资源简介

2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式.
2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题.
1.两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式
两角和 的正弦 Sα+β sin(α+β)=　　　　　　　　
两角差 的正弦 Sα-β sin(α-β)=　　　　　　　　
|微|点|助|解|
1.两角和与差的正弦公式的结构特征
(1)公式中的角α,β都是任意角.
(2)一般情况下,两角和与差的正弦不能按分配律展开,即sin(α±β)≠sin α±sin β.
2.注意公式的逆向运用和变形运用
(1)公式的逆用:如sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α.
(2)公式的变形运用:变形运用涉及两个方面,一个是公式本身的变形运用,如sin(α-β)+cos αsin β=sin αcos β;一个是角的变形运用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现.
2.两角和与差的正切公式
名称 简记 符号 公式 使用条件
两角和 的正切 Tα+β tan(α+β)=　　　　 α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)且tan αtan β≠1
两角差 的正切 Tα-β tan(α-β)=　　　　 α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且tan αtan β≠-1
|微|点|助|解|
公式Tα±β的结构特征和符号规律
(1)使用条件:在两角和与差的正切公式中,角α,β,α+β,α-β均不等于kπ+(k∈Z),这是由正切函数的定义域决定的.
(2)结构特征:公式Tα±β的右侧为分式形式,其中分子为tan α 与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和.
(3)符号规律:分子同,分母反.
3.常用结论
(1)变形公式
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β);
tan αtan β=1-.
(2)公式的特例
tan=;tan=.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦公式中,角α,β是任意的. (　 )
(2)sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立. (　 )
(3)sin 54°cos 24°-sin 36°cos 66°=. (　 )
2.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)= (　 )
A. B.-
C.3 D.-3
3.sin(30°+45°)=　　　　.
题型(一)　给角求值
[例1]　求下列各式的值:
(1)cos 105°+sin 195°;
(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°;
(3)sin-cos;
(4);
(5)tan 15°+tan 30°+tan 15°tan 30°.
听课记录:
|思|维|建|模|
1.解决给角求值问题的策略
(1)注意分析式子的结构特点,合理选择正、余弦的和差角公式.
(2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用.
(3)注意非特殊角与特殊角间的联系及将特殊值转化为特殊角三角函数.
(4)注意对角的变形,即合理拆角或凑角.
2.公式的逆用和特殊角三角函数的逆用
当式子中出现,1,,这些特殊角的三角函数值时,往往就是“由值变角”的一种提示,可以根据问题的需要,将常数用三角函数式表示出来,以构成适合公式的形式,从而达到化简的目的.
　　[针对训练]
1.求下列各式的值:
(1)sin 795°;
(2);
(3)tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°.
题型(二)　条件求值
[例2]　(1)(2024·全国甲卷)已知=,则tan= (　 )
A.2+1 B.2-1
C. D.1-
(2)已知α∈,β∈,且cos(α-β)=,sin β=-,求α.
听课记录:
|思|维|建|模|
条件求值、角问题的求解思路
(1)根据已知角与未知角之间的联系,运用拆角和凑角技巧、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式进行变形,化未知为已知,从而达到求解的目的.
(2)当角之间符合规律+=+(α+β),+=+(α-β)时,要配合使用诱导公式.
(3)在给值求值、角的问题中要注意隐含条件,尤其是角的取值范围.
(4)可以通过对条件等式的运算,得到cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β,cos αsin β,tan α±tan β,tan αtan β 这些结构的值,把它们看作整体,直接代入公式求解.
　　[针对训练]
2.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin 2α=　　　　.
3.已知A,B都是锐角,且tan A=,sin B=,则A+B=　　　　.
题型(三)　和(差)角公式的综合应用
[例3]　化简或求值:
(1)sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°);
(2).
听课记录:
|思|维|建|模|
化简三角函数式的要求、方法
(1)标准和要求:
①能求出值的应求出值;
②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少;
③使三角函数式的次数尽可能低;
④使分母中尽量不含三角函数式和根式.
(2)常用方法:
①切化弦;②异名化同名;③异角化同角;④高次降低次.
　　[针对训练]
4.已知在锐角三角形ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(1)求证:tan A=2tan B;
(2)求tan A的值.
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
课前预知教材
1.sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β
2.　
[基础落实训练]
1.(1)√　(2)×　(3)√　2.A　3.
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1]　解:(1)cos 105°+sin 195°
=cos(90°+15°)+sin(180°+15°)
=-sin 15°-sin 15°=-2sin 15°
=-2sin(45°-30°)
=-2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)
=-2=.
