资源简介

(共52张PPT)
空间图形基本位置关系　
平面的基本事实及推论
(深化学习课——梯度进阶式教学)
3.1
课时目标
1.借助长方体,直观认识空间点、直线、平面的位置关系,会用符号表示点、线、面间的位置关系.
2.了解基本事实1~3及基本事实1,2的推论,并能应用基本事实及推论解决一些简单问题.
CONTENTS
目录
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课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.点、线、面之间的关系及符号表示(其中A是点,l,m是直线,α,β是平面)
文字语言 符号语言 图形语言
点与 直线 A在l上 A___l
A在l外 A___l
点与 平面 A在α内 A___α
A在α外 A___α
∈

∈

直线 与 直线 l与m相交 ______=A
l与m不相交 l∩m=
直线 与 平面 l在α内 l α
l与α平行 l∥α
l与α相交 l∩α=A
续表
l∩m
平面 与 平面 α与β相交 α∩β=l
α与β不相交 α∥β α∩β=
续表
2.平面的基本事实
基本 事实 内容 图形 符号 作用
基本 事实1 过_______________的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的α使A,B,C∈α 用来确定
一个平面
基本 事实2 如果一条直线上的______在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 _____, _____,且_____, _____ l α 用来证明直线在平面内
不在一条直线上
两个点
A∈l
B∈l
A∈α
B∈α
基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条 _________________ _____, 且_____ α∩β=l, 且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点
续表
过该点的公共直线
P∈α
P∈β
3.平面的基本事实1,2的三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面 确定
平面
的依据
推论2 两条相交直线确定一个平面
推论3 两条平行直线确定一个平面
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)经过空间任意三点能确定一个平面. (　 )
(2)四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形. (　 )
(3)基本事实2是确定直线在平面内的依据. (　 )
基础落实训练
×
×
√
2.三点可确定平面的个数是 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.1或无数个
√
3把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在横线上.
(1)A α,a α　　　　;
(2)α∩β=a,P α,且P β　　　　;
(3)a∩α=A　　　　;
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O　　.
C
D
A
B
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　点、线、面的位置关系
[例1]　用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B.
解:用符号表示α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图①.
(2)点A,B在平面α内,直线a与平面 α交于点C,
点C不在直线AB上.
解:用符号表示A∈α,B∈α,a∩α=C,C AB,
如图②.
|思|维|建|模|
三种语言转换的注意点
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义,如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”,直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
(3)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
1.用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
解:符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形表示:如图①.
针对训练
(2)直线AB,AC分别在平面α,β内,且点A在平面α与平面β的交线l上.
解:用符号表示:α∩β=l,A∈l,AB α,AC β,如图②.
题型(二)　点线共面问题
[例2]　已知a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线.求证:直线a,b,c,d
共面.
[证明]　①没有三线共点的情况,如图(1),
设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.∵a∩d=M,∴a,d可以确定一个平面α.∵N∈d,Q∈a,∴N∈α,Q∈α.∴NQ α,即b α.同理c α.因此直线a,b,c,d共面.
②有三线共点的情况,如图(2)所示,设b,c,d三线相交于一点K,与a分别交于点N,P,M,且K a.
∵K a,∴K和a确定一个平面,设为β.
∵N∈a,a β,∴N∈β.∴NK β,即b β.
同理c β,d β.因此直线a,b,c,d共面.
由①②可知直线a,b,c,d共面.
|思|维|建|模|　证明多线共面的两种常用方法
纳入 平面法 先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内
辅助 平面法 先证明一些元素在一个平面内,再证明另一些元素在另一个平面内,然后证明这两个平面重合,即证得所有元素在同一个平面内
2.如图所示,已知l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
证明:法一:纳入平面法
∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又∵l2 α,∴B∈α.
同理可证C∈α.又∵B∈l3,C∈l3,∴l3 α.
∴直线l1,l2,l3在同一平面内.
针对训练
法二:辅助平面法
∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.
∵A∈l2,l2 α,∴A∈α.
∵A∈l2,l2 β.∴A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
题型(三)　三点共线问题
[例3]　已知点A,B,C在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.
[证明]　法一:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈α.
∵AB 平面ABC,∴P∈平面ABC.
∴点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P,Q,R三点共线.
法二:∵AP∩AR=A,
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
∵AB∩α=P,AC∩α=R,
∴平面APR∩平面α=PR.
∵B∈平面APR,C∈平面APR,
∴BC 平面APR.
∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.
