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(共15张PPT)
第24章 圆
24.2.2.2
切线的判定
授课：
时间：
忆往昔
分享一下，你小时候还做过哪些有趣的事情？
问题思考
观察雨伞旋转过程, 思考雨滴是沿着什么方向飞出的
问题思考
圆O与直线l如图所示.
O
r
d
如何判断直线l是否与圆相切
切线的定义:
直线和圆只有一个公共点时, 我们说这条直线是圆的切线.
数量关系法:
圆心到这条直线的距离等于半径(即d＝r)时, 直线与圆相切.
l
进一步思考
如图, 在⊙O中, 经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA.
圆心O到直线l的距离是多少 直线l和圆O有什么位置关系
O
A
l
圆心O到直线l的距离＝⊙O的半径,
∴直线l与⊙O相切.
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
归纳总结
O
A
l
切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
符号语言:
∵半径OA⊥l,
∴l为⊙O的切线.
下列图形中, 直线l是圆O的切线吗
l
l
l
归纳总结
O
A
l
切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
符号语言:
∵半径OA⊥l,
∴l为⊙O的切线.
(1)判定切线的前提条件是什么
①直线经过半径的外端;
②直线垂直于这条半径.
(2)已知一个圆和圆上的一点, 如何过这个点作圆的切线
问题思考
如图, 已知点A是☉O上一点, 过点A作☉O的切线.
O
A
l
连接OA,则OA为☉O的半径;
过点A作l⊥OA,直线l即☉O的切线.
典例精析
例1.如图, AB是☉O的直径, ∠A＝45°, AB＝BC.
求证: BC是☉O的切线.
证明: ∵AB＝BC,
∴∠A＝∠C＝45°,
∴∠ABC＝90°,
又 OB为半径,
∴BC是☉O的切线.
小试锋芒
练习1.如图, 线段AB 经过圆心O, 交⊙O 于点 A,C, ∠BAD＝∠B＝30°, 边 BD 交圆于点 D, 连接OD.判断BD与⊙O 的位置关系并证明.
答案: BD与圆O相切.
思路: 由已知条件易得∠DOB＝60°, 进而推出∠ODB是直角, 再根据切线的判定定理即可完成证明.
典例精析
例2.如图, 以等边三角形ABC的BC边为直径画⊙O, 交AC于点D, DF⊥AB于点F. 求证: DF是⊙O的切线.
证明: 连接OD,
在△ABC中, ∠C＝∠A＝60°,
∵OC＝OD,
∴∠ODC＝60°,
∴OD//AB,
∵DF⊥AB,∴OD⊥DF,
又 OD为半径,
∴DF是⊙O的切线.
还有其它的解法吗？
小试锋芒
练习2.如图, AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点, AD与过C点的直线互相垂直, 垂足为D, AC平分∠DAB. 求证: DC为⊙O的切线.
思路: 连接OC,等腰△OAC和AC平分∠BAD可推出OC//AD, 进而得出OC⊥CD, 再根据切线的判定定理即可完成证明.
有交点, 连半径, 证垂直.
证明切线的方法:
典例精析
例3.如图, 在△ABC中, ∠B＝90°, 边AC交圆O与点D,E,且AD＝CE.
若OD＝5,BC＝10,则AB与圆O的位置关系为_______.
M
(1)判定切线的前提条件是什么
①直线经过半径的外端; ②直线垂直于这条半径.
(2)能确定AB与圆O是否有交点吗
无法确定是否无交点.
(3)无交点无法连接半径, 怎样做辅助线呢
过点O作OM⊥AB于点M,证明OM为半径.
相切
典例精析
练习3.如图, 在□ ABCD中, BC＝5, S□ABCD＝25, 以顶点C为圆心, BC为半径作圆, 则AD边所在直线与⊙C的位置关系为_______.
E
相切
无交点, 作垂直，证半径.
证明切线的方法:
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第24章 圆
24.2.2.3
切线的性质
授课：
时间：
知识回顾
(1) 什么是圆的切线？
(2) 圆的切线有哪些判定方法？
数量关系法:
圆心到这条直线的距离等于半径(即d＝r)时, 直线与圆相切.
直线和圆只有一个公共点时, 我们说这条直线是圆的切线.
判定定理:
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的定义
问题思考
如图, 直线l是⊙O 的切线, 点A为切点.
思考OA与l的有怎样位置关系
O
A
l
OA⊥l
提出猜想: 圆的切线垂直于经过切点的半径.
