
因为 25 < 8，即 ， ， ， 四点构成的四边形面积的最小值为 25．
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