资源简介

3.2　半角公式(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.能用二倍角公式推导半角公式,了解半角公式的结构形式.
2.能熟练运用半角公式解决简单的求值、化简或证明问题.
　　正弦、余弦、正切的半角公式
三角 函数 公式
正弦 sin=　　　　　
余弦 cos=　　　　　
正切 tan=± =　　　　　　　 =　　　　　　　
|微|点|助|解|
　　关于半角公式的几点说明
(1)理解半角的含义:角是角α的半角,角α是角2α的半角,角2α是角4α的半角.
(2)确定半角的正弦、余弦、正切值正、负号的方法
①若给出的角已确定其终边所在的象限,则可根据下表确定符号.
α sin cos tan
第一象限 第一、三象限 +、- +、- +
第二象限 第一、三象限 +、- +、- +
第三象限 第二、四象限 +、- -、+ -
第四象限 第二、四象限 +、- -、+ -
②若给出角α的范围(即某一区间),可先求出的范围,然后再根据的范围确定符号.
③若给出的角的象限不确定,则需分类讨论.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)sin 15°=± . (　 )
(2)cos 15°=. (　 )
(3)tan=. (　 )
2.已知180°<α<360°,则cos的值为 (　 )
A.-
C.-
3.tan 15°等于 (　 )
A.2+ B.2-
C.+1 D.-1
题型(一)　利用半角公式求值
[例1]　已知cos α=,α为第四象限角,求sin,cos,tan.
听课记录:
|思|维|建|模|
利用半角公式求值的思路
(1)观察角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算.
(4)下结论:结合(2)求值.
　　[针对训练]
1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin = (　 )
A.
C.
2.已知α为锐角,cos α=,则tan= (　 )
A.
C.2 D.3
题型(二)　三角函数式的化简
[例2]　化简:
(-π<α<0).
听课记录:
|思|维|建|模|
探究三角函数式化简的要求、思路和方法
(1)化简的要求:①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少;③尽量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数.
(2)化简的思路:对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式,基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.
　　[针对训练]
3.设α∈,化简:.
题型(三)　三角恒等式的证明
[例3]　求证:
+=.
听课记录:
|思|维|建|模|
三角恒等式证明的5种常用方法
执因索果法 证明的形式一般化繁为简
左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子
拼凑法 针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同
比较法 设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”
分析法 从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立
　　[针对训练]
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A=,求证:=.
3.2　半角公式
课前预知教材
±　±　　
[基础落实训练]
1.(1)×　(2)×　(3)×　2.C　3.B
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1]　解:∵α为第四象限角,∴为第二、四象限角.
当为第二象限角时,
sin==,
cos=-=-,
tan=-=-;
当为第四象限角时,
sin=-=-,
cos==,
tan=-=-.
[针对训练]
1.选D　因为α为锐角,所以sin>0,
sin==.
2.选D　∵α为锐角,cos α=,
∴sin α=.
∴tan===.
∴tan===3.
[题型(二)]
[例2]　解:原式=
=
==.
因为-π<α<0,所以-<<0.
所以sin<0.
所以原式==cos α.
[针对训练]
3.解:∵α∈,∈,
∴cos α>0,cos<0.
故原式=
==
==-cos.
[题型(三)]
[例3]　证明:法一:
左边=+
=+
===右边.所以原式成立.
法二:左边
=
==
==右边.所以原式成立.
[针对训练]
4.证明:因为cos A=,
所以1-cos A=,
1+cos A=.
所以=.
而==tan2,
==tan2,
所以tan2=·tan2,
即=.
1 / 5(共44张PPT)
3.2
半角公式
(深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.能用二倍角公式推导半角公式,了解半角公式的结构形式.
2.能熟练运用半角公式解决简单的求值、化简或证明问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
正弦、余弦、正切的半角公式
三角函数 公式
正弦
余弦
正切
±
±
|微|点|助|解| 　　关于半角公式的几点说明
(1)理解半角的含义:角是角α的半角,角α是角2α的半角,角2α是角4α的半角.
(2)确定半角的正弦、余弦、正切值正、负号的方法
①若给出的角已确定其终边所在的象限,则可根据下表确定符号.
α
第一象限 第一、三象限 +、- +、- +
第二象限 第一、三象限 +、- +、- +
第三象限 第二、四象限 +、- -、+ -
第四象限 第二、四象限 +、- -、+ -
②若给出角α的范围(即某一区间),可先求出的范围,然后再根据的范围确定符号.
③若给出的角的象限不确定,则需分类讨论.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)sin 15°=± . (　 )
(2)cos 15°=. (　 )
(3)tan=. (　 )
基础落实训练
×
×
×
2.已知180°<α<360°,则cos的值为(　 )
A.-
C.-
解析:因为cos2=,180°<α<360°,所以90°<<180°.
