资源简介

2.3　三角函数的叠加及其应用 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.在两角和与差的正弦、余弦公式的基础上,推导出三角函数叠加公式.
2.能由三角函数的叠加公式化简为Asin(ωx+φ)形式.
3.利用三角函数的叠加公式研究三角函数的图象与性质问题.
1.三角函数的叠加公式
asin α+bcos α=　　　　sin(α+φ),其中sin φ=　　　　,cos φ=　　　　,tan φ=(a,b不同时为0,φ与点(a,b)同象限).
2.常见的叠加公式结论
sin x±cos x=sin;
cos x±sin x=cos;
sin x±cos x=2sin;
cos x±sin x=2cos;
sin x±cos x=2sin;
cos x±sin x=2cos.
基础落实训练
1.2sin θ+2cos θ= (　 )
A.sin B.2sin
C.2sinsin
2.函数f(x)=sin x-cos x的最小正周期为 (　 )
A.π B.2π
C. D.4π
3.sin 15°+sin 75°的值是　　　　.
题型(一)　由三角函数的叠加公式化简为Asin(ωx+φ)形式
[例1]　将下列各式化成Asin(ωx+φ)的形式:
(1)sin+cos;
(2)3sin x+4cos x;
(3)-sin x-cos x.
听课记录:
|思|维|建|模|
三角函数的叠加公式的作用
　　三角函数的叠加公式将asin α+bcos α化为一个角α+φ(或α-φ),一个函数名称sin(α+φ)(或cos(α-φ)),因此也称为“化一”公式,其作用是研究函数y=asin α+bcos α=sin(α+φ)(或cos(α-φ))的性质,如周期性、单调性、最值等.
　　[针对训练]
1.化简cos x+sin x= (　 )
A.2cos B.2cos
C.2cos D.2cos
2.(2024·上海高考)下列函数中,最小正周期是2π的是 (　 )
A.y=sin x+cos x B.y=sin xcos x
C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2x-cos2x
题型(二)　由三角函数的叠加公式化简求值
[例2]　(1)若sin x-cos x=2,x∈[0,2π),则x=　　　　.
(2)求值:(tan 10°-)sin 40°.
听课记录:
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应用叠加公式找角的三个注意点
(1)同一个角:在找角的过程中,一定要找“同一个角”的正、余弦,因为合角的理论基础是两角和与差的正、余弦公式,所以构造的正、余弦要同角.
(2)灵活找角:找角可以灵活,不必拘于结论的形式,找角的要求很低,只需同一个角的正、余弦即可,所以可以从不同的角度构造角,从而利用不同的公式进行合角.
(3)特殊角:看到特殊值,1,,时,一定要考虑引入特殊角,如果提完系数发现括号里不是特殊角的正、余弦,那么可用抽象的φ来代替,再在旁边标注φ的一个三角函数值.
　　[针对训练]
3.计算下列各式:
(1);
(2).
题型(三)　利用三角函数的叠加公式研究三角函数的性质
[例3]　(1)(多选)已知函数f(x)=sin x+cos x+,则f(x)在下列区间上单调递增的是 (　 )
A.
C.
(2)已知函数f(x)=cos 2x-sin 2x+2,则 (　 )
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
听课记录:
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　　涉及三角函数性质的问题中常利用三角函数的叠加公式把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用y=sin x的性质求解.
　　[针对训练]
4.函数y=sin(x+θ)+cos(x-θ)的图象关于y轴对称,θ∈[0,π],则θ= (　 )
A.
C.
5.当a>0时,若asin x+bcos x有最小值-,acos x+b有最大值1,则a,b可以取的值为 (　 )
A.a=2,b=-1 B.a=2,b=1
C.a=1,b=-2 D.a=1,b=2
2.3　三角函数的叠加及其应用
课前预知教材
1.　　
[基础落实训练]
1.C　2.B　3.
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1]　解:(1)原式
=
=
=cos=cos
=sin=sin.
(2)3sin x+4cos x=5
=5sin(x+φ),
其中锐角φ由确定.
(3)-sin x-cos x=-
=-sin.