(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°
=sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°)
=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°
=sin(14°+16°)=sin 30°=.
(3)法一:sin-cos
=2
=2
=-2cos=-2cos
=-2×=-.
法二:sin-cos
=2
=2
=-2sin
=-2sin=-2×=-.
(4)原式==tan(60°+15°)
=tan 75°=tan(30°+45°)
===2+.
(5)∵tan 45°==1,
∴tan 15°+tan 30°=1-tan 15°tan 30°.
∴原式=(1-tan 15°tan 30°)+tan 15°tan 30°=1.
[针对训练]
1.解:(1)sin 795°=sin(2×360°+75°)
=sin 75°=sin(45°+30°)
=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°
=×+×=.
(2)∵tan 15°=tan(45°-30°)
===2-,
∴=
===-.
(3)tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°
=tan(10°+50°)(1-tan 10°tan 50°)+tan 10°tan 50°=-tan 10°tan 50°+tan 10°tan 50°=.
[题型(二)]
[例2]　解析:(1)选B　根据题意有=,即1-tan α=,所以tan α=1-,所以tan===2-1,故选B.
(2)∵α∈,β∈,
∴α-β∈(0,π).
∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)=.
∵β∈,sin β=-,
∴cos β=.
∴sin α=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
=×+×=.
又∵α∈,∴α=.
[针对训练]
2.解析:∵<β<α<,∴0<α-β<.
又cos(α-β)=,∴sin(α-β)=.
∵sin(α+β)=-,π<α+β<,
∴cos(α+β)=-.
∴sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-×-×=-.
答案:-
3.解析:∵B为锐角,sin B=,
∴cos B=.∴tan B=.
∴tan(A+B)=
==1.
∵0答案:
[题型(三)]
[例3]　解:(1)设α=θ+15°,
则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-cos α=+-cos α=0.
(2)原式=
==-
=-tan(α-β).
[针对训练]
4.解:(1)证明:sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,　①
sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.　②
①+②得sin Acos B=,
①-②得cos Asin B=.
∴=2.∴=2,
即tan A=2tan B.
(2)∵A+B+C=π,∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=.
∵△ABC是锐角三角形,∴cos C=.
∴tan C=.
又tan(A+B)=-tan C=-,
∴==-,解得tan B=或tan B=(舍去).∴tan A=2+
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2.2
两角和与差的正弦、正切
公式及其应用
(深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式.
2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等
问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式
两角和的正弦 Sα+β sin(α+β)=____________________
两角差的正弦 Sα-β sin(α-β)=____________________
sin αcos β+cos αsin β
sin αcos β-cos αsin β
|微|点|助|解|
1.两角和与差的正弦公式的结构特征
(1)公式中的角α,β都是任意角.
(2)一般情况下,两角和与差的正弦不能按分配律展开,即sin(α±β)≠
sin α±sin β.
2.注意公式的逆向运用和变形运用
(1)公式的逆用:如sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α.
(2)公式的变形运用:变形运用涉及两个方面,一个是公式本身的变形运用,如sin(α-β)+cos αsin β=sin αcos β;一个是角的变形运用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现.
2.两角和与差的正切公式
名称 简记 符号 公式 使用条件
两角和 的正切 Tα+β tan(α+β)= ____________ α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)且
tan αtan β≠1
两角差 的正切 Tα-β tan(α-β)= ____________ α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且
tan αtan β≠-1
|微|点|助|解|
公式Tα±β的结构特征和符号规律
(1)使用条件:在两角和与差的正切公式中,角α,β,α+β,α-β均不等于kπ+(k∈Z),这是由正切函数的定义域决定的.
(2)结构特征:公式Tα±β的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和.
(3)符号规律:分子同,分母反.
3.常用结论
(1)变形公式
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β);
tan αtan β=1-.
(2)公式的特例
tan=;tan=.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦公式中,角α,β是任意的. (　 )
(2)sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立. (　 )
(3)sin 54°cos 24°-sin 36°cos 66°=. (　 )
基础落实训练
√
×
√
2.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)=(　 )
A. B.-
C.3 D.-3
解析:原式===.
√
3.sin(30°+45°)=　　 　　.
解析:sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°
=×+×=.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　给角求值
[例1]　求下列各式的值:
(1)cos 105°+sin 195°;
解: cos 105°+sin 195°=cos(90°+15°)+sin(180°+15°)
=-sin 15°-sin 15°=-2sin 15°=-2sin(45°-30°)
=-2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=-2=.
