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(共22张PPT)
第24章 圆
24.4.1
弧长与扇形面积
授课：
时间：
知识回顾
(1) 若R＝2cm,则圆O的周长是______;
(2) 圆O的周长是____;
(3) 圆周长C所对的圆心角是_____;
(4) 1°圆心角所对的弧长是多少
如图, OA是圆O的半径,OA＝R.
O
A
2πR
4π cm
360°
1°圆心角所对的弧长为 .
进一步思考
1°圆心角所对的弧长是 ,求下列的长.
180°
90°
45°
n°
归纳总结
n°
弧长公式: 在半径为R的圆中, n°的圆心角所对的弧长.
例: 如图, .
① 的长也可以用表示;
② 弧长公式中, n表示1°的圆心角
的倍数, 没有单位.
③ 弧长公式中, 弧长l,圆心角度数n°,
半径R三者可知二推一.
典例精析
例1.制造弯形管道时, 要先按中心线计算 “展直长度”, 再下料, 试计算图所示管道的展直长度L(结果取整数).
700mm
700mm
R＝900mm
(
100 °
A
C
B
D
O
700mm
(1) 弯形管道有____部分组成，分别是___________;
(2) 如何计算的长？
3
AC,BD,
.
弧长公式:
,
∴L＝2×700＋500π ≈ 2970 mm,
∴管道的展直长度约2970mm.
典例精析
例1.制造弯形管道时, 要先按中心线计算 “展直长度”, 再下料, 试计算图所示管道的展直长度L(结果取整数).
700mm
700mm
R＝900mm
(
100 °
A
C
B
D
O
700mm
解: 由弧长公式得,
小试锋芒
练习1.如图, 的半径OA＝2cm, OC⊥AB于点C, ∠AOC＝60°, 求:
(1)弦AB的长;
(2)的长.
答案: (1) AB＝2cm; (2) .
观察思考
图片中能抽象出怎样的几何图形？
扇形
问题思考
A
B
O
如图, 点A,B是圆O上的点, 连接OA,OB.
扇形的概念:
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
下列由OA,OB,围成的图形是扇形吗
O
问题探索
(1) 若R＝2cm,则圆O的面积是_______;
(2) 圆O的面积是____;
(3) 圆面积S所对的圆心角是_____;
(4) 1°圆心角所对的扇形面积是多少
如图, OA是圆O的半径,OA＝R.
πR2
4π cm2
360°
1°圆心角所对的扇形面积为 .
O
A
进一步思考
1°圆心角所对的扇形面积是 ,求下列OA,OB,围成的扇形面积.
180°
90°
45°
n°
归纳总结
n°
扇形面积公式①: 在半径为R的圆中, n°的圆心角所对的扇形面积.
例: 如图, S扇形AOB .
① 扇形面积公式中, n表示1°的圆心角
的倍数, 没有单位.
② 扇形面积公式中, 扇形面积S,圆心角
度数n°,半径R三者可知二推一.
弧长公式l＝与扇形面积公式有什么关系
扇形面积公式②:
在半径为R的圆中, 扇形面积 (l为扇形的弧长).
小试锋芒
练习2.一个扇形的弧长是10πcm, 其半径为12cm, 此扇形的面积为( ).
A. 30π cm2 B. 60π cm2 C. 120π cm2 D. 180π cm2
B
练习3.如图, 一扇形纸扇完全打开后, 外侧两竹条AB和AC的夹角为120°, AB长为25cm, 贴纸部分的宽BD为15cm, 若纸扇两面贴纸, 则贴纸的面积为_________.(结果保留π)
175π cm2
典例精析
例2.如图, 水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位).
A
B
O
C
D
(1) 如何构造辅助线表示“有水部分的面积”的面积呢？
连接OA,OB,
则 “有水部分的面积” ＝ S扇形AOB－S△AOB.
(2) 如何求扇形AOB的面积
过点O作OC⊥AB于点D,交圆O于点C.
则CD＝______,OD＝______,
∴在Rt△AOD中, ∠OAD＝____,∠AOB＝_____,
∴S扇形AOB＝_______________.
0.3cm
0.3cm
30°
120°
典例精析
例2.如图, 水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位).
A
B
O
C
D
由题意得OA＝0.6cm,CD＝0.3cm, ∴OD＝0.3cm,
在Rt△OAD中, OD＝OA,
∴∠OAD＝30°, ∠AOB＝2∠AOD＝120°,
∴AB＝2AD＝2,
∴有水部分的面积＝ S扇形AOB－S△AOB
即 ≈ 0.22 m2.
解:连接OA,OB,过点O作OC⊥AB于点D,交圆O于点C.
变式训练
A
B
O
变式.如图, 水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.9cm,求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位).
C
D
解:连接OA,OB,过点O作CD⊥AB于点D,交圆O于点C.
由题意得OA＝0.6cm,CD＝0.9cm, ∴OD＝0.3cm,
在Rt△OAD中, OD＝OA,
∴∠OAD＝30°, ∠AOB＝2∠AOD＝120°,
∴AB＝2AD＝,
∴有水部分的面积＝ S扇形AOB＋S△AOB
即 ≈ 0.91 m2.
