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第24章 圆
24.1.4.2
圆内接四边形
授课：
时间：
问题回顾
(1) 什么是圆心角 什么是圆周角？
顶点在圆心的角是圆心角.
顶点在圆上, 并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
(2) 同弧或等弧所对的圆心角和圆周角有什么关系？
(3) 同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？
圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理推论:同弧或等弧所对的圆周角相等.
问题思考
C
A
B
O
如图, ∠C是圆O的圆周角.
(1) 若∠O＝60°时, ∠C＝_____;
(2) 若∠O＝90°时, ∠C＝_____;
(3) 若∠O＝120°时, ∠C＝_____;
(4) 当∠O是平角时, 则弦AB是_____,
那么∠C＝_____;
(5) 若∠C＝90°, 则弦AB是_____.
30°
问题思考
C
A
B
O
如图, ∠C是圆O的圆周角.
(1) 若∠O＝60°时, ∠C＝_____;
(2) 若∠O＝90°时, ∠C＝_____;
(3) 若∠O＝120°时, ∠C＝_____;
(4) 当∠O是平角时, 则弦AB是_____,
那么∠C＝_____;
(5) 若∠C＝90°, 则弦AB是_____.
30°
45°
问题思考
C
A
B
O
如图, ∠C是圆O的圆周角.
(1) 若∠O＝60°时, ∠C＝_____;
(2) 若∠O＝90°时, ∠C＝_____;
(3) 若∠O＝120°时, ∠C＝_____;
(4) 当∠O是平角时, 则弦AB是_____,
那么∠C＝_____;
(5) 若∠C＝90°, 则弦AB是_____.
30°
45°
60°
问题思考
C
A
B
O
如图, ∠C是圆O的圆周角.
(1) 若∠O＝60°时, ∠C＝_____;
(2) 若∠O＝90°时, ∠C＝_____;
(3) 若∠O＝120°时, ∠C＝_____;
(4) 当∠O是平角时, 则弦AB是_____,
那么∠C＝_____;
(5) 若∠C＝90°, 则弦AB是_____.
30°
45°
60°
直径
90°
直径
得出结论
圆周角定理推论2:
半圆或直径所对的圆周角是直角, 90°的圆周角所对的弦是直径.
符号语言:
∵AB是直径,
∴∠C＝90°.
C
A
B
O
∵∠C＝90°,
∴ AB是直径.
符号语言:
典例精析
例1.如图, 圆O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交圆O于点D.
(1) ∠ACB＝____,∠ADB＝____;
(2) 由∠ACB的平分线可以推出＝____;
(3) 如何求BC,AD,BD的长呢
90°
90°
解: ∵AB是直径, ∴∠ACB＝∠ADB＝90°,
∴BC＝cm,
连接OD,∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD＝∠DCB, ∠AOD＝∠BOD,
∴AD＝BD,
∵AD2＋BD2＝AB2,
∴AD＝BD＝AB＝5cm.
圆周角相等不能直接推出所对的弦相等.
小试锋芒
练习1.如图, ⊙O是△ABC的外接圆, AC是⊙O的直径, 点P在⊙O上.若∠ACB＝40°, 则∠BPC的度数为( ).
A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
C
小试锋芒
练习2.已知: 如图, AB为⊙O的直径, AB＝AC, BC交⊙O于点D, AC交⊙O于点E, ∠BAC＝45°.
(1)求∠EBC的度数;
(2)求证: BD＝CD.
答案: (1)∠EBC＝22.5°;
(2)连接AD,根据等腰三角形三线合一即可证明.
问题探索
如图, AB是圆O的弦, ∠AOB＝130°,点P是圆上的点.
P
A
B
O
(1) 弦AB所对的弧是_________;
(2) 当点P在优弧时, ∠APB＝_____;
(3) 当点P’在劣弧时, ∠AP’B＝_____;
(4) 若角∠AOB＝α,则∠APB＝___________;
(5) 思考∠APB与∠AP’B的数量关系.
,
P’
65°
115°
或
∠APB＋∠AP’B＝180°
探索新知
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上, 这个多边形叫做圆内接多边形.
这个圆叫做多边形的外接圆.
D
A
C
O
B
例如: 四边形ABCD是圆O的内接四边形, 圆O是四边形ABCD的外接圆.
圆内接四边形的四个角之间有什么关系
∠A＋∠C＝180°,
∠B＋∠D＝180°.
得出结论
圆内接四边形对角互补.
符号语言:
∵ABCD是圆O的内接四边形,
∴∠A＋∠C＝180°, ∠B＋∠D＝180°.
D
A
C
O
B
练习2.如图, 四边形ABCD内接于⊙O, 若∠B＝128°, 则∠D的大小为( ).
A. 42° B. 52°
C. 62° D. 72°
B
典例精析
例2.如图, 四边形ABCD是圆的内接四边形, ∠A＝60°, ∠B＝90°, AB＝2,
CD＝1, 求AD的长.
解: 延长AD, BC交于点E,
∵ABCD是圆的内接四边形,
∴∠ADC＝∠CDE＝180°－90°＝90°,
∴∠E＝30°,
∴CE＝2CD＝2,AE＝2AB＝4,
在Rt△CDE中, DE＝,
∴AD＝4－.
小试锋芒
练习3.如图, 在△ABC中, AC＝BC, D是AB上一点, ⊙O经过点A, C, D, 交BC于点E, 过点D作DF//BC, 交⊙O于点F, 连接AF, EF, CF.
求证: (1)四边形DBCF是平行四边形;
(2)AF＝EF.
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