又Q∈α,∴Q∈PR.∴P,Q,R三点共线.
|思|维|建|模|
证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3可知,这些点都在两个平面的交线上.
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在此直线上.
针对训练
3.已知正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.
求证:(1)D,B,F,E四点共面;
证明:如图.连接B1D1,∵EF是△D1B1C1的中位线,
∴EF∥B1D1.∵在正方体AC1中,B1D1∥BD,
∴EF∥BD.∴EF,BD确定一个平面,
即D,B,F,E四点共面.
(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.
证明:在正方体AC1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1,∴Q∈α.
又Q∈EF,∴Q∈β.
则Q是α与β的公共点,同理P是α与β的公共点,
∴α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,∴R∈A1C.
∴R∈α,且R∈β,则R∈PQ.故P,Q,R三点共线.
[例4]　如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.
题型(四)　三线共点问题
[证明]　如图,连接EF,D1C,A1B,
因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EF A1B.
又A1B D1C,所以EF D1C.
所以E,F,D1,C四点共面,可设D1F∩CE=P.
又D1F 平面A1D1DA,CE 平面ABCD,
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,
所以根据基本事实3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三线交于一点.
|思|维|建|模|
证明三线共点的方法
　　证明空间三条直线共点的常用方法是先证明其中的两条直线相交于一点,再证明这一点在第三条直线上.一般依据两个平面的交线有且只有一条这一基本事实,证明该点是两个平面的公共点,进而证明直线是这两个平面的交线.
4.已知:平面α,β,γ两两相交于三条直线l1,l2,l3,且l1,l2不平行.求证:l1,l2,l3相交于一点.
证明:如图,α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3.
∵l1 β,l2 β,且l1,l2不平行,
∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P,则P∈l1 α,P∈l2 γ,
∴P∈α∩γ=l3.∴l1,l2,l3相交于一点P.
针对训练
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A级——达标评价
1.两个平面若有三个公共点,则这两个平面(　 )
A.相交 B.重合
C.相交或重合 D.以上都不对
解析:两个平面若有三个公共点,当这三个点不共线时,两平面重合,当这三个点共线时,这两个平面相交或重合.
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2.平面α∩平面β=l,点A∈α,点B∈β,且B l,点C∈α,又AC∩l=R,过A,B,C三点确定的平面为γ,则β∩γ是 (　 )
A.直线CR B.直线BR
C.直线AB D.直线BC
解析:如图所示.由题意可知,AC γ,AC∩l=R,
则R∈γ, 又平面α∩平面β=l,则l α,l β,
∵AC∩l=R,∴R∈β,∵B∈β,B∈γ,∴β∩γ=直线BR.
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3.一条直线和这条直线外不共线的三点,最多可确定 (　 )
A.三个平面 B.四个平面
C.五个平面 D.六个平面
解析:直线和直线外的每一个点都可以确定一个平面,有三个平面,另外,不共线的三点可以确定一个平面,共可确定四个平面.
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4.(多选)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理正确的是 (　 )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β a β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β α∩β=MN
C.A∈α,A∈β α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线 α,β重合
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解析:对于A,若A∈a,A∈β,B∈a,B∈β,即直线a上有两个点都在平面β上,由基本事实2可知,这条直线就在平面上,即a β,故A正确;
对于B,若M∈α,M∈β,N∈α,N∈β,即M,N在平面α和平面β的交线上,即α∩β=MN,故B正确;
对于C,若A∈α,A∈β,点A在平面α和平面β的交线上,由基本事实3可知α∩β为经过点A的一条直线而不是A,故C错误;
对于D,因为A,B,M三点不共线,由基本事实1可知,A,B,M三点可构造唯一一个平面,又A,B,M∈α,A,B,M∈β,则α,β两平面重合,故D正确.
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5. (多选)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是 (　 )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
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解析:连接A1C1,AC(图略),则AC∩BD=O,因为AC 平面ACC1A1,BD 平面C1BD,所以O∈平面ACC1A1,O∈平面C1BD.因为A1C∩平面C1BD=M,且A1C 平面ACC1A1,所以M∈平面ACC1A1,M∈平面C1BD.又易知C1∈平面ACC1A1,C1 ∈平面C1BD,所以C1,M,O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以选项A中结论正确,又由推论1可知B、C中结论均正确,易知D中结论不正确.
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6.如图所示,用符号语言表示图形中点、直线、
平面之间的位置关系.