所以cos=-.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　利用半角公式求值
[例1]　已知cos α=,α为第四象限角,求sin,cos,tan.
解:∵α为第四象限角,∴为第二、四象限角.当为第二象限角时,
sin==,cos=-=-,tan=-=-;
当为第四象限角时,sin=-=-,cos==,
tan=-=-.
|思|维|建|模|
利用半角公式求值的思路
(1)观察角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算.
(4)下结论:结合(2)求值.
针对训练
1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　 )
A.
C.
解析:因为α为锐角,所以sin>0,sin==.
√
2.已知α为锐角,cos α=,则tan=(　 )
A.
C.2 D.3
解析:∵α为锐角,cos α=,∴sin α=.
∴tan===.∴tan===3.
√
题型(二)　三角函数式的化简
[例2]　化简:(-π<α<0).
解:原式===
=.因为-π<α<0,所以-<<0.所以sin<0.
所以原式==cos α.
|思|维|建|模|
探究三角函数式化简的要求、思路和方法
(1)化简的要求:①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少;
③尽量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数.
(2)化简的思路:对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式,基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.
针对训练
3.设α∈,化简:.
解:∵α∈,∈,∴cos α>0,cos<0.
故原式=====-cos.
题型(三)　三角恒等式的证明
[例3]　求证:+=.
[证明]　法一:左边=+=+
===右边.所以原式成立.
法二:左边===
==右边.所以原式成立.
|思|维|建|模|
三角恒等式证明的5种常用方法
执因索果法 证明的形式一般化繁为简
左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子
拼凑法 针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同
比较法 设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”
分析法 从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立
针对训练
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A=,
求证:=.
证明:因为cos A=,所以1-cos A=,
1+cos A=.所以=.
而==tan2,==tan2,
所以tan2=·tan2,即=.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A级——达标评价
1.若cos α=,α∈(0,π),则cos的值为(　 )
A. B.-
C. D.-
解析:由题意知∈,∴cos>0,cos==.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.已知cos 2α=-,且α∈,则sin α的值为(　 )
A.
C.- D.-
解析:∵α∈,∴sin α>0.∵cos 2α=-,
∴由半角公式可得sin α==.故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
3.已知点P(4,3)是角α的终边上一点,则tan=(　 )
A. B.-3
C.-3或 D.3或-
解析:由三角函数的定义可得sin α==,cos α==.
所以tan=====.故选A.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
4.(多选)tan 75°= (　 )
A.2+
C. D.tan 25°tan 35°tan 85°
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析: tan 75°=tan(45°+30°)===2+,故 A正确;
由正切的半角公式知tan 75°=,故B错误;
tan 75°===,故C正确;
由tan(60°-α)tan(60°+α)tan α=tan 3α,令α=25°,得tan 75°=
tan 25°tan 35°tan 85°,故D正确.故选A、C、D.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
5.设a=cos212°-sin212°,b=,c=,则(　 )
A.cC.a√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:因为a=cos212°-sin212°=cos 24°,
b==tan 24°c==sin 24°<=tan 24°=b,所以c1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6.设5π<θ<6π,cos=,则sin=　　　　.
解析:∵<<,∴sin<0.∴sin=- =-=-.
-
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7.已知sin-cos=-,且α∈,则tan=　　　　.
解析:由条件知∈,∴tan>0.∵sin-cos=-,∴1-sin α=.
∴sin α=,cos α=-,tan==2.
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8.若cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin+cos=　　　　,sin-cos=　　　　.
解析:因为θ∈(π,2π),所以∈.
所以sin==,cos=-=-.
所以sin+cos=,sin-cos=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9. (8分)求证:-tan θ·tan 2θ=1.
证明:-tan θ·tan 2θ=-=
====1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.(10分)已知π<α<,化简+.
解:原式=+.∵π<α<,∴<<.∴cos<0,
sin>0.∴原式=+=-+=-cos.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
B级——重点培优
11.等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形
称为黄金三角形,它是最美的三角形.例如,正五角星
由5个黄金三角形和一个正五边形组成,且每个黄金
三角形都是顶角为36°的等腰三角形,如图所示,在
黄金三角形ABC中,=.根据这些信息,可求得cos 324°的值为(　 )
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
A. B.-
C.
解析:在等腰△ABC中,cos 72°==,
∴cos 324°=cos 36°===.
故选A.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12.在△ABC中,已知tan=sin C,则△ABC的形状为(　 )
A.正三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析:在△ABC中,tan=sin C=sin(A+B)=2sincos,所以2cos2=1.所以cos(A+B)=0,从而A+B=,△ABC为直角三角形.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
13.若sin=-,0≤α≤π,则tan α的值是　　　　.
解析:因为-=-
=sin+cos-=sin,所以2cos=sin或sin=0.所以tan
=2或sin=0.当tan=2时,tan α===-,当sin=0时,
tan α=0.综上可知,tan α的值是-或0.
