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(共22张PPT)
第24章 圆
24.2.1.1
点和圆的位置关系
授课：
时间：
小智爷爷家有一个小型养鸡场
问题思考
养鸡场最中央有一个圆形的鸡槽.
思考米粒与鸡槽有哪些位置关系？
米粒在鸡槽外
米粒在鸡槽上
米粒在鸡槽内
小雯国庆游玩时发现一个“套圈”游戏
问题思考
小雯国庆游玩时发现一个“套圈”游戏.
思考“套圈”和“玩具鸭子”有什么位置关系？
玩具鸭子在套圈外
玩具鸭子在套圈上
玩具鸭子在套圈内
问题思考
思考点与圆有怎样的位置关系？
若将“鸡槽”和“套圈”抽象成一个圆, 将“米粒” 和“玩具鸭子” 抽象成一个点.
归纳总结
O
P1
r
点与圆的位置关系:
O
r
O
r
P2
P3
点P1在圆内
半径>点到圆心的距离
点P2在圆上
半径＝点到圆心的距离
点P3在圆外
半径<点到圆心的距离
d
d
d
r > d
r = d
r < d
数形结合思想: 位置关系 数量关系
典例精析
例.如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, AC＝2cm, BC＝4cm, CM是AB边上的中线.
(1)若以C为圆心, cm为半径画圆, 则点A, B, M与⊙C的位置关系如何
解: ∵CA＝2cm∴点A在圆C内.
∵BC＝4cm>cm,
∴点B在圆C外.
∵AB＝ cm,
又 CM是AB边上的中线,
∴CM＝AB＝ cm,
∴点M在圆C上.
典例精析
例.如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, AC＝2cm, BC＝4cm, CM是AB边上的中线.
(2)若以C为圆心作⊙C, 使点A, B, M中至少有一点在圆内, 且至少有一点在圆外, 求⊙C的半径r的取值范围.
解: 当点B在圆上时, r＝4cm,
当点A在圆上时, r＝2cm,
当点M在圆上时, r＝cm,
∴2cm小试锋芒
练习1.在平面直角坐标系xOy中, ⊙O的半径为5, 点P(3,4)与⊙O的位置关系是( ).
A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O内 C. 点P在⊙O外 D. 不能确定
A
练习2.如图, 已知矩形ABCD的边AB＝3, AD＝4.以A为圆心, 4为半径作⊙A, 则点B、C、D与⊙A的位置关系如何
A
B
C
D
答案: 点D在圆A上, 点B在圆A内, 点C在圆A外.
小试锋芒
练习3.如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, AB＝5, BC＝4.以点A为圆心, r为半径作圆, 当点C在⊙A内且点B在⊙A外时, r的取值范围是_______.
3问题思考
(1) 如何确定一个圆？
①圆心, 圆心确定其位置; ②半径, 半径确定其大小．
(2) 经过一个已知点A能不能作圆 能作多少个？
A
经过点A作圆, 以点A外任意一点为圆心, 以这一点到点A的距离为半径作圆, 这样的圆有无数个.
进一步思考
(3) 经过2个已知点A, B能不能作圆 这些圆的圆心分布有什么特点？
A
B
O1
O2
O3
圆心O1,O2,O3到点A,B的距离有什么关系
O1,O2,O3到点A,B的距离相等.
圆心在线段AB的垂直平分线上.
可以作无数个圆
进一步思考
(4) 经过3个已知点A, B, C能不能作圆
A
B
C
经过点A,B的圆的圆心在_____________________;
经过点B,C的圆的圆心在_____________________;
经过点A,C的圆的圆心在_____________________.
线段AB的垂直平分线上
线段BC的垂直平分线上
线段AC的垂直平分线上
∴圆心在___________________________.
任意两点连线的垂直平分线上
进一步思考
(4) 经过3个已知点A, B, C, 求作圆心O.
A
B
C
O
作线段AB的垂直平分线l1;
作线段BC的垂直平分线l2;
直线l1,l2的交点即圆心O.
l1
l2
(5) 经过同一直线上的三个点能作出一个圆吗
经过A,B,C三点的圆的圆心在任意两点连线的垂直平分线的交点上.