如何证明呢
验证猜想
O
A
l
提出猜想: 圆的切线垂直于经过切点的半径.
已知: ____________________________;
求证: ______.
直线l是⊙O 的切线, 点A为切点
OA⊥l
证明: 假设OA不垂直于l.
过点O作OA’⊥l于点A’,
∴OA>OA’,
又 点A为切点, OA为半径,
∴直线l与圆相交,
与已知条件“直线l是⊙O 的切线”相矛盾,
∴假设不成立, 原命题成立.
A’
得出结论
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径.
符号语言:
∵直线l与⊙O 相切于点A.
∴OA⊥l.
条件中“经过切点”能否去掉
O
A
l
不能.例如图中l不垂直于半径OA.
典例精析
例1.如图, PA,PB是⊙O的切线, A,B为切点, AC是⊙O的直径, ∠BAC＝25°.
求∠P的度数.
证明: 连接OB.
∵⊙O与PA相切于点A,与PB相切于点B,
∴OA⊥PA, OB⊥PB,
∵OA＝OB,
∴∠OAB＝∠OBA＝25°,
∴∠AOB＝180°－25°－25°＝130°,
∴∠P＝180°－130°＝50°.
火眼金睛
练习1.下列命题是真命题的有___个.
切线和圆只有一个公共点;
圆心到切线的距离等于圆的半径;
切线垂直于过切点的半径;
经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.
4
以上4点为切线的全部性质.
小试锋芒
练习1.如图, PA是⊙O的切线, A为切点, PO的延长线交⊙O于点B.
若∠P＝40°, 则∠B的度数为( ).
A. 20° B. 25° C. 40° D. 50°
B
切线性质的使用:
见切点, 连半径, 得垂直.
小试锋芒
练习2.如图, 以点O为圆心的两个同心圆中, 大圆的弦AB是小圆的切线, 点P为切点.求证: PA＝PB.
思路: 连接OP,再应用切线的性质定理和垂径定理即可得证.
典例精析
例2.如图, △ABC为等腰三角形, O是底边BC的中点, 腰AB与⊙O相切于点D.
求证: AC是⊙O的切线.
AC与⊙O有交点吗 如何构造辅助线呢
证明: 过点O作OE⊥AC于点E,连接OA,OD.
∵⊙O与AB相切于点D,
∴OD⊥AB,
在等腰△ABC中, O为BC中点,
∴AO平分∠BAC,
∴OD＝OE,
∴AC是⊙O的切线.
E
小试锋芒
练习3.如图, ⊙O与△ABC的AC边相切于点C, 与AB, BC边分别交于点D, E, DE//OA, CE是⊙O的直径.
求证: AB是⊙O的切线.
思路: 连接OD,由DE//OA推理∠AOD＝∠AOC,再根据OD＝OC, OA＝OA得出△AOD≌△AOC,进而得出OD⊥AD.
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第24章 圆
24.2.2.4
切线长定理
授课：
时间：
问题思考
(1) 如何过点P作⊙O的切线 依据是什么？
如图, 点P是⊙O上的一点.
O
P
l
连接OP,过点P作直线l⊥OP于点P,
直线l是圆O的切线.
切线的判定定理: 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2) 若点P在圆外, 如何过点P作⊙O的切线
问题思考
如图, 点P是⊙O外的一点,过点P作⊙O的切线.
(1) 过点P的切线有___条;
(2) 如图, 若PA,PB与圆O相切于A,B,则∠PAO＝____, ∠PBO＝____;
(3) 如何构造∠PAO＝∠PBO＝90°
O
P
2
90°
90°
A
B
尺规作图
过圆外一点作圆的切线:
如图, 点P是⊙O外的一点,过点P作⊙O的切线.
O
P
A
B
M
连接OP, 取OP中点M;
以点M为圆心, MO长为半径作圆交⊙O与点A,B;
作直线PA,PB,直线PA,PB即为⊙O的切线.
依据: 直径所对的圆周角是直角.
进一步思考
如图, 点P是⊙O外的一点,PA,PB与⊙O相切于点A,B.
O
P
A
B
切线长与切线有什么区别？
经过圆外一点的圆的切线上, 这点和切点之间线段的长, 叫做这点到圆的切线长.
例: PA,PB的长度是点P到⊙O的切线长.
切线是直线, 不能度量.
切线长是线段的长, 这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点, 可以度量．
进一步思考
如图, 点P是⊙O外的一点,PA,PB与⊙O相切于点A,B.