(1)点A,B在直线a上 　　　　　　;
(2)直线a在平面α内　　　　;
(3)点D在直线b上,点C在平面α内　　　　　.
解析:根据点、线、面的位置关系及其表示方法,
可知(1)A∈a,B∈a,(2)a α,(3)D∈b,C∈α.
A∈a,B∈a
a α
D∈b,C∈α
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7.在如图所示的正方体ABCD A'B'C'D'中,
(1)与AB所在直线平行的平面有　　　　个;
解析:与AB所在直线平行的平面有平面A'B'C'D'和
平面DCC'D';
(2)与A'B所在直线平行的平面有　　　　个;
解析:与A'B所在直线平行的平面只有平面DCC'D';
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(3)与A'D'所在直线相交的平面有　　　　个;
解析:与A'D'所在直线相交的平面有平面DCC'D'和平面A'B'BA;
(4)与BD'所在直线相交的平面有　　　　个.
解析:与BD'所在直线相交的平面有平面ABB'A'、平面BCC'B'、平面CDD'C'、平面DAA'D'、平面ABCD、平面A'B'C'D'.
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8. (15分)如图,已知a α,b α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ α.
证明:∵PQ∥a,∴PQ与a可以确定一个平面β.
∴直线a β,P∈β.∵P∈b,b α,∴P∈α.又∵a α,∴α与β重合.∴PQ α.
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9.(15分)如图所示,四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB,
BC,DC,AD(或延长线)分别与平面α相交于E,F,G,H,
求证:E,F,G,H必在同一直线上.
证明:因为AB∥CD,所以AB,CD确定平面ABCD.
因为AD∩α=H,所以H∈平面ABCD,H∈α,由基本事实3可知,H必在平面ABCD与平面α的交线上.同理F,G,E都在平面ABCD与平面α的交线上,因此E,F,G,H必在同一直线上.
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B级——重点培优
10.如图,α∩β=l,A∈α,C∈β,C l,直线AD∩l=D,过A,B,C
三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过(　 )
A.点A B.点B
C.点C,但不过点D D.点C和点D
解析:A,B,C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合,故C,D∈γ,
且C,D∈β,故C,D在γ和β的交线上.
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11.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,那么 (　 )
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在直线AC上,也可能在直线BD上
D.M既不在直线AC上,也不在直线BD上
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解析:如图,因为EF∩HG=M,所以M∈EF,M∈HG,又EF 平面ABC,HG 平面ADC,故M∈平面ABC,M∈平面ADC,又平面ABC∩平面ADC=AC,所以M∈AC.故选A.
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12.在正方体中,E,F,G,H分别是该点所在棱的中点,则下列图形中E,F,G,H四点共面的是 (　 )
解析:对于A,如图1所示,点E,F,H确定一个平面,该平面与底面交于FM,而点G不在直线FM上,故E,F,G,H不共面,A错误;对于B,如图2所示,连接
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底面对角线AC,则由中位线定理可知,FG∥AC,又易知EH∥AC,则EH∥FG,故E,F,G,H共面,B正确;对于C,显然E,F,H所确定的平面为正方体的底面,而点G不在该平面内,故E,F,G,H不共面,C错误;对于D,如图3所示,取部分棱的中点,顺次连接,可得一正六边形,也即是点E,G,H确定的平面与正方体正面的交线为PQ,而点F不在直线PQ上,故E,F,G,H四点不共面,D错误.
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13.(17分)在正方体ABCD A1B1C1D1中.
(1)AA1与CC1是否在同一平面内 请说明理由;
解:是,平行直线确定一平面.
(2)点B,C1,D是否在同一平面内 请说明理由;
解:是,不在同一直线上的三点确定一平面.
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(3)画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线;画出平面ACD1与平面BDC1的交线.
解:如图,设BD∩AC=O,又C1∈平面ACC1A1,C1∈平面BC1D,
O∈平面ACC1A1,O∈平面BC1D,则C1O 平面BC1D,
C1O 平面ACC1A1,故平面ACC1A1与平面BC1D的交线为C1O.
如图,设CD1∩C1D=O1,AC∩BD=O2.
因为O1∈平面ACD1,O1∈平面BDC1,O2∈平面ACD1,
O2∈平面BDC1,所以O1O2 平面ACD1,
O1O2 平面BDC1.故平面ACD1与平面BDC1的交线为O1O2.3.1　空间图形基本位置关系　平面的基本事实及推论
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.借助长方体,直观认识空间点、直线、平面的位置关系,会用符号表示点、线、面间的位置关系.