问题探索
(5) 经过同一直线上的三个点能作出一个圆吗
A
B
C
P
证明: 假设经过同一直线l上的A,B,C三点可以作一个圆.
作AB,BC的垂直平分线l1,l2,
设l1,l2交于点圆心P,
而l1⊥AC, l2⊥AC,
与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾,
故假设不成立, 原命题成立.
l1
l2
反证法
提出猜想: 经过同一直线上的三点不可以作一个圆.
归纳总结
反证法：
先假设命题的结论不成立, 然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾), 由矛盾判定假设不正确, 从而得到原命题成立, 这种方法叫做反证法．
原命题: 经过同一直线上的三个点不能作出一个圆;
假设命题不成立: 经过同一直线上的三个点能作出一个圆;
推理发现矛盾: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
得出假设不成立, 则原命题成立.
反证法一般步骤：
归纳总结
(6) 满足什么条件的三个点能确定一个圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
A
B
C
O
l1
l2
“不在同一直线上”是三个点的位置关系；
“一个”代表“有且仅有”.
小试锋芒
练习4.小雯不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了, 需要配制一块同样大小的玻璃, 工人师傅在一块如图所示的玻璃残片的边缘描出了点A, B, C, 画出△ABC, 这块玻璃的圆心是( ).
A. AB, AC边上的中线的交点
B. AB, AC边的垂直平分线的交点
C. AB, AC边上的高线所在直线的交点
D. ∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
B
小试锋芒
练习5.使用反证法证明: 两直线平行, 同位角相等.
已知: AB//CD.求证: ∠1＝ ∠2.
证明: 假设∠1 ≠∠2.
过点M作直线A’B’, 使∠FMB’＝∠2,
则A’B’//CD,
∵AB//CD, 且AB,A’B’交于点M,
与“过一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾,
故假设不成立,原命题成立.
A’
B’
小试锋芒
练习6.选择用反证法证明:
已知: 在△ABC中, ∠C＝90°.
求证: ∠A, ∠B中至少有一个角不大于45°.
应先假设( ).
A. ∠A>45°, ∠B>45° B. ∠A ≥ 45°, ∠B ≥ 45°
C. ∠A<45°, ∠B<45° D. ∠A ≤ 45°, ∠B ≤ 45°
A
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第24章 圆
24.2.1.2
三角形的外接圆
授课：
时间：
问题思考
(1)如何确定一个圆？
法①: 已知圆心和半径可以确定一个圆.
法②: 不在同一直线上的三点确定一个圆.
(2)作圆O,使得点A, B, C都在圆上.
A
B
C
经过A,B,C三点的圆的圆心在任意两点连线的垂直平分线的交点上.
问题探索
A
B
C
如图, 连接AB,BC,AC.
O
如图, △ABC的三个顶点都在圆上, 所以⊙O是△ABC的________;
△ABC是⊙O的____________.
外接圆
内接三角形
经过三角形的三个顶点可以作一个圆, 这个圆叫做三角形的外接圆.
如何作一个三角形的外接圆呢？
问题探索
作图: 作锐角△ABC的外接圆.
A
B
C
O
l1
l2
作线段BC的垂直平分线l1;
作线段AC的垂直平分线l2;
直线l1,l2的交点即圆心O;
以点O为圆心, OA长为半径作圆, 圆O即锐角△ABC的外接圆.
三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点, 叫做三角形的外心.
小组合作: 画一画直角三角形、钝角三角形的外接圆.
观察外心与三角形的位置有什么关系？
外心
归纳总结
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
外心在
锐角三角形内部
外心在
直角三角形斜边中点上
外心在
钝角三角形外部
三角形外心的性质: 外心到三角形三个顶点的距离相等.
斜边中点
典例精析
例1.如图, △ABC内接与圆O, ∠A＝45°, BC＝4, 求圆O的半径.
A
B
C
O
解: 连接OB,OC,
∵,
∴∠O＝2∠A＝90°,
设OB＝OC＝r,
∵OB2＋OC2＝BC2,
∴圆O的半径OB＝ ＝ 2.