[针对训练]
1.选B　原式=2
=2
=2cos.
2.选A　y=sin x+cos x=sin,其最小正周期为2π,A正确;y=sin xcos x=sin 2x,其最小正周期为π,B错误;y=sin2x+cos2x=1,不存在最小正周期,C错误;y=sin2x-cos2x=-cos 2x,其最小正周期为π,D错误.故选A.
[题型(二)]
[例2]　解析:(1)∵sin x-cos x
=2
=2
=2sin=2,∴sin=1.
又∵x∈,∴x-∈.
∴x-=,即x=.
答案:
(2)(tan 10°-)sin 40°=sin 40°
=·sin 40°
=·sin 40°=
=
==-1.
[针对训练]
3.解:(1)原式=
==cos 15°=cos(60°-45°)
=cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45°
=×+×=.
(2)原式=
=
=
==2.
[题型(三)]
[例3]　解析:(1)f(x)=sin x+cos x+
=sin+.
令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,
可得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
当k=0时,函数f(x)在上单调递增,
又 , ,所以C、D满足题意;
当k=1时,函数f(x)在上单调递增,又 ,所以A满足题意.故选A、C、D.
(2)因为f(x)=cos 2x-sin 2x+2=2cos+2,
所以f(x)的最小正周期为T==π.当2x+=2kπ,k∈Z,即x=-+kπ,k∈Z时,f(x)有最大值为4.
答案:(1)ACD　(2)B
[针对训练]
4.选D　依题意函数y=sin(x+θ)+cos(x-θ)的图象关于y轴对称,则sin+cos=sin+cos,得cos θ+sin θ=0,即2sin=0.由θ+=kπ,k∈Z,得θ=kπ-,k∈Z.因为θ∈[0,π],所以θ=.当θ=时,y=sin+cos=-sin x+cos x-cos x+sin x=-cos x,满足题意.故选D.
5.选A　由已知可得asin x+bcos x=sin,其中tan φ=,a>0,
故当sin(x+φ)=-1时,有最小值-=-,
即a2+b2=5　①.
又acos x+b有最大值1,故当cos x=1时,有最大值a+b=1　②.
由①②可得b2-b-2=0,
解得b=2或b=-1.
当b=2时,a=-1;当b=-1时,a=2.又a>0,故b=-1,a=2.
4 / 4(共53张PPT)
2.3
三角函数的叠加及其应用
(深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.在两角和与差的正弦、余弦公式的基础上,推导出三角函数叠加公式.
2.能由三角函数的叠加公式化简为Asin(ωx+φ)形式.
3.利用三角函数的叠加公式研究三角函数的图象与性质问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.三角函数的叠加公式
asin α+bcos α= sin(α+φ),其中sin φ= ,
cos φ= ,tan φ=(a,b不同时为0,φ与点(a,b)同象限).
2.常见的叠加公式结论
sin x±cos x=sin;
cos x±sin x=cos;
sin x±cos x=2sin;
cos x±sin x=2cos;
sin x±cos x=2sin;
cos x±sin x=2cos.
1.2sin θ+2cos θ= (　 )
A.sin B.2sin
C.2sinsin
√
基础落实训练
2.函数f(x)=sin x-cos x的最小正周期为(　 )
A.π B.2π
C. D.4π
解析:因为f(x)=sin x-cos x=2=2sin,
所以f(x)的最小正周期为2π.
√
3.sin 15°+sin 75°的值是　　　　.
解析:sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=
sin 60°=.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　由三角函数的叠加公式化简为Asin(ωx+φ)形式
[例1]　将下列各式化成Asin(ωx+φ)的形式:
(1)sin+cos;
解:原式=
==cos=
cos=sin=sin.
(2)3sin x+4cos x;
解:3sin x+4cos x=5
=5sin(x+φ),其中锐角φ由确定.
(3)-sin x-cos x.
解:-sin x-cos x=-=-sin.
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三角函数的叠加公式的作用
三角函数的叠加公式将asin α+bcos α化为一个角α+φ(或α-φ),一个函数名称sin(α+φ)(或cos(α-φ)),因此也称为“化一”公式,其作用是研究函数y=asin α+bcos α=sin(α+φ)(或cos(α-φ))的性质,如周期性、单调性、最值等.　　