-或0
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14.(10分)在△ABC中,若cos A=,cos B=,求sin,cos,tan的值.
解:因为A,B,C均为三角形的内角,所以sin A==,
sin B==.所以cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=
×-×=.所以sin===,cos===,
tan==.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15.(14分)已知向量m=(cos θ,sin θ),n=(-sin θ,cos θ),θ∈(π,2π),
若|m+ n |=,求cos的值.
解:因为|m+ n |=,所以|m+ n |2=,即|m|2+| n |2+2m·n =.
所以cos2θ+sin2θ+(-sin θ)2+cos2θ+2[cos θ(-sin θ)+sin θcos θ]
=,整理得(cos θ-sin θ)=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
所以cos=.又因为θ∈(π,2π),
所以+∈.所以cos<0.
故cos=-=-=-.课时跟踪检测(三十八)　半角公式
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.若cos α=,α∈(0,π),则cos的值为 (　　)
A. B.-
C. D.-
2.已知cos 2α=-,且α∈,则sin α的值为 (　　)
A.
C.- D.-
3.已知点P(4,3)是角α的终边上一点,则tan= (　　)
A. B.-3
C.-3或 D.3或-
4.(多选)tan 75°= (　　)
A.2+
C. D.tan 25°tan 35°tan 85°
5.设a=cos212°-sin212°,b=,c=,则 (　　)
A.cC.a6.设5π<θ<6π,cos=,则sin=　　　　.
7.已知sin-cos=-,且α∈,则tan=　　　　.
8.若cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin+cos=　　　　,sin-cos=　　　　.
9. (8分)求证:-tan θ·tan 2θ=1.
10.(10分)已知π<α<,化简+.
B级——重点培优
11.等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形,它是最美的三角形.例如,正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成,且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形,如图所示,在黄金三角形ABC中,=.根据这些信息,可求得cos 324°的值为 (　　)
A. B.-
C.
12.在△ABC中,已知tan=sin C,则△ABC的形状为 (　　)
A.正三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
13.若sin=-,0≤α≤π,则tan α的值是　　　　.
14.(10分)在△ABC中,若cos A=,cos B=,求sin,cos,tan的值.
15.(14分)已知向量m=(cos θ,sin θ),n=(-sin θ,cos θ),θ∈(π,2π),若|m+n|=,求cos的值.
课时跟踪检测(三十八)
1.选C　由题意知∈,
∴cos>0,cos==.
2.选B　∵α∈,∴sin α>0.
∵cos 2α=-,
∴由半角公式可得sin α==.故选B.
3.选A　由三角函数的定义可得sin α==,cos α==.
所以tan=====.故选A.
4.选ACD　tan 75°=tan(45°+30°)===2+,故 A正确;
由正切的半角公式知tan 75°=,故B错误;
tan 75°===,故C正确;
由tan(60°-α)tan(60°+α)tan α=tan 3α,令α=25°,得tan 75°=tan 25°tan 35°tan 85°,故D正确.故选A、C、D.
5.选A　因为a=cos212°-sin212°=cos 24°,
b==tan 24°6.解析:∵<<,∴sin<0.
∴sin=- =-
=-.
答案:-
7.解析:由条件知∈,∴tan>0.∵sin-cos=-,∴1-sin α=.∴sin α=,cos α=-,tan==2.
答案:2
8.解析:因为θ∈(π,2π),
所以∈.
所以sin==,
cos=-=-.
所以sin+cos=,
sin-cos=.
答案:　
9.证明:-tan θ·tan 2θ
=-
==
===1.
10.解:原式=
+.
∵π<α<,∴<<.
∴cos<0,sin>0.
∴原式=+
=-+
=-cos.
11.选A　在等腰△ABC中,cos 72°==,∴cos 324°=cos 36°===.故选A.
12.选C　在△ABC中,tan=sin C=sin(A+B)=2sincos,所以2cos2=1.所以cos(A+B)=0,从而A+B=,△ABC为直角三角形.
13.解析:因为-=-
=sin+cos-
=sin,
所以2cos=sin或sin=0.所以tan=2或sin=0.当tan=2时,tan α===-,
当sin=0时,tan α=0.
综上可知,tan α的值是-或0.
答案:-或0
14.解:因为A,B,C均为三角形的内角,所以sin A==,sin B==.
所以cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=×-×=.
所以sin=
= =,
cos===,
tan==.
15.解:因为|m+n|=,所以|m+n|2=,即|m|2+|n|2+2m·n=.
所以cos2θ+sin2θ+(-sin θ)2+cos2θ+2[cos θ(-sin θ)+sin θcos θ]=,
整理得(cos θ-sin θ)=.
所以cos=.又因为θ∈(π,2π),
所以+∈.
所以cos<0.
故cos=-
=- =-.
3 / 3

展开更多......

收起↑