2.了解基本事实1~3及基本事实1,2的推论,并能应用基本事实及推论解决一些简单问题.
1.点、线、面之间的关系及符号表示(其中A是点,l,m是直线,α,β是平面)
文字语言 符号语言 图形语言
点与 直线 A在l上 A　　l
A在l外 A　　l
点与 平面 A在α内 A　　α
A在α外 A　　α
直线 与 直线 l与m相交 　　　=A
l与m不相交 l∩m=
直线 与 平面 l在α内 l α
l与α平行 l∥α
l与α相交 l∩α=A
平面 与 平面 α与β相交 α∩β=l
α与β不相交 α∥β α∩β=
2.平面的基本事实
基本 事实 内容 图形 符号 作用
基本 事实1 过　　　　　　　的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的α使A,B,C∈α 用来确 定一个 平面
基本 事实2 如果一条直线上的　　　　在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 　　　　　,　　　　　,且　　　　,　　　　　 l α 用来证明 直线在平 面内
基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条 　　　　　　　　　　 　　　　　,且　 　　 α∩β=l,且P∈l 用来证明 空间的点 共线和线 共点
3.平面的基本事实1,2的三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面 确定 平面 的依据
推论2 两条相交直线确定一个平面
推论3 两条平行直线确定一个平面
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)经过空间任意三点能确定一个平面. (　 )
(2)四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形. (　 )
(3)基本事实2是确定直线在平面内的依据. (　 )
2.三点可确定平面的个数是 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.1或无数个
3.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在横线上.
(1)A α,a α　　　　;
(2)α∩β=a,P α,且P β　　　　;
(3)a∩α=A　　　　;
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O　　　.
题型(一)　点、线、面的位置关系
[例1]　用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B.
(2)点A,B在平面α内,直线a与平面 α交于点C,点C不在直线AB上.
听课记录:
|思|维|建|模|
三种语言转换的注意点
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义,如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”,直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
(3)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
　　[针对训练]
1.用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
(2)直线AB,AC分别在平面α,β内,且点A在平面α与平面β的交线l上.
题型(二)　点线共面问题
[例2]　已知a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线.求证:直线a,b,c,d共面.
听课记录:
|思|维|建|模|　证明多线共面的两种常用方法
纳入 平面法 先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内
辅助 平面法 先证明一些元素在一个平面内,再证明另一些元素在另一个平面内,然后证明这两个平面重合,即证得所有元素在同一个平面内
　　　[针对训练]
2.如图所示,已知l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
题型(三)　三点共线问题
[例3]　已知点A,B,C在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.
听课记录:
|思|维|建|模|
证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3可知,这些点都在两个平面的交线上.
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在此直线上.
　　[针对训练]
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.
求证:(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.
题型(四)　三线共点问题
[例4]　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.
听课记录:
|思|维|建|模|
证明三线共点的方法
　　证明空间三条直线共点的常用方法是先证明其中的两条直线相交于一点,再证明这一点在第三条直线上.一般依据两个平面的交线有且只有一条这一基本事实,证明该点是两个平面的公共点,进而证明直线是这两个平面的交线.
　　[针对训练]
4.已知:平面α,β,γ两两相交于三条直线l1,l2,l3,且l1,l2不平行.求证:l1,l2,l3相交于一点.
3.1
课前预知教材
1.∈　 　∈　 　l∩m　2.不在一条直线上　两个点　A∈l　B∈l　A∈α　B∈α　过该点的公共直线　P∈α　P∈β
[基础落实训练]
1.(1)×　(2)×　(3)√　2.D　
3.(1)C　(2)D　(3)A　(4)B
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1]　解:(1)用符号表示α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图①.
(2)用符号表示A∈α,B∈α,a∩α=C,C AB,如图②.
[针对训练]
1.解:(1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形表示:如图①.
(2)用符号表示:α∩β=l,A∈l,AB α,AC β,如图②.
[题型(二)]
[例2]　证明:①没有三线共点的情况,如图(1),设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.
∵a∩d=M,∴a,d可以确定一个平面α.
∵N∈d,Q∈a,∴N∈α,Q∈α.∴NQ α,
即b α.同理c α.因此直线a,b,c,d共面.
②有三线共点的情况,如图(2)所示,设b,c,d三线相交于一点K,与a分别交于点N,P,M,且K a.
∵K a,∴K和a确定一个平面,设为β.
∵N∈a,a β,∴N∈β.∴NK β,即b β.