针对训练
1.化简cos x+sin x=(　 )
A.2cos B.2cos
C.2cos D.2cos
解析:原式=2
=2=2cos.
√
2.(2024·上海高考)下列函数中,最小正周期是2π的是 (　 )
A.y=sin x+cos x B.y=sin xcos x
C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2x-cos2x
解析:y=sin x+cos x=sin,其最小正周期为2π,A正确;
y=sin xcos x=sin 2x,其最小正周期为π,B错误;y=sin2x+cos2x=1,不存在最小正周期,C错误;y=sin2x-cos2x=-cos 2x,其最小正周期为π,D错误.
故选A.
√
题型(二)　由三角函数的叠加公式化简求值
[例2]　(1)若sin x-cos x=2,x∈[0,2π),则x=　　　　.
解析:∵sin x-cos x=2
=2=2sin=2,∴sin=1.
又∵x∈,∴x-∈.∴x-=,即x=.
(2)求值:(tan 10°-)sin 40°.
解析: (tan 10°-)sin 40°=sin 40°
=·sin 40°=·sin 40°=
===-1.
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应用叠加公式找角的三个注意点
(1)同一个角:在找角的过程中,一定要找“同一个角”的正、余弦,因为合角的理论基础是两角和与差的正、余弦公式,所以构造的正、余弦要同角.
(2)灵活找角:找角可以灵活,不必拘于结论的形式,找角的要求很低,只需同一个角的正、余弦即可,所以可以从不同的角度构造角,从而利用不同的公式进行合角.
(3)特殊角:看到特殊值,1,,时,一定要考虑引入特殊角,如果提完系数发现括号里不是特殊角的正、余弦,那么可用抽象的φ来代替,再在旁边标注φ的一个三角函数值.
针对训练
3.计算下列各式:
(1);
解:原式===cos 15°=cos(60°-45°)
=cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45°=×+×=.
(2).
解:原式==
===2.
题型(三)　利用三角函数的叠加公式研究三角函数的性质
[例3]　(1)(多选)已知函数f(x)=sin x+cos x+,则f(x)在下列区间上单调递增的是(　 )
A.
C.
√
√
√
解析: f(x)=sin x+cos x+=sin+.
令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,可得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
当k=0时,函数f(x)在上单调递增,
又 , ,所以C、D满足题意;
当k=1时,函数f(x)在上单调递增,又 ,
所以A满足题意.故选A、C、D.
(2)已知函数f(x)=cos 2x-sin 2x+2,则(　 )
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
√
解析:因为f(x)=cos 2x-sin 2x+2=2cos+2,
所以f(x)的最小正周期为T==π.当2x+=2kπ,k∈Z,即x=-+kπ,k∈Z时,f(x)有最大值为4.
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　　涉及三角函数性质的问题中常利用三角函数的叠加公式把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用y=sin x的性质求解.
针对训练
4.函数y=sin(x+θ)+cos(x-θ)的图象关于y轴对称,θ∈[0,π],则θ=(　 )
A.
C.
√
解析:依题意函数y=sin(x+θ)+cos(x-θ)的图象关于y轴对称,
则sin+cos=sin+cos,
得cos θ+sin θ=0,即2sin=0.由θ+=kπ,k∈Z,得θ=kπ-,k∈Z.因为θ∈[0,π],所以θ=.当θ=时,y=sin+cos=
-sin x+cos x-cos x+sin x=-cos x,满足题意.故选D.
5.当a>0时,若asin x+bcos x有最小值-,acos x+b有最大值1,则a,b可以取的值为(　 )
A.a=2,b=-1 B.a=2,b=1
C.a=1,b=-2 D.a=1,b=2
√
解析:由已知可得asin x+bcos x=sin,
其中tan φ=,a>0,故当sin(x+φ)=-1时,有最小值-=-,
即a2+b2=5　①.
又acos x+b有最大值1,故当cos x=1时,有最大值a+b=1　②.
