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阶段质量评价(三)　三角恒等变换
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知sin α=,则cos(π-2α)= (　　)
A.- B.-
C.
2.已知tan α=5,则= (　　)
A. B.1
C.
3.若sin α+cos α=,则sin= (　　)
A.
C.
4.已知sin x=,x∈,则cos x= (　　)
A. B.-
C. D.±
5.若tan θ=2,则7cos2θ-2sin 2θ= (　　)
A.-
C.-2 D.2
6.已知角α,β满足tan α=,sin β=2cos(α+β)sin α,则tan β= (　　)
A.
C.1 D.2
7.已知θ∈(0,2π),若函数f(x)=2sin xcos x-sin(2x+θ)在上无零点,则θ的值可能为 (　　)
A.
C.
8.在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的沿溪碑林,是稀有的书法石刻宝库,保留至今的有505方摩崖石刻,最引人称颂的是公元771年摹刻的《大唐中兴颂》,因元结的“文绝”,颜真卿的“字绝”,摩崖石刻的“石绝”,誉称“摩崖三绝”.该碑高3米,宽3.2米,碑身离地有3.7米(如图所示),有一身高为180 cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为10 cm).设该游客离墙距离为x米,视角为θ,为使观赏视角θ最大,x应为 (　　)
A. B.3
C.2
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.计算下列各式,结果为的是 (　　)
A.sin 15°+cos 15°
B.cos215°-sin 15°cos 75°
C.
D.
10.已知a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈,若a·b=,则 (　　)
A.sin α= B.cos 2α=-
C.sin 2α=- D.tan=
11.已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x,则 (　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的一个对称中心坐标为
C.f(x)的图象可由函数g(x)=2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
D.f(x)在区间上单调递减
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.已知tan=,则tan α=　　　　.
13.黄金分割比是指将整体一分为二,较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值,该比值为m=≈0.618,这是公认的最能引起美感的比例.黄金分割比的值还可以近似地表示为2sin 18°,则的近似值等于　　　　.
14.(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x.
(1)求f的值;
(2)若f=,α∈,求cos α的值.
16.(15分)已知角A为锐角,sin Acos Atan A=.
(1)求角A的大小;
(2)求sin(π+A)cos的值.
17.(15分)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,9).
(1)求tan的值;
(2)求sin 2α+3cos 2α的值.
18.(17分)已知0(1)判断tan x+tan y的正负,并说明理由;
(2)若tan=,求cos 2x和cos y的值.
19.(17分)(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A.
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长
阶段质量评价(三)
1.选B　cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2×-1=-.故选B.
2.选B　===1,故选B.
3.选A　因为sin α+cos α=,
所以sin=sin α+cos α=(sin α+cos α)=×=.故选A.
4.选C　∵x∈,∴cos x>0,则cos x===.故选C.
5.选A　7cos2θ-2sin 2θ
====-.故选A.
6.选B　由sin β=2cos(α+β)sin α,得sin β=sin[(α+β)+α]-sin[(α+β)-α],进而sin β=sin(2α+β)-sin β 2sin β=sin(2α+β)=sin 2αcos β+cos 2αsin β,
所以sin β(2-cos 2α)=sin 2αcos β tan β====,故选B.
7.选D　令f(x)=0,则sin 2x=sin(2x+θ),故sin 2x=sin 2xcos θ+cos 2xsin θ,则tan 2x=tan 2xcos θ+sin θ,故tan 2x=在x∈无零点.因为tan 2x>0,所以≤0.因为1-cos θ>0,所以sin θ≤0.因为θ∈(0,2π),所以θ∈[π,2π).故选D.
8.选A　设∠BCD=α,由题图可知tan α=,tan(α+θ)=,tan θ=tan[(α+θ)-α]===.由基本不等式知,当且仅当x=,即x=时,tan θ最大,从而角θ最大.故选A.
9.选AD　由三角函数叠加公式得sin 15°+cos 15°=2sin(15°+45°)=2sin 60°=,A正确;cos215°-sin 15°cos 75°=sin 75°cos 15°-sin 15°cos 75°=sin(75°-15°)=sin 60°=,B错误;=×=tan 60°=,C错误;==tan(45°+15°)=tan 60°=,D正确.故选A、D.
10.选ACD　 因为a·b=cos 2α+sin α(2sin α-1)=1-2sin2α+2sin2α-sin α=1-sin α=,所以sin α=,A正确.因为α∈,所以cos α=-.所以sin 2α=2××=-,B错误,C正确.因为tan α=-,所以tan==,D正确.
11.选ABD　f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,由周期公式可得T==π,A正确;
因为f=2sin=0,所以为对称中心,B正确;g(x)=2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y=2sin的图象,C错误;当x∈时,2x+∈,根据正弦函数y1=sin x的图象与性质可知,f(x)在上单调递减,D正确.故选A、B、D.
12.解析:∵tan==,
∴tan α=-.
答案:-
13.解析:由题可得m=2sin 18°,
∴=
=
=
==1.
答案:1
14.解析:法一　由题意得tan(α+β)===-2,
因为α∈,
β∈,k,m∈Z,
则α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,
又因为tan(α+β)=-2<0,
则α+β∈,k,m∈Z,则sin(α+β)<0,
则=-2,联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,解得sin(α+β)=-.
法二　因为α为第一象限角,β为第三象限角,则cos α>0,cos β<0,
cos α==,
cos β==,
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=cos αcos β·(tan α+tan β)
=4cos αcos β=
=
==-.
答案:-
15.解:(1)因为f(x)=2cos2x+2sin xcos x
=1+cos 2x+sin 2x
=1+2sin,
所以f=1+2sin
=1+2sin=1+1=2.
(2)由f=,α∈,
得sin=,
cos=.
所以cos α=cos
=coscos+sinsin=.
16.解:(1)由sin Acos Atan A=,可得sin2A=.
因为角A为锐角,所以sin A=,可得A=.
(2)由A=可得
sin(π+A)cos
=-sin Acos
=-sin2=-=-.
17.解:(1)依题意,tan α==-3.
则tan 2α===.
故tan===-.
(2)依题意,sin 2α+3cos 2α
=
=
=
=-3.
18.解:(1)tan x+tan y<0.理由如下:
∵sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y,
∴tan x+tan y=+
==
=.
∵0∴cos x>0,cos y<0.
∴tan x+tan y=<0.
(2)由tan=,
得tan x==.
∵0∴cos 2x=2cos2x-1=2×-1=-.
∵0则由sin(x+y)=,得cos(x+y)=-.
则cos y=cos[(x+y)-x]=cos(x+y)·cos x+sin(x+y)sin x=-×+×=-.
故cos 2x=-,cos y=-.
19.解:(1)法一:常规方法(辅助角公式)
由sin A+cos A=2,可得sin A+cos A=1,即sin=1,
由于A∈(0,π) A+∈,故A+=,解得A=.
法二:常规方法(同角三角函数的基本关系)
由sin A+cos A=2,又sin2A+cos2A=1,消去sin A得到4cos2A-4cos A+3=0 (2cos A-)2=0,解得cos A=,
又A∈(0,π),故A=.
(2)由题设条件和正弦定理得,
bsin C=csin 2B sin Bsin C=2sin Csin Bcos B,
又B,C∈(0,π),则sin Bsin C≠0,进而cos B=,得到B=,
于是C=π-A-B=,
sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)
=sin Acos B+sin Bcos A=,
由正弦定理==,
即==,解得b=2,c=+,故△ABC的周长为2++3.
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