O
P
A
B
将图形沿着直线PO折叠, 图中有哪些相等的线段和角
相等的线段: PA＝PB;
相等的角:∠APO＝∠BPO.
提出猜想: 从圆外一点可以引出圆的两条切线, 它们的切线长相等, 这一点到圆心的连线平分两条切线的夹角.
验证猜想
验证猜想: 从圆外一点可以引出圆的两条切线, 它们的切线长相等, 这一点到圆心的连线平分两条切线的夹角.
已知: ____________________________________________;
求证: _____________________.
如图, 点P是⊙O外的一点,PA,PB与⊙O相切于点A,B
PA＝PB,∠APO＝∠BPO
O
P
A
B
证明: 连接OA,OB.
∵PA,PB与⊙O相切于点A,B,
∴∠PAO＝∠PBO＝90°,
又 OA＝OA,OP＝OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL),
∴PA＝PB,∠APO＝∠BPO.
归纳总结
切线长定理: 从圆外一点可以引出圆的两条切线, 它们的切线长相等, 这一点到圆心的连线平分两条切线的夹角.
符号语言:
∵PA,PB与⊙O相切于点A,B,
∴PA＝PB,∠APO＝∠BPO.
O
P
A
B
典例精析
例1.如图, AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点, 且AB//CD.
(1) 探索BC,BE,CG有怎样的数量关系
证明: BC＝BE＋CG.
∵AB,BC,CD与⊙O相切于点E,F,G,
∴BE＝BF,CF＝CG,
∵BC＝BF＋CF,
∴BC＝BE＋CG.
典例精析
例1.如图, AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点, 且AB//CD.
(2) 求∠O的度数.
解: 由(1)得设∠ABO＝∠CBO＝α,
∠DCO＝∠BCO＝β,
∵AB//CD,
∴2α＋2β＝180°, 即α＋β＝90°,
∴∠O＝180°－(α＋β)＝90°.
小试锋芒
练习1.如图, 点P是⊙O外的一点,PA,PB与⊙O相切于点A,B.
(1) 连接AB交OP于点M, 求证: AM＝BM;
(2) 若直线PO交⊙O于点Q,连接QA,QB,求证: QA＝QB;
(3) 连接OA,OB,探索∠APB与∠AOB的数量关系.
O
P
A
B
Q
M
思路: (1) 证明△APM≌△BPM全等即可;
(2) 证明△APQ≌△BPQ全等即可;
(3) ∠APB＋∠AOB＝180°.
小试锋芒
练习2.如图, PA, PB是⊙O的切线, A, B为切点.若∠AOB＝128°, 则∠P的度数为( ).
A. 32° B. 52° C. 64° D. 72°
B
小试锋芒
练习3.如图, PA, PB分别与⊙O相切于点A, B, AC是弦, BC是⊙O的直径．已知∠P＝60°, PB＝2cm.
(1)求证: △PAB为等边三角形;
(2)求AC的长.
思路及答案:
(1) 根据切线长定理得出PA＝PB, 再根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得证;
(2) AC＝cm.
典例精析
例2.如图, 一个油桶靠墙边, 两面墙的夹角∠B＝120°, 量得AB＝0.65m.
墙
墙
(1) AB与BC和⊙O的位置关系为_____;
(2) 如何求油桶的半径(精确到0.01)
相切
证明: 连接OA,OB,OC.
∵AB,BC与⊙O相切于点A,C,
∴∠ABO＝∠ABC＝60°,OA⊥AB,
∴OB＝2AB＝1.3m,
在Rt△ABC中, OA＝,
∴油桶的半径约为1.12m.
小试锋芒
练习4.如图, 直尺、三角尺都和⊙O相切, 切点分别为B, E.若AB＝8cm,
求⊙O的半径.
答案: ⊙O的半径为8cm.
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第24章 圆
24.2.2.5
三角形的内切圆
授课：
时间：
动手实践
准备一个三角形纸片
如何裁出一个最大的圆？
当圆与三角形三边都相切时, 圆最大.
问题探索
如图, △ABC的三边与⊙O相切与点D,E,F.
A
B
C
D
E
F
O
三角形的内切圆:
与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
内切圆的圆心叫做三角形的内心.
三角形叫做圆的外切三角形.
如图, ⊙O是△ABC的内切圆;
点O是内切圆的圆心, 即△ABC的内心;
△ABC是⊙O的外切三角形.
进一步探索
如图, ⊙O是△ABC的内切圆, 点D,E,F是切点, 连接OD,OE,OF.
