资源简介

2.1　复数的加法与减法(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
[课时目标]
1.结合实数的加、减运算法则,熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.理解复数加法、减法运算的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.
逐点清(一)　复数代数形式的加、减运算
[多维理解]
1.复数的加法运算法则
对任意两个复数a+bi和c+di(a,b,c,d∈R)
文字语言 两个复数的和仍是一个　　　　,两个复数的和的实部是它们的　　　　　,两个复数的和的虚部是它们的　　　　
符号语言 (a+bi)+(c+di)=　　　　 　　　　
2.复数的相反数
给定复数z2,若存在复数z,使得z2+z=0,则称z是z2的相反数,记作z=　　　　.
3.复数的减法运算法则
对任意的复数z1=a+bi和非零复数z2=c+di(a,b,c,d∈R)
文字语言 两个复数的差仍是一个　　　　,两个复数的差的实部是它们的　　　　　,两个复数的差的虚部是它们的　　　　
符号语言 (a+bi)-(c+di)=　　　　　　　　
4.复数的加法运算律
对任意z1,z2,z3∈C,有
(1)z1+z2=　　　　　　　　　　;
(2)(z1+z2)+z3=　　　　　　　.
[微点练明]
1.已知复数z1=1+3i,z2=3+i(i为虚数单位).复平面内,z1-z2对应的点在 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为 (　 )
A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4
C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4
3.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=　　　　.
4.计算:(1)(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i);
(2)(i2+i)+|i|+(1+i);
(3)(8-2i)-(-7+5i)+(3+7i).
逐点清(二)　复数代数形式加、减运算的几何意义
[多维理解]
1.复数加、减法的几何意义
z1,z2,z3∈C,设,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)相对应,且,不共线
加法 减法
几何 意义 复数的和z1+z2与向量+=的坐标对应 复数的差z1-z2与向量-=的坐标对应
2.常见结论
在复平面内,O为坐标原点,z1,z2对应的点分别为A,B(O,A,B不共线),z1+z2对应的点为C,则四边形OACB为平行四边形;若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
[微点练明]
1.如图,在复平面上,一个正方形的三个顶点A,B,O对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点C对应的复数为 (　 )
A.3+i B.3-i
C.1-3i D.-1+3i
2.如图,设向量,,所对应的复数为z1,z2,z3,那么 (　 )
A.z1-z2-z3=0
B.z1+z2+z3=0
C.z2-z1-z3=0
D.z1+z2-z3=0
3.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:
(1)所表示的复数,所表示的复数;
(2)对角线所表示的复数;
(3)对角线所表示的复数及的长度.
逐点清(三)　复数的模的综合问题
[典例]　(1)△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的 (　 )
A.外心　 B.内心　
C.重心　 D.垂心
(2)设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为 (　 )
A.0 B.1
C.
听课记录:
|思|维|建|模|
　　设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别为Z1(a,b),Z2(c,d),则|Z1Z2|=,又复数z1-z2=(a-c)+(b-d)i,则|z1-z2|=.故|Z1Z2|=|z1-z2|,即|z1-z2|表示复数z1,z2在复平面内对应的点之间的距离.
　　[针对训练]
　设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.
2.1　复数的加法与减法
[逐点清(一)]
[多维理解]　1.复数　实部的和　虚部的和　(a+c)+(b+d)i　2.-z2　3.复数　实部的差　虚部的差　(a-c)+(b-d)i　4.(1)z2+z1　(2)z1+(z2+z3)
[微点练明]　1.B　2.A　3.
4.解:(1)原式=(-1+3i)+(-2-i)+(1-2i)=(-3+2i)+(1-2i)=-2.
(2)原式=(-1+i)++(1+i)
=-1+i+1+1+i=1+2i.
(3)原式=[8-(-7)+3]+(-2-5+7)i=15+3.
[逐点清(二)]
[微点练明]　1.D　2.D
3.解:(1)∵=-,∴所表示的复数为-3-2i.∵=,∴所表示的复数为-3-2i.
(2)∵=-,∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)∵=+,∴所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,||==.
[逐点清(三)]
[典例]　解析:(1)由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C距离相等,所以P为△ABC的外心.故选A.