由①②可得b2-b-2=0,解得b=2或b=-1.
当b=2时,a=-1;当b=-1时,a=2.又a>0,故b=-1,a=2.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.计算cos+sin的值是(　 )
A. B.2
C.2
解析:cos+sin=2
=2=2sin=2sin=2.故选C.
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2.(多选)下列各值中,函数y=2sin x+2cos x可能取得的是(　 )
A.3 B.3.5
C.4 D.4.5
解析:因为原式=4=4sin,又sin∈[-1,1],所以4sin∈[-4,4].所以函数y=2sin x+2cos x不能取4.5.
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3.函数f(x)=sin-cos x的单调递减区间为(　 )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
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解析: f(x)=sin-cos x=sin x+cos x=sin,
令+2kπ≤x++2kπ,k∈Z,解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
故f(x)的单调递减区间为,k∈Z.故选C.
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4.(多选)设函数f(x)=sin+cos,则f(x)(　 )
A.是偶函数
B.在区间上单调递增
C.最大值为2
D.其图象关于点对称
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解析:因为f(x)=sin=cos 2x,所以函数f(x)是偶函数,故A正确;当x∈时,2x∈,所以函数f(x)在区间上单调递减,故B错误;函数f(x)的最大值是,故C错误;当x=时,y=cos=0,所以函数f(x)的图象关于点对称,故D正确.故选A、D.
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5.若函数f(x)=5cos x+12sin x在x=θ时取得最小值,则cos θ等于 (　 )
A. B.-
C. D.-
解析:f(x)=5cos x+12sin x=13sin,其中cos φ=,sin φ=.依题意,当x=θ时,f(x)取得最小值,即sin(θ+φ)=-1,θ+φ=2kπ-,k∈Z,θ=2kπ--φ,
k∈Z,所以cos θ=cos=-sin φ=-.故选B.
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6.的值为　　　　.
解析:(cos 75°+sin 75°)=×cos(75°-45°)=cos 30°=.
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7.若“存在x∈R,使得sin x+cos x=a”为真命题,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:因为y=sin x+cos x=2sin,
所以当x∈R时,y=2sin∈[-2,2].
因为“存在x∈R,使得sin x+cos x=a”为真命题,所以a∈[-2,2].
[-2,2]
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8.已知函数f(x)=sin[(1-a)x]+cos[(1-a)x]的最大值为2,则f(x)的最小正周期为　　　　.
解析:∵f(x)=sin[(1-a)x+φ],
由已知得=2,∴a=3,
∴f(x)=2sin(-2x+φ).∴T==π.
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9.(8分)把下列各式化为y=Asin(ωx+φ)的形式:
(1)y=3sin x-cos x;
解: y=3sin x-cos x=2
=2=2sin.
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(2)y=sin+sin.
解: y=sin+sin=sin·cos+cos·sin+sin=sin+cos
==sin.
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10.(10分)已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x(其中x∈R),求:
(1)函数f(x)的最小正周期;
解:因为f(x)=sin 2x-cos 2x=5=5sin,所以函数的最小正周期T==π.
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(2)函数f(x)的单调区间.
解:由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的增区间为(k∈Z).由2kπ+≤
2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的减区间为(k∈Z).
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B级——重点培优
11.已知函数f(x)=sin(2ωx+φ)+cos(2ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若f(x)的最小正周期为π,且f(-x)=-f(x),则f(x)的解析式为(　 )
A.f(x)=-sin 2x B.f(x)=sin 2x
C.f(x)=-cos 2x D.f(x)=cos 2x
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解析:由三角函数的叠加公式可得f(x)=sin.因为f(x)的最小正周期为π,所以2ω===2,解得ω=1,则f(x)=sin.又因为f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数,所以φ+=kπ(k∈Z),即φ=kπ-,k∈Z.又因为0<φ<π,则令k=1,所以φ=.所以f(x)=sin(2x+π)=-sin 2x.
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12.设常数a使方程sin x+cos x=a在闭区间[0,2π]恰有三个解,从小到
大依次为x1,x2,x3,则x1+x2+x3=　　　　.