小试锋芒
练习1.下列命题中, 真命题的个数是( ).
①经过三点可以作一个圆;
②一个圆有且只有一个内接三角形;
③一个三角形有且只有一个外接圆;
④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等;
⑤直角三角形的外心是三角形斜边的中点.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
B
小试锋芒
练习2.如图, △ABC中, AB＝AC, AD是∠BAC的平分线, 直线EF是线段AC的垂直平分线, 交AD于点O.若OA＝3, 则△ABC外接圆的面积为______.
9π
小试锋芒
练习3.如图, ∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,连接BD.
若∠BAC＝90°, BD＝4,求△ABC外接圆的半径.
答案:△ABC外接圆的半径为2.
进一步探索
如图, 点P是圆O内部一定点,点Q是圆上一动点.
O
P
Q
l
当点Q运动到哪个位置时, PQ最小
进一步探索
如图, 点P是圆O内部一定点,点Q是圆上一动点.
O
P
Q
l
当点Q,P,O三点共线时, PQ最小.
当点Q运动到哪个位置时, PQ最小
Q’
证明: 在圆上取一点Q’异于点Q,
连接PQ’,OQ’,
∵QP＋PO＝OQ＝OQ’,
而Q’P＋PO>OQ’
∴Q’P > QP.
进一步探索
如图, 点P是圆O内部一定点,点Q是圆上一动点.
O
P
Q
l
最小值PQ＝_________.
当点Q运动到哪个位置时, PQ最小
当点Q,P,O三点顺次共线时, PQ最小.
OQ－PO
当点Q运动到哪个位置时, PQ最大
进一步探索
如图, 点P是圆O内部一定点,点Q是圆上一动点.
O
P
Q
l
当点Q运动到哪个位置时, PQ最大
最大值PQ＝_________.
当点P,O,Q三点顺次共线时, PQ最大.
OQ＋PO
如何证明？
Q’
OQ＋OP＝PQ,
OQ’＋OP >PQ’
PQ>PQ’
归纳总结
O
P
Q2
l
Q1
如图, 点P是圆O内部一点, 作直线PO交圆O与点Q1,Q2.
点P(在圆内)到圆上的距离
PQ1最小, 最小值为OQ1－PO,
PQ2最大, 最大值为OQ2＋PO.
小组探索: 当点P是圆O外一点, 点Q为圆上一点, PQ何时最大 何时最小
归纳总结
O
P
Q2
l
Q1
如图, 点P是圆O内部一点, 作直线PO交圆O与点Q1,Q2.
点P(在圆内)到圆上的距离
PQ1最小, 最小值为OQ1－PO,
PQ2最大, 最大值为OQ2＋PO.
如图, 点P是圆O外部一点, 作直线PO交圆O与点Q1,Q2.
点P(在圆外)到圆上的距离
PQ1最小, 最小值为PO－OQ1,
PQ2最大, 最大值为PO＋OQ2.
O
P
Q2
l
Q1
典例精析
例2.如图, 在矩形ABCD, AB＝3,AD＝4.
点P为平面内一点, 连接AP,CP,若AP＝2,求CP的最大值与最小值.
A
B
C
D
P
P2
P1
(1) 点P的运动轨迹是什么
(2) 如何确定CP的最值
解: 以点A为圆心, AP长为半径作圆,
作直线CA交圆A于点P1,P2,
则CP1最小, CP2最大.
在Rt△ABC中, AC＝,
∴最小值CP1＝5－2＝3,最大值CP2＝5＋2＝7.
小试锋芒
练习4.⊙O内一点P到⊙O上的最近点的距离为1,最远点的距离为7,则⊙O的半径为____.
4
小试锋芒
练习5.如图, 抛物线y＝ x2 4与x轴交于A, B两点, P是以点C(0,3)为圆心, 2为半径的圆上的动点, Q是线段PA的中点, 连接OQ, 求线段OQ的最大值.
答案:线段OQ的最大值为3.5.
P
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