(2)∵由|z+1|-|z-i|=0,得|z+1|=|z-i|,∴复数z表示以A(-1,0),B(0,1)为端点的线段的垂直平分线OM.设复数-i对应点C(0,-1),|z+i|表示点Z到点C(0,-1)的距离.当CM⊥OM时,|z+i|取到最小值|CM|.又|CM|=|OC|sin 45°=,∴|z+i|的最小值为.
答案:(1)A　(2)C
[针对训练]
解:法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),由题设知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2.又∵(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2,∴2ac+2bd=0.∵|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-(2ac+2bd)=2,
∴|z1-z2|=.
法二:作出z1,z2对应的向量,,使+=.∵|z1|=|z2|=1,又,不共线(若,共线,
则|z1+z2|=2或0与题设矛盾),
∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形.
又|z1+z2|=,∴∠Z1OZ2=90°,即四边形OZ1ZZ2为正方形,故|z1-z2|=.
4 / 4(共43张PPT)
复数的加法与减法
(基本概念课——逐点理清式教学)
2.1
课时目标
1.结合实数的加、减运算法则,熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.理解复数加法、减法运算的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　
复数代数形式的加、减运算
逐点清(二)　
复数代数形式加、减运算的几何意义
逐点清(三)　复数的模的综合问题
4
课时跟踪检测
逐点清(一)　
复数代数形式的加、减运算
01
1.复数的加法运算法则
对任意两个复数a+bi和c+di(a,b,c,d∈R)
2.复数的相反数
给定复数z2,若存在复数z,使得z2+z=0,则称z是z2的相反数,记作z= .
多维理解
文字语言 两个复数的和仍是一个______,两个复数的和的实部是它们的___________,两个复数的和的虚部是它们的___________
符号语言 (a+bi)+(c+di)=___________
复数
实部的和
虚部的和
(a+c)+(b+d)i
-z2
3.复数的减法运算法则
对任意的复数z1=a+bi和非零复数z2=c+di(a,b,c,d∈R)
4.复数的加法运算律
对任意z1,z2,z3∈C,有
(1)z1+z2= ;
(2)(z1+z2)+z3= .
文字语言 两个复数的差仍是一个_____,两个复数的差的实部是它们的_________,两个复数的差的虚部是它们的__________
符号语言 (a+bi)-(c+di)= _____________
复数
实部的差
虚部的差
(a-c)+(b-d)i
z2+z1
z1+(z2+z3)
1.已知复数z1=1+3i,z2=3+i(i为虚数单位).复平面内,z1-z2对应的点在 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵z1=1+3i,z2=3+i,∴z1-z2=-2+2i.故z1-z2在复平面内对应的点(-2,2)在第二象限.
√
微点练明
2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为 (　 )
A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4
C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4
解析:由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.
√
3.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=　　　　.
解析:因为z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]
=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,
所以解得
所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i.所以|z1+z2|=.
4.计算:(1)(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i);
解:原式=(-1+3i)+(-2-i)+(1-2i)=(-3+2i)+(1-2i)=-2.
(2)(i2+i)+|i|+(1+i);
解:原式=(-1+i)++(1+i)=-1+i+1+1+i=1+2i.
(3)(8-2i)-(-7+5i)+(3+7i).
解:原式=[8-(-7)+3]+(-2-5+7)i=15+3.
逐点清(二)　
复数代数形式加、减运算的几何意义
02
1.复数加、减法的几何意义
多维理解
加法 减法
几何 意义
2.常见结论
在复平面内,O为坐标原点,z1,z2对应的点分别为A,B(O,A,B不共线),
z1+z2对应的点为C,则四边形OACB为平行四边形;若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|
=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
1.如图,在复平面上,一个正方形的三个顶点A,B,O对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点C对应的复数为 (　 )
A.3+i B.3-i
C.1-3i D.-1+3i
解析:因为=+,所以对应的复数
为1+2i-2+i=-1+3i.所以点C对应的复数为-1+3i.
√
微点练明
2.如图,设向量,,所对应的复数为z1,z2,z3,
那么(　 )
A.z1-z2-z3=0 B.z1+z2+z3=0
C.z2-z1-z3=0 D.z1+z2-z3=0
解析:由题图可知,+=0,所以+-=0.所以z1+z2-z3=0.