(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°;
解:sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°
=sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°)
=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°
=sin(14°+16°)=sin 30°=.
(3)sin-cos;
解:法一:sin-cos=2
=2=-2cos=-2cos=-2×=-.
法二:sin-cos=2
=2=-2sin=-2sin=-2×=-.
(4);
解:原式==tan(60°+15°)=tan 75°=tan(30°+45°)
===2+.
(5)tan 15°+tan 30°+tan 15°tan 30°.
解:∵tan 45°==1,∴tan 15°+tan 30°=1-tan 15°tan 30°.
∴原式=(1-tan 15°tan 30°)+tan 15°tan 30°=1.
|思|维|建|模|
1.解决给角求值问题的策略
(1)注意分析式子的结构特点,合理选择正、余弦的和差角公式.
(2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用.
(3)注意非特殊角与特殊角间的联系及将特殊值转化为特殊角三角函数.
(4)注意对角的变形,即合理拆角或凑角.
2.公式的逆用和特殊角三角函数的逆用
当式子中出现,1,,这些特殊角的三角函数值时,往往就是“由值变角”的一种提示,可以根据问题的需要,将常数用三角函数式表示出来,以构成适合公式的形式,从而达到化简的目的.
针对训练
1.求下列各式的值:
(1)sin 795°;
解: sin 795°=sin(2×360°+75°)=sin 75°=sin(45°+30°)=
sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=×+×=.
(2);
解:∵tan 15°=tan(45°-30°)===2-,
∴====-.
(3)tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°.
解:tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°
=tan(10°+50°)(1-tan 10°tan 50°)+tan 10°tan 50°
=-tan 10°tan 50°+tan 10°tan 50°=.
题型(二)　条件求值
[例2]　(1)(2024·全国甲卷)已知=,则tan=(　 )
A.2+1 B.2-1
C. D.1-
解析:根据题意有=,即1-tan α=,所以tan α=1-,
所以tan===2-1,故选B.
√
(2)已知α∈,β∈,且cos(α-β)=,sin β=-,求α.
解析:∵α∈,β∈,∴α-β∈(0,π).∵cos(α-β)=,
∴sin(α-β)=.∵β∈,sin β=-,∴cos β=.
∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
=×+×=.又∵α∈,∴α=.
|思|维|建|模|
条件求值、角问题的求解思路
(1)根据已知角与未知角之间的联系,运用拆角和凑角技巧、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式进行变形,化未知为已知,从而达到求解的目的.
(2)当角之间符合规律+=+(α+β),+=
+(α-β)时,要配合使用诱导公式.
(3)在给值求值、角的问题中要注意隐含条件,尤其是角的取值范围.
(4)可以通过对条件等式的运算,得到cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β,
cos αsin β,tan α±tan β,tan αtan β 这些结构的值,把它们看作整体,直接代入公式求解.
针对训练
2.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin 2α=　　　　.
解析:∵<β<α<,∴0<α-β<.又cos(α-β)=,∴sin(α-β)=.
∵sin(α+β)=-,π<α+β<,∴cos(α+β)=-.
∴sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=
-×-×=-.
-
3.已知A,B都是锐角,且tan A=,sin B=,则A+B=　　　　.
解析:∵B为锐角,sin B=,∴cos B=.∴tan B=.
∴tan(A+B)===1.∵0题型(三)　和(差)角公式的综合应用
[例3]　化简或求值:
(1)sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°);
解:设α=θ+15°,
则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-cos α
=+-cos α=0.
(2).
解:原式==
=-=-tan(α-β).
|思|维|建|模|
化简三角函数式的要求、方法
(1)标准和要求:
①能求出值的应求出值;
②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少;
③使三角函数式的次数尽可能低;
④使分母中尽量不含三角函数式和根式.
(2)常用方法:
①切化弦;②异名化同名;③异角化同角;④高次降低次.
针对训练
4.已知在锐角三角形ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(1)求证:tan A=2tan B;
解:证明:sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,　①
sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.　②
①+②得sin Acos B=,①-②得cos Asin B=.
∴=2.∴=2,即tan A=2tan B.
(2)求tan A的值.
解:∵A+B+C=π,∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=.
∵△ABC是锐角三角形,∴cos C=.∴tan C=.
又tan(A+B)=-tan C=-,∴==-,
解得tan B=或tan B=(舍去).∴tan A=2+.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.sin 50°sin 80°-cos 130°sin 10°=(　 )
A.-
C.-
解析:原式=sin 50°cos 10°+cos 50°sin 10°=sin(50°+10°)=
sin 60°=.故选B.