解析:sin x+cos x=a的根为函数y=sin x+cos x=2sin的图象与直线y=a的交点横坐标,作出函数y=2sin在区间[0,2π]上的函数图象,由函数图象可知要满足有三个交点,
需a=,此时x1=0,x2=,x3=2π,∴x1+x2+x3=.
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13.已知函数f(x)=asin x+bcos x(x∈R,ab≠0),若x=x0是函数f(x)的一条对称轴,且tan x0=4,则点(a,b)满足的关系为　　　　.
解析:由f(x)=asin x+bcos x,得f(x)=cos(x-φ).因为x=x0是函数f(x)的一条对称轴,所以x0-φ=kπ(k∈Z),即x0=φ+kπ,k∈Z.
因为tan x0=4,所以tan x0=tan φ=4,即=4.所以a-4b=0.
a-4b=0
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14.(10分)函数y=cos 2x+asin 2x的图象关于直线x=对称.
(1)求a的值;
解:由三角函数的叠加公式得y=cos 2x+asin 2x=sin(2x+φ),
tan φ=.因为函数y=cos 2x+asin 2x的图象关于直线x=对称,
所以当x=时,函数y=cos 2x+asin 2x取得最值±,
即+a=±,化简整理可得a=1.
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(2)求该函数图象的对称中心.
解:由(1)可知函数y=cos 2x+sin 2x=sin,
则函数图象的对称中心横坐标为2x+=kπ(k∈Z),
即x=-(k∈Z).所以函数图象的对称中心为(k∈Z).
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15.(14分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天上午8时的温度;
解:f(8)=10-cos-sin=10-cos-sin=10-×-=10.
故实验室上午8时的温度为10 ℃.
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(2)求实验室这一天的最大温差.
解: f(t)=10-cost-sint=10-2=10-2sin.
因为0≤t<24,所以t+<,-1≤sin≤1.
当t=2时,sin=1;当t=14时,sin=-1.
故f(t)∈[8,12],于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.课时跟踪检测(三十五)　三角函数的叠加及其应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.计算cos+sin的值是 (　　)
A. B.2
C.2
2.(多选)下列各值中,函数y=2sin x+2cos x可能取得的是 (　　)
A.3 B.3.5
C.4 D.4.5
3.函数f(x)=sin-cos x的单调递减区间为 (　　)
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
4.(多选)设函数f(x)=sin+cos,则f(x) (　　)
A.是偶函数
B.在区间上单调递增
C.最大值为2
D.其图象关于点对称
5.若函数f(x)=5cos x+12sin x在x=θ时取得最小值,则cos θ等于 (　　)
A. B.-
C. D.-
6.的值为　　　　.
7.若“存在x∈R,使得sin x+cos x=a”为真命题,则实数a的取值范围是　　　　.
8.已知函数f(x)=sin[(1-a)x]+cos[(1-a)x]的最大值为2,则f(x)的最小正周期为　　　　.
9.(8分)把下列各式化为y=Asin(ωx+φ)的形式:
(1)y=3sin x-cos x;
(2)y=sin+sin.
10.(10分)已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x(其中x∈R),求:
(1)函数f(x)的最小正周期;
(2)函数f(x)的单调区间.
B级——重点培优
11.已知函数f(x)=sin(2ωx+φ)+cos(2ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若f(x)的最小正周期为π,且f(-x)=-f(x),则f(x)的解析式为 (　　)
A.f(x)=-sin 2x B.f(x)=sin 2x
C.f(x)=-cos 2x D.f(x)=cos 2x
12.设常数a使方程sin x+cos x=a在闭区间[0,2π]恰有三个解,从小到大依次为x1,x2,x3,则x1+x2+x3=　　　　.
13.已知函数f(x)=asin x+bcos x(x∈R,ab≠0),若x=x0是函数f(x)的一条对称轴,且tan x0=4,则点(a,b)满足的关系为　　　　.
14.(10分)函数y=cos 2x+asin 2x的图象关于直线x=对称.
(1)求a的值;
(2)求该函数图象的对称中心.