A
B
C
D
E
F
O
(1) OD,OE,OF有怎样的数量关系
(2) OD与AB, OF与AC,OE与BC有怎样的位置关系
∵点D,E,F都在圆上,
∴OD＝OE＝OF.
∵△ABC的三边与⊙O相切与点D,E,F,
∴OD⊥AB, OF⊥AC,OE⊥BC.
(3) 如何确定△ABC的内心
进一步探索
如图, ⊙O是△ABC的内切圆, 点D,E,F是切点, 连接OD,OE,OF.
A
B
C
D
E
F
O
(3) 如何确定△ABC的内心
连接OA,
∵OD⊥AB, OF⊥AC,OD＝OF,
∴AO平分∠BAC.
依据: 角平分线的判定
在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上.
同理, BO平分∠ABC, CO平分∠BCA.
∴△ABC的内心在三条角平分线的交点上.
问题思考
A
B
C
D
O
如图, 已知△ABC, 求作△ABC的内切圆.
作三角形的内切圆:
作∠BAC的角平分线l1;
作∠ABC的角平分线l2;
射线l1与l2相交于点O,点O即△ABC的内心;
过点O作OD⊥AB于点D;
以点O为圆心, OD长为半径作圆O, 圆O即△ABC的内切圆.
l1
l2
① 内心到三角形的三边距离相等.
② 过三角形顶点和内心的射线必平分三角形的内角.
问题思考
如图, ⊙O是△ABC的内切圆, 点D,E,F是切点, 连接OD,OE,OF.
A
B
C
D
E
F
O
三角形的内心有哪些性质
三角形内心的性质:
符号语言:
∵点O是△ABC的内心,
∴OD＝OE＝OF,AO平分∠BAC.
典例精析
例1. 如图, △ABC的内切圆圆O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB＝9,
BC＝14,CA＝13.求AF,BD,CE的长.
解: ∵AB,BC,AC与圆O相切于点F,D,E,
∴AF＝AE,BF＝BD,CD＝CE,
设AF＝AE＝x,
则BF＝BD＝9－x,CE＝CD＝13－x,
∵BD＋CD＝BC,
∴(9－x)＋(13－x)＝14,
解得x＝4,
∴AF＝4,BD＝5,CE＝9.
小试锋芒
练习1.如图, 点O是△ABC的内心.
(1) 若∠O＝120°, 则∠A＝_____;
(2) 若∠A＝66°, 则∠O＝_____;
(3) ∠O与∠A的数量关系为________________;
(4) 若△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积.
60°
123°
∠O＝90°＋ ∠A
等面积法:S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC ,
∴ S△ABC＝ rl.
r
r
r
小试锋芒
练习2.如图, ⊙O是等边三角形ABC的内切圆, D, E, F是切点.若P是上一点, 则∠EPF的度数为( ).
A. 65° B. 60° C. 58° D. 50°
B
小试锋芒
练习3.如图, ⊙O是Rt△ABC的内切圆, ∠C＝90°, 切点分别为D, E, F.
(1)连接OA, OB, 则∠AOB的度数为______;
(2)若BD＝6, AD＝4, 求⊙O的半径r.
135°
答案: r＝2.
小组讨论
画出锐角、直角、钝角三角形的内切圆.
(1) 观察锐角、直角、钝角三角形的内心与三角形的位置关系;
(2) 讨论三角形的内心和外心的区别.
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
内心在三角形内部
内心在三角形内部
内心在三角形内部
归纳总结
三角形内心和外心的区别:
名称 确定方法 图形 性质
内心 三角形内切圆的圆心
外心 三角形外接圆的圆心
三角形三边垂直平分线的交点
三角形三边角平分线的交点
1.内心到三角形三边的距离相等.
2.过三角形顶点和内心的射线必平分三角形的内角.
3.内心在三角形内部.
1.外心到三角形三个顶点的距离相等.
2.外心不一定在三角形内部.
共同点: 三角形只有一个外接圆, 一个内切圆.
大展身手
练习4.如图, 在△ABC中, AB＝AC, ⊙O是△ABC的内切圆, 它与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.
(1)求证: BE＝CE;
(2)若∠A＝90°, AB＝AC＝2, 求⊙O的半径.
思路: (1)由切线长定理易得AD＝AF,BD＝BE,
CE＝CF,所以AB－AD＝AC－AF,即BE＝CE.
(2)先求出BC的长度, 根据点E是中点, 由切线长定理推出AD,AF的长度, 最后根据正方形得出⊙O的半径为.
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