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2.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则tan αtan β= (　 )
A.2 B.1
C. D.4
解析:因为tan(α+β)==4,所以1-tan αtan β=,即tan αtan β=.
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3.在△ABC中,A=,cos B=,则sin C=(　 )
A. B.-
C. D.-
解析:sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=
(cos B+)=×=.
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4.(多选)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,下列各式正确的是(　 )
A.A+B=2C B.tan(A+B)=-
C.tan A=tan B D.cos B=sin A
解析:∵C=120°,∴A+B=60°.∴2(A+B)=C,A错误.tan(A+B)=tan 60°=,
B错误.∵tan A+tan B=(1-tan Atan B)=,∴tan Atan B=　①.
又tan A+tan B=　②,联立①②,解得tan A=tan B=.又A+B=60°,
∴cos B=sin A,C、D正确.故选C、D.
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5.如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED= (　 )
A.
C.
解析:由题意知sin∠BEC=,cos∠BEC=,又∠CED=-∠BEC,所以sin∠CED=sincos∠BEC-cossin∠BEC=×-×=.
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6.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　.
解析:∵sin α+cos β=1,　①
cos α+sin β=0,　②
∴①2+②2,得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1.
∴sin αcos β+cos αsin β=-.
∴sin(α+β)=-.
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7.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表,这是世界数学史上较早的一张正切函数表,根据三角学知识可知,晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积,即l=h·tan θ.若对同一“表高”两次测量,“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记θ1,θ2),则tan(θ1+θ2)=　　　　.
解析:由题意l=h·tan θ,“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍时,tan θ1=2,
tan θ2=3,所以tan(θ1+θ2)===-1.
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8.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,
则sin=　　　　.
解析:依题意可将已知条件变形为sin[(α-β)-α]=-sin β=,sin β=-.
所以sin=sin βcos+cos βsin
=×+×=+=.
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9.(8分)已知锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(3,4).
(1)求sin的值;
解:因为角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(3,4),所以sin α=,cos α=.所以sin=sincos α+cossin α
=×=.
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(2)若锐角β满足cos(α+β)=-,求sin β的值.
解:因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π).
因为cos(α+β)=-<0,所以α+β∈.所以sin(α+β)=.
所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×+×=.
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10.(10分)已知tan=,tan=2,求:
(1)tan的值;
解:tan=tan
===-.
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(2)tan(α+β)的值.
解: tan(α+β)=tan===2-3.
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B级——重点培优
11.图1是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案,它是由一串直角三角形演化而成的(如图2),其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,则sin∠A6OA8=(　 )
A.
C.
√
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解析:∵OA1=A1A2=1,且△OA1A2是直角三角形,
∴OA2=,同理得OA6=,OA7=,OA8=.
∴sin∠A6OA7=,cos∠A6OA7=,sin∠A7OA8=,cos∠A7OA8=.
∴sin∠A6OA8=sin
=×+×=.
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12.已知向量a=,b=(4,4cos α-),若a⊥b,则sin=　　　　.
解析:因为a⊥b,所以a·b =4sin+4cos α-=0,
即2sin α+6cos α-=4sin-=0,则sin=.
所以sin=sin=-sin=-.
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13.已知cos α=,sin(α+β)=,0<α<,0<β<,则角β的值为　　　　.
解析:因为0<α<,cos α=,所以sin α=.又因为0<β<,
所以0<α+β<π.因为sin(α+β)=所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×
-×=.又因为0<β<,所以β=.
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14.(10分)已知tan=2.
(1)求tan α的值;
解:∵tan=2,∴==2,解得tan α=.
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(2)求的值.
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15.(14分)已知0<α<,sin=.
(1)求cos α的值;
解:∵0<α<,∴<α+<,∴cos>0,
∴cos==,
cos α=cos=coscos+sinsin=.
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(2)若-<β<0,cos(α-β)=,求cos β的值.
解:∵0<α<,-<β<0,∴0<α-β<,又cos(α-β)=,∴0<α-β<,
∴sin(α-β)>0,sin(α-β)==,结合(1)中数据知,
sin α=sin=sincos-cossin
==,∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+
sin α·sin(α-β)=.课时跟踪检测(三十四)　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.sin 50°sin 80°-cos 130°sin 10°= (　　)
A.-
C.-
2.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则tan αtan β= (　　)
A.2 B.1
C. D.4
3.在△ABC中,A=,cos B=,则sin C= (　　)
A. B.-
C. D.-
4.(多选)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,下列各式正确的是 (　　)
A.A+B=2C B.tan(A+B)=-
C.tan A=tan B D.cos B=sin A
5.如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED= (　　)
A.