15.(14分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天上午8时的温度;
(2)求实验室这一天的最大温差.
课时跟踪检测(三十五)
1.选C　cos+sin
=2
=2
=2sin=2sin=2.故选C.
2.选ABC　因为原式=4
=4sin,又sin∈[-1,1],所以4sin∈[-4,4].所以函数y=2sin x+2cos x不能取4.5.
3.选C　f(x)=sin-cos x=sin x+cos x=sin,令+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.故f(x)的单调递减区间为,k∈Z.故选C.
4.选AD　因为f(x)=sin=cos 2x,所以函数f(x)是偶函数,故A正确;当x∈时,2x∈,所以函数f(x)在区间上单调递减,故B错误;函数f(x)的最大值是,故C错误;当x=时,y=cos=0,所以函数f(x)的图象关于点对称,故D正确.故选A、D.
5.选B　f(x)=5cos x+12sin x
=13sin,其中cos φ=,sin φ=.依题意,当x=θ时,f(x)取得最小值,即sin(θ+φ)=-1,θ+φ=2kπ-,k∈Z,θ=2kπ--φ,k∈Z,所以cos θ=cos=-sin φ=-.故选B.
6.解析:(cos 75°+sin 75°)=×cos(75°-45°)=cos 30°=.
答案:
7.解析:因为y=sin x+cos x=2sin,
所以当x∈R时,y=2sin∈[-2,2].
因为“存在x∈R,使得sin x+cos x=a”为真命题,所以a∈[-2,2].
答案:[-2,2]
8.解析:∵f(x)=sin[(1-a)x+φ],由已知得=2,∴a=3,∴f(x)=2sin(-2x+φ).∴T==π.
答案:π
9.解:(1)y=3sin x-cos x
=2
=2
=2sin.
(2)y=sin+sin=sin·cos+cos·sin+sin
=sin+cos
=
=sin.
10.解:(1)因为f(x)=sin 2x-cos 2x
=5
=5sin,所以函数的最小正周期T==π.
(2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的增区间为(k∈Z).由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的减区间为(k∈Z).
11.选A　由三角函数的叠加公式可得f(x)=sin.因为f(x)的最小正周期为π,所以2ω===2,解得ω=1,则f(x)=sin.又因为f(-x)=-f(x),
即f(x)为奇函数,所以φ+=kπ(k∈Z),
即φ=kπ-,k∈Z.
又因为0<φ<π,则令k=1,所以φ=.
所以f(x)=sin(2x+π)=-sin 2x.
12.解析:sin x+cos x=a的根为函数y=sin x+cos x=2sin的图象与直线y=a的交点横坐标,
作出函数y=2sin在区间[0,2π]上的函数图象,
由函数图象可知要满足有三个交点,需a=,
此时x1=0,x2=,x3=2π,∴x1+x2+x3=.
答案:
13.解析:由f(x)=asin x+bcos x,得f(x)=cos(x-φ).因为x=x0是函数f(x)的一条对称轴,所以x0-φ=kπ(k∈Z),即x0=φ+kπ,k∈Z.因为tan x0=4,所以tan x0=tan φ=4,即=4.所以a-4b=0.
答案:a-4b=0
14.解:(1)由三角函数的叠加公式得y=cos 2x+asin 2x=sin(2x+φ),tan φ=.
因为函数y=cos 2x+asin 2x的图象关于直线x=对称,
所以当x=时,函数y=cos 2x+asin 2x取得最值±,
即+a=±,
化简整理可得a=1.
(2)由(1)可知函数y=cos 2x+sin 2x
=sin,
则函数图象的对称中心横坐标为2x+=kπ(k∈Z),
即x=-(k∈Z).所以函数图象的对称中心为(k∈Z).
15.解:(1)f(8)=10-cos-sin
=10-cos-sin
=10-×-=10.
故实验室上午8时的温度为10 ℃.
(2)f(t)=10-cost-sint
=10-2
=10-2sin.
因为0≤t<24,
所以≤t+<,
-1≤sin≤1.
当t=2时,sin=1;
当t=14时,sin=-1.
故f(t)∈[8,12],于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.
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