√
3.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对
应的复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:
(1)所表示的复数,所表示的复数;
解:∵=-,∴所表示的复数为-3-2i.
∵=,∴所表示的复数为-3-2i.
(2)对角线所表示的复数;
解:∵=-,∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)对角线所表示的复数及的长度.
解:∵=+,∴所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,
||==.
逐点清(三)　
复数的模的综合问题
03
[典例]　(1)△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的 (　 )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
解析:由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C距离相等,所以P为△ABC的外心.故选A.
多维理解
√
(2)设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为 (　 )
A.0 B.1
C.
√
解析:∵由|z+1|-|z-i|=0,得|z+1|=|z-i|,∴复数z表示以A(-1,0),B(0,1)
为端点的线段的垂直平分线OM.设复数-i对应点C(0,-1),|z+i|表示点
Z到点C(0,-1)的距离.当CM⊥OM时,|z+i|取到最小值|CM|.又|CM|=
|OC|sin 45°=,∴|z+i|的最小值为.
|思|维|建|模|
　　设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别为Z1(a,b),Z2(c,d),则|Z1Z2|=,又复数z1-z2=(a-c)+(b-d)i,则|z1-z2|=.故|Z1Z2|=|z1-z2|,即|z1-z2|表示复数z1,z2在复平面内对应的点之间的距离.
设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.
解:法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
由题设知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2.
又∵(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2,∴2ac+2bd=0.
∵|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-(2ac+2bd)=2,∴|z1-z2|=.
针对训练
法二:作出z1,z2对应的向量,,使+=.
∵|z1|=|z2|=1,又,不共线(若,共线,则|z1+z2|=2或0与题设矛盾),∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形.又|z1+z2|=,
∴∠Z1OZ2=90°,即四边形OZ1ZZ2为正方形,故|z1-z2|=.
课时跟踪检测
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1.(3+4i)+(1-2i)= (　 )
A.4+2i B.4-2i
C.1+4i D.1+5i
解析: (3+4i)+(1-2i)=(3+1)+(4-2)i=4+2i.
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2.已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是 (　 )
解析:由题图可知z=-2+i,所以z+1=-1+i,则复数z+1所对应的向量的坐标为(-1,1).故选A.
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3.若z1=2+2i,z2=5+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为 (　 )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
解析:z1+z2=2+2i+5+ai=(2+5)+(2+a)i=7+(2+a)i.∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴2+a=0.∴a=-2.
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4.已知复数z满足z+2i-5=7-i,则|z|= (　 )
A.12 B.3
C.3 D.9
解析:由题意知z=7-i-(2i-5)=12-3i,∴|z|==3.故选C.
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5.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,
则|z1+z2|=(　 )
A.1 B.
C.2 D.3
解析:由题图可知z1=-2-2i,z2=i,
所以z1+z2=-2-i,|z1+z2|=.
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6.设z1=x2-i,z2=-1+xi,x∈R,若z1+z2为纯虚数,则实数x的值为 (　 )
A.-1 B.0
C.1 D.1或-1
解析:由z1=x2-i,z2=-1+xi,得z1+z2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i,
若z1+z2为纯虚数,则解得x=-1.
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7.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是 (　 )
A.点P0的坐标为(1,2)
B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C.复数z对应的点Z在一条直线上
D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
√
√
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解析:复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即=,整理得y=x,即点Z在直线y=x上,C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0与Z之间距离的最小值,结合平面几何知识知D正确.故选A、C、D.
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8.在复平面内点A,B,C所对应的复数分别为1+3i,-i,2+i,若=,则点D对应的复数是(　 )
A.1-3i B.-3-i
C.3+5i D.5+3i
√
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解析:∵点A,B,C对应的复数分别为1+3i,-i,2+i,
∴对应的复数为2+i-(-i)=2+2i.
设点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),
∴对应的复数为x-1+(y-3)i.
又=,∴x-1+(y-3)i=2+2i.
由复数相等的充要条件得∴
∴点D对应的复数为3+5i.
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9.若复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为 (　 )
A.2 B.4
C.4 D.16
解析:由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|.
∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3.