同理c β,d β.因此直线a,b,c,d共面.
由①②可知直线a,b,c,d共面.
[针对训练]
2.证明:法一:纳入平面法
∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴B∈l2.
又∵l2 α,∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3,C∈l3,∴l3 α.
∴直线l1,l2,l3在同一平面内.
法二:辅助平面法
∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.
∵A∈l2,l2 α,∴A∈α.
∵A∈l2,l2 β.∴A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
[题型(三)]
[例3]　证明:法一:∵AB∩α=P,
∴P∈AB,P∈α.
∵AB 平面ABC,∴P∈平面ABC.
∴点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P,Q,R三点共线.
法二:∵AP∩AR=A,
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
∵AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.
∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC 平面APR.
∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.
又Q∈α,∴Q∈PR.∴P,Q,R三点共线.
[针对训练]
3.证明:如图.
(1)连接B1D1,
∵EF是△D1B1C1的中位线,
∴EF∥B1D1.
∵在正方体AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD.
∴EF,BD确定一个平面,
即D,B,F,E四点共面.
(2)在正方体AC1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1,∴Q∈α.
又Q∈EF,∴Q∈β.
则Q是α与β的公共点,同理P是α与β的公共点,
∴α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,∴R∈A1C.
∴R∈α,且R∈β,则R∈PQ.
故P,Q,R三点共线.
[题型(四)]
[例4]　证明:
如图,连接EF,D1C,A1B,因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EFA1B.
又A1BD1C,所以EFD1C.
所以E,F,D1,C四点共面,可设D1F∩CE=P.
又D1F 平面A1D1DA,CE 平面ABCD,
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,
所以根据基本事实3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三线交于一点.
[针对训练]
4.证明:如图,
α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3.
∵l1 β,l2 β,且l1,l2不平行,
∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P,
则P∈l1 α,P∈l2 γ,
∴P∈α∩γ=l3.
∴l1,l2,l3相交于一点P.
7 / 7课时跟踪检测(四十六)　空间图形基本位置关系　平面的基本事实及推论
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.两个平面若有三个公共点,则这两个平面 (　　)
A.相交 B.重合
C.相交或重合 D.以上都不对
2.平面α∩平面β=l,点A∈α,点B∈β,且B l,点C∈α,又AC∩l=R,过A,B,C三点确定的平面为γ,则β∩γ是 (　　)
A.直线CR B.直线BR
C.直线AB D.直线BC
3.一条直线和这条直线外不共线的三点,最多可确定 (　　)
A.三个平面 B.四个平面
C.五个平面 D.六个平面
4.(多选)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理正确的是 (　 )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β a β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β α∩β=MN
C.A∈α,A∈β α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线 α,β重合
5. (多选)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是 (　　)
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
6.如图所示,用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.
(1)点A,B在直线a上　　　　;
(2)直线a在平面α内　　　　;
(3)点D在直线b上,点C在平面α内　　　　.
7.在如图所示的正方体ABCD-A'B'C'D'中,
(1)与AB所在直线平行的平面有　　　　个;
(2)与A'B所在直线平行的平面有　　　　个;
(3)与A'D'所在直线相交的平面有　　　　个;
(4)与BD'所在直线相交的平面有　　　　个.
8. (15分)如图,已知a α,b α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ α.
9.(15分)如图所示,四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与平面α相交于E,F,G,H,求证:E,F,G,H必在同一直线上.
B级——重点培优
10.如图,α∩β=l,A∈α,C∈β,C l,直线AD∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过 (　 )
A.点A B.点B
C.点C,但不过点D D.点C和点D
11.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,那么 (　　)
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在直线AC上,也可能在直线BD上
D.M既不在直线AC上,也不在直线BD上
12.在正方体中,E,F,G,H分别是该点所在棱的中点,则下列图形中E,F,G,H四点共面的是 (　　)
13.(17分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)AA1与CC1是否在同一平面内 请说明理由;
(2)点B,C1,D是否在同一平面内 请说明理由;
(3)画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线;画出平面ACD1与平面BDC1的交线.
课时跟踪检测(四十六)
1.选C　两个平面若有三个公共点,当这三个点不共线时,两平面重合,当这三个点共线时,这两个平面相交或重合.
2.选B　如图所示.由题意可知,AC γ,AC∩l=R,则R∈γ, 又平面α∩平面β=l,
则l α,l β,∵AC∩l=R,∴R∈β,∵B∈β,B∈γ,∴β∩γ=直线BR.