C.
6.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　.
7.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表,这是世界数学史上较早的一张正切函数表,根据三角学知识可知,晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积,即l=h·tan θ.若对同一“表高”两次测量,“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记θ1,θ2),则tan(θ1+θ2)=　　　　.
8.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,则sin=　　　　.
9.(8分)已知锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(3,4).
(1)求sin的值;
(2)若锐角β满足cos(α+β)=-,求sin β的值.
10.(10分)已知tan=,tan=2,求:
(1)tan的值;
(2)tan(α+β)的值.
B级——重点培优
11.图1是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案,它是由一串直角三角形演化而成的(如图2),其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,则sin∠A6OA8= (　　)
A.
C.
12.已知向量a=,b=(4,4cos α-),若a⊥b,则sin=　　　　.
13.已知cos α=,sin(α+β)=,0<α<,0<β<,则角β的值为　　　　.
14.(10分)已知tan=2.
(1)求tan α的值;
(2)求的值.
15.(14分)已知0<α<,sin=.
(1)求cos α的值;
(2)若-<β<0,cos(α-β)=,求cos β的值.
课时跟踪检测(三十四)
1.选B　原式=sin 50°cos 10°+cos 50°sin 10°=sin(50°+10°)=sin 60°=.故选B.
2.选C　因为tan(α+β)==4,
所以1-tan αtan β=,
即tan αtan β=.
3.选A　sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=(cos B+)=×=.
4.选CD　∵C=120°,∴A+B=60°.∴2(A+B)=C,A错误.tan(A+B)=tan 60°=,B错误.∵tan A+tan B=(1-tan Atan B)=,∴tan Atan B=　①.又tan A+tan B=　②,联立①②,解得tan A=tan B=.又A+B=60°,∴cos B=sin A,C、D正确.故选C、D.
5.选B　由题意知sin∠BEC=,
cos∠BEC=,又∠CED=-∠BEC,所以sin∠CED=sincos∠BEC-cos·sin∠BEC=×-×=.
6.解析:∵sin α+cos β=1,　①
cos α+sin β=0,　②
∴①2+②2,得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1.
∴sin αcos β+cos αsin β=-.
∴sin(α+β)=-.
答案:-
7.解析:由题意l=h·tan θ,“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍时,tan θ1=2,
tan θ2=3,所以tan(θ1+θ2)===-1.
答案:-1
8.解析:依题意可将已知条件变形为sin[(α-β)-α]=-sin β=,sin β=-.
所以sin=sin βcos+cos βsin=×+×=+=.
答案:
9.解:(1)因为角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(3,4),
所以sin α=,cos α=.
所以sin=sincos α+cossin α=×=.
(2)因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π).
因为cos(α+β)=-<0,所以α+β∈.所以sin(α+β)=.所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×+×=.
10.解:(1)tan
=tan
=
==-.
(2)tan(α+β)=tan
=
==2-3.
11.选A　∵OA1=A1A2=1,
且△OA1A2是直角三角形,
∴OA2=,同理得OA6=,OA7=,OA8=.∴sin∠A6OA7=,cos∠A6OA7=,sin∠A7OA8=,cos∠A7OA8=.
∴sin∠A6OA8=sin=×+×=.
12.解析:因为a⊥b,所以a·b=4sin+4cos α-=0,
即2sin α+6cos α-=4sin-=0,
则sin=.
所以sin=sin
=-sin=-.
答案:-
13.解析:因为0<α<,cos α=,
所以sin α=.
又因为0<β<,所以0<α+β<π.
因为sin(α+β)=所以cos(α+β)=-.
所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)·cos α-cos(α+β)sin α=×-×=.
又因为0<β<,所以β=.
答案:
14.解:(1)∵tan=2,
∴==2,
解得tan α=.
(2)
=
=
===-.
15.解:(1)∵0<α<,∴<α+<,
∴cos>0,
∴cos==,cos α=cos
=coscos+sin·sin=.
(2)∵0<α<,-<β<0,
∴0<α-β<,
又cos(α-β)=,∴0<α-β<,
∴sin(α-β)>0,
sin(α-β)==,
结合(1)中数据知,
sin α=sin
=sincos-cossin
==,
∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin α·sin(α-β)=.
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