归纳总结
O
A
B
A
B
O
劣弧弓形面积＝S扇形AOB－S△AOB.
优弧弓形面积＝S扇形AOB＋S△AOB.
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第24章 圆
24.4.2
圆锥的侧面积与全面积
授课：
时间：
观察思考
图片中能抽象出怎样的几何图形？
圆锥
问题探索
P
动手操作: 利用手中含30°的三角板, 将三角板绕着一条直角边旋转, 你能得到一个怎样的几何图形
圆锥的母线:
连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
观察圆锥, 它是由一个_____和一个_____围成的几何体.圆锥的底面是一个____.
底面
侧面
圆
圆锥的母线有多少条 它们长度相等吗
圆锥的母线有无数条, 它们长度都相等.
母线l
展开演示
问题探索
A
P
如图, 点O是圆锥底面圆的圆心, 点A是底面圆上一点, 连接AO,PO.
(1) 高PO与底面圆半径OA有怎样的位置关系
O
AO⊥PO,即圆锥的高与底面圆半径垂直.
圆锥的母线:圆锥顶点P和底面圆周上任意一点的线段,用l表示.
圆锥底面圆的半径: OA为圆锥底面圆的半径,用r表示;
圆锥的高: 圆锥顶点P到底面圆心O的距离,用h表示.
半径r
高h
母线l
(2) r,h,l有怎样的数量关系
r2＋h2＝l2.
(3) 圆锥的展开图是什么图形
进一步探索
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平, 观察动画, 思考下列问题:
母线l
(1) 圆锥的展开图有___部分,侧面展开图是_____;
(2) 侧面展开图中, 扇形的半径等于_______,
扇形的弧长等于_____________;
(3) 若底面圆半径为r,则底面圆的周长为
____,底面圆的面积为____;
(4) 侧面展开图中, 扇形的弧长等于____,
侧面积等于____;
(5) 圆锥的全面积等于________________.
2
扇形
母线长
底面圆的周长
O
r
2πr
πr2
2πr
πrl
πrl＋πr2＝πr(l＋r)
展开演示
归纳总结
母线l
O
r
r
侧面
底面
母线l
母线l
底面圆周长2πr
若圆锥的母线长为l,底面圆半径为r,则:
S侧＝ l·2πr＝πrl, S全＝ S侧＋ S底＝ πrl＋πr2＝πr(l＋r).
典例精析
例1.如图, 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为9cm,圆心角为120°的扇形.
(
120°
O
A
B
(1) 求圆锥的底面半径.
分析: 圆锥的底面周长＝_________________.
展开图扇形的弧长
设圆锥底面半径为r cm,
则圆锥底面周长＝2πr＝6π,
解得r＝3,
∴圆锥的底面半径为3cm.
解:由弧长公式得 cm,
(2) 求圆锥的全面积.
典例精析
例1.如图, 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为9cm,圆心角为120°的扇形.
(
120°
O
A
B
(2) 求圆锥的全面积.
分析:圆锥的全面积＝_______________.
侧面积＋底面积
圆锥底面积＝π·32＝9π,
∴圆锥的全面积为27π＋9π＝36π cm2.
解:由扇形面积公式得S扇AOB,
还有其它的做法吗？
圆锥的全面积为π·3·(9＋3)＝36π cm2.
小试锋芒
练习1.若用半径为6, 圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面, 则这个圆锥的底面圆半径为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
练习2.某中学开展劳动实习, 学生到教具加工厂制作圆锥.他们制作的圆锥, 母线长为30cm, 底面圆的半径为10cm, 这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为_____.
120°
小试锋芒
练习3.如图, 在半径为的圆形纸片中, 剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分).
(1)求这个扇形的面积;
(2)若将此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头), 求圆锥的底面半径．
A
B
C
O
答案: (1) 面积为π; (2) 底面半径为0.5.
典例精析
例2.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成, 如果想用毛毡搭建20个底面积为12 2, 高为3.2 , 外围高为1.8 的蒙古包, 至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142, 结果保留整数)
O1
O2
A
(1) 如图为蒙古包的示意图, 由图可
得毛毡的面积为_________________
_____________;
(2) 图中AO2＝______,O1O2＝______,
AO1＝_____;
(3) 如何求圆O1,O2的半径
(4) 如何求圆锥母线长
圆锥的侧面积＋
圆柱的侧面积
3.2m
1.8m
1.4m
典例精析
例2.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成, 如果想用毛毡搭建20个底面积为12 2, 高为3.2 , 外围高为1.8 的蒙古包, 至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142, 结果保留整数)
O1
O2
A
∴设圆O1,O2的半径为r,则πr2＝12,解得r ≈ 1.954,
∴圆柱侧面积为2π×1.954×1.8 ≈ 22.10 m2,
圆锥的母线长l ≈ ≈2.404 m,
∴圆锥侧面积为1.954×2.404×π ≈ 14.76 m2,
∴至少需要毛毡20×(22.10＋14.76) ≈ 738 m2.
解:由题意得AO2＝3.2m,O1O2＝1.8m, AO1＝1.4m,
小试锋芒
练习4.如图, 圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是0.8m, 母线长是0.5m, 制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮(π取3.14, 结果保留1位小数)
答案: 面积为62.8 m2.
谢 谢 观 看

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