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第24章 圆
24.3
正多边形与圆
授课：
时间：
知识回顾
什么是正多边形？
知识回顾
(1)什么是正多边形？
各边相等, 各角也相等的多边形是正多边形.
(2)矩形和菱形是正多边形吗
矩形各角都相等, 但各边不相等.
菱形各边都相等, 但各角不相等.
(3)正多边形都是轴对称图形吗 都是中心对称图形吗
知识回顾
(3)正多边形都是轴对称图形吗 都是中心对称图形吗
正n边形都是轴对称图形, 都有n条对称轴.
边数为偶数的正多边形是中心对称图形.
边数为偶数的正多边形即是轴对称图形，也是中心对称图形.
问题思考
(4)正三角形和正方形有外接圆吗？正多边形呢？
正多边形的中心:
正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心.
正多边形的半径:
正多边形的中心角:
正多边形的边心距:
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
典例精析
例1.如图, 圆O是正六边形ABCDEF的外接圆,连接OA,OB,过点O作OM⊥AB于点M.
A
B
C
D
E
(1)正六边形ABCDEF的中心是______,
半径是_________,中心角是_______,
边心距是__________;
(2)正六边形内角和为_____,每个内角的度数为_____,每个外角的度数为____,中心角的度数为____.
点O
OA或OB
∠AOB
OM的长度
F
O
M
720°
120°
60°
60°
(3) 边心距OM,半径OA,边长AB有怎样的数量关系
中心
半径
边心距
中心角
(
(AB)2＋OM2＝OA2
小组合作
练习1. 若圆O是正n边形的外接圆,连接OA,OB,过点O作OM⊥AB于点M.
(1) 探索正n边形的中心角和外角有什么关系
(2) 探索正n边形的面积S,周长l,边心距OM的数量关系.
(3) 探索正n边形是否有内切圆, 内切圆的半径是什么
正n边形的中心角计算公式:
正n边形的中心角＝正n边形的外角＝.
正n边形的面积计算公式:
正n边形的面积＝ ×边心距×周长.
正n边形有一个外接圆, 一个内切圆, 内切圆半径等于边心距.
小试锋芒
练习2.如图, 正五边形ABCDE内接于⊙O, P为上的一点(点P不与点D重命), 则∠CPD的度数为( ).
A.30° B.36 ° C.60 ° D.72 °
B
典例精析
例2. 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形.
E
F
O
A
B
C
D
(1)如何画出地基的设计图(尺规作图, 比例尺1:100)
典例精析
例2. 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形.
A
B
O
C
D
E
F
(1)如何画出地基的设计图(尺规作图, 比例尺1:100)
分析: 如图, 若圆O是正六边形ABCDE的外接圆.
连接OA,OB,OC,OD,OE,OF, 则图中有___个中心角, 每个中心角的度数为____;
图中,,,,,的数量关系是_____.
在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等.
根据比例尺, OA＝_______.
圆心角定理：
6
60°
相等
4cm
典例精析
例2. 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形.
A
B
O
C
D
E
F
(1)如何画出地基的设计图(尺规作图, 比例尺1:100)
作线段OA＝4cm;
以点O为圆心, OA长为半径作圆O;
作∠AOB＝60°交圆O于点B;
在圆O上依次截取与相等的弧, 得到圆的6个等分点A,B,C,D,E,F;
依次连接各分点, 即可得正六边形.
(
(
(
(
(
60°
(2)求地基的周长与占地面积 (结果保留小数点后1位).
典例精析
例2. 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形.
(2)求地基的周长与占地面积 (结果保留小数点后1位).
A
B
O
C
D
E
F
M
解: 连接OE,OF,
∵∠EOF＝＝60°, OE＝OF,
∴△OEF是等边三角形.
∴EF＝OE＝4m,地基周长为4×6＝24.0m.
过点O作OM⊥EF于点M,
在Rt△OEM中, EM＝EF＝2m,
∴OM＝m,
∴地基占地面积为×24×224 ≈ 41.6m2.
小试锋芒
练习3.如图, 正六边形ABCDEF内接于⊙O, 若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48, 求正六边形ABCDEF的周长和面积.
答案: 周长为48, 面积为96.
M
N
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