3.选B　直线和直线外的每一个点都可以确定一个平面,有三个平面,另外,不共线的三点可以确定一个平面,共可确定四个平面.
4.选ABD　对于A,若A∈a,A∈β,B∈a,B∈β,即直线a上有两个点都在平面β上,由基本事实2可知,这条直线就在平面上,即a β,故A正确;
对于B,若M∈α,M∈β,N∈α,N∈β,即M,N在平面α和平面β的交线上,即α∩β=MN,故B正确;
对于C,若A∈α,A∈β,点A在平面α和平面β的交线上,由基本事实3可知α∩β为经过点A的一条直线而不是A,故C错误;
对于D,因为A,B,M三点不共线,由基本事实1可知,A,B,M三点可构造唯一一个平面,又A,B,M∈α,A,B,M∈β,则α,β两平面重合,故D正确.
5.选ABC　连接A1C1,AC(图略),则AC∩BD=O,因为AC 平面ACC1A1,BD 平面C1BD,所以O∈平面ACC1A1,O∈平面C1BD.因为A1C∩平面C1BD=M,且A1C 平面ACC1A1,所以M∈平面ACC1A1,M∈平面C1BD.又易知C1∈平面ACC1A1,C1 ∈平面C1BD,所以C1,M,O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以选项A中结论正确,又由推论1可知B、C中结论均正确,易知D中结论不正确.
6.解析:根据点、线、面的位置关系及其表示方法,可知(1)A∈a,B∈a,(2)a α,(3)D∈b,C∈α.
答案:(1)A∈a,B∈a　(2)a α　(3)D∈b,C∈α
7.解析:(1)与AB所在直线平行的平面有平面A'B'C'D'和平面DCC'D';
(2)与A'B所在直线平行的平面只有平面DCC'D';
(3)与A'D'所在直线相交的平面有平面DCC'D'和平面A'B'BA;
(4)与BD'所在直线相交的平面有平面ABB'A'、平面BCC'B'、平面CDD'C'、平面DAA'D'、平面ABCD、平面A'B'C'D'.
答案:(1)2　(2)1　(3)2　(4)6
8.证明:∵PQ∥a,∴PQ与a可以确定一个平面β.
∴直线a β,P∈β.
∵P∈b,b α,∴P∈α.
又∵a α,∴α与β重合.∴PQ α.
9.证明:因为AB∥CD,所以AB,CD确定平面ABCD.因为AD∩α=H,所以H∈平面ABCD,H∈α,由基本事实3可知,H必在平面ABCD与平面α的交线上.同理F,G,E都在平面ABCD与平面α的交线上,因此E,F,G,H必在同一直线上.
10.选D　A,B,C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合,故C,D∈γ,且C,D∈β,故C,D在γ和β的交线上.
11.选A　如图,因为EF∩HG=M,所以M∈EF,M∈HG,又EF 平面ABC,HG 平面ADC,故M∈平面ABC,M∈平面ADC,又平面ABC∩平面ADC=AC,所以M∈AC.故选A.
12.选B　对于A,如图1所示,点E,F,H确定一个平面,该平面与底面交于FM,而点G不在直线FM上,故E,F,G,H不共面,A错误;对于B,如图2所示,连接底面对角线AC,则由中位线定理可知,FG∥AC,又易知EH∥AC,则EH∥FG,故E,F,G,H共面,B正确;对于C,显然E,F,H所确定的平面为正方体的底面,而点G不在该平面内,故E,F,G,H不共面,C错误;对于D,如图3所示,取部分棱的中点,顺次连接,可得一正六边形,也即是点E,G,H确定的平面与正方体正面的交线为PQ,而点F不在直线PQ上,故E,F,G,H四点不共面,D错误.
13.解:(1)是,平行直线确定一平面.
(2)是,不在同一直线上的三点确定一平面.
(3)如图,设BD∩AC=O,又C1∈平面ACC1A1,
C1∈平面BC1D,O∈平面ACC1A1,O∈平面BC1D,则C1O 平面BC1D,
C1O 平面ACC1A1,故平面ACC1A1与平面BC1D的交线为C1O.
如图,设CD1∩C1D=O1,AC∩BD=O2.因为O1∈平面ACD1,O1∈平面BDC1,O2∈平面ACD1,O2∈平面BDC1,
所以O1O2 平面ACD1,
O1O2 平面BDC1.故平面ACD1与平面BDC1的交线为O1O2.
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