∴2x+4y=2x+22y≥2=2=4,
当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.
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10.在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,a,b∈R,则a-b=　　　　.
解析:因为+=,所以2+i+(-b+ai)=-2a+3i.所以解得故a-b=-4.
-4
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11.已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=　　 　　.
解析:因为z+2i是实数,所以可设z=a-2i(a∈R).由|z|=4,得a2+4=16.所以a2=12,即a=±2.所以z=±2-2i.
±2-2i
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12.已知复数z1=+ai,若复数z=z1-|z1|+1-i在复平面内所对应的点在第二象限,则实数a的取值范围为　　 　　.
解析:因为z1=+ai,所以|z1|==|a+1|.
又a≥-,所以|a+1|=a+1.所以z=+ai-(a+1)+1-i=-a+
(a-1)i.因为z=z1-|z1|+1-i在复平面内所对应的点在第二象限,所以解得a>1+.所以实数a的取值范围为(1+,+∞).
(1+,+∞)
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13.(15分)已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量,对应的复数分别为z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;
解:∵=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),=(-1,b)-(2,3)=
(-3,b-3),∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i.∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i.
又z1+z2=1+i,∴解得
∴z1=4-i,z2=-3+2i.
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(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.
解:由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i.∵|z1+z2|=2,z1-z2为实数,∴解得
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14.(15分)已知复平面内的平行四边形ABCD中,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:
(1)点C,D对应的复数;
解:∵向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,∴向量
对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又∵=+,∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.∵=,∴向量对应的复数为3-i,即=(3,-1).设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),∴解得∴点D对应的复数为5.综上,点C,D对应的复数分别是4-2i和5.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)平行四边形ABCD的面积.
解:∵·=||||cos B,∴cos B===.
∵0∴平行四边形ABCD的面积为7.课时跟踪检测(四十一)　复数的加法与减法
(满分90分,选填小题每题5分)
1.(3+4i)+(1-2i)= (　　)
A.4+2i B.4-2i
C.1+4i D.1+5i
2.已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是 (　　)
3.若z1=2+2i,z2=5+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为 (　　)
A.2 B.-2
C.1 D.-1
4.已知复数z满足z+2i-5=7-i,则|z|= (　　)
A.12 B.3
C.3 D.9
5.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则|z1+z2|= (　　)
A.1 B.
C.2 D.3
6.设z1=x2-i,z2=-1+xi,x∈R,若z1+z2为纯虚数,则实数x的值为 (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.1或-1
7.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是 (　　)
A.点P0的坐标为(1,2)
B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C.复数z对应的点Z在一条直线上
D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
8.在复平面内点A,B,C所对应的复数分别为1+3i,-i,2+i,若=,则点D对应的复数是 (　　)
A.1-3i B.-3-i
C.3+5i D.5+3i
9.若复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为 (　　)
A.2 B.4
C.4 D.16
10.在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,a,b∈R,则a-b=　　　　.
11.已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=　　　　.
12.已知复数z1=+ai,若复数z=z1-|z1|+1-i在复平面内所对应的点在第二象限,则实数a的取值范围为　　　　.
13.(15分)已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量,对应的复数分别为z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;
(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.
14.(15分)已知复平面内的平行四边形ABCD中,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:
(1)点C,D对应的复数;
(2)平行四边形ABCD的面积.
课时跟踪检测(四十一)
1.A　2.A　3.B　4.C　5.B　6.A
7.ACD　8.C　9.C　10.-4　
11.±2-2i　12.(1+,+∞)
13.解:(1)∵=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),
∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i.
∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i.又z1+z2=1+i,∴解得
∴z1=4-i,z2=-3+2i.
(2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i.∵|z1+z2|=2,z1-z2为实数,
∴解得
14.解:(1)∵向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,∴向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又∵=+,
∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
∵=,
∴向量对应的复数为3-i,
即=(3,-1).设D(x,y),
则=(x-2,y-1)=(3,-1),
∴解得
∴点D对应的复数为5.
综上,点C,D对应的复数分别是4-2i和5.
(2)∵·=||||cos B,
∴cos B===.
∵0∴S四边形ABCD=||||sin B=××=7.
∴平行四边形ABCD的面积为7.
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