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13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
第十三章 三角形
13.2 三角形的内角与外角
1.掌握三角形的中线、角平分线、高的概念.（重点）
2.掌握三角形的中线、角平分线、高的画法.
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）
学习目标
新课导入
教学目标
教学重点
新课导入
回顾旧知
垂线的定义：
线段中点的定义：
当两条直线相交所成的四个角巾，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
把一条线段分成两条相等的线段的点.
角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
讲授新课
典例精讲
归纳总结
如图：连接△ABC顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线.
AD是BC边上的中线.
三角形的中线的定义：
B
A
C
A
BD=DC
D
1
知识点
三角形的中线
讲授新课
(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.
你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的
位置关系
议一议
三条中线，
交于一点
讲授新课
(2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？
折一折，画一画，并与同伴交流.
三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.
要点归纳
讲授新课
在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.
7cm
讲授新课
例题4
典例精析
思考
在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗 你能通过折纸的方法得到它吗
2
知识点
三角形的角平分线
讲授新课
B
A
C
用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
A
B
C
A
D
讲授新课
三角形的角平分线的定义:
如图：画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫作△ABC的角平分线.
1
2
A
B
C
D
注意：“三角形的角平分线”是一条线段.
∠1=∠2
讲授新课
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角
形纸片各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的
位置关系
做一做
讲授新课
三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形角平分线的性质
讲授新课
如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，
∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，
∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
A
B
D
C
讲授新课
例题5
知识点
三角形的高
你能过三角形的一个顶点，你能画出它的
对边的垂线吗
B
A
C
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
讲授新课
3
如图：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线作垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线.
三角形的高线简称三角形的高.
A
B
C
D
讲授新课
三角形的高的定义:
如图, 线段AD是BC边上的高.
A
B
C
注意：标明垂直的记号和垂足
的字母.
D
讲授新课
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形.
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
O
锐角三角形的三条高是
在三角形的内部还是外部
A
B
C
D
E
F
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
讲授新课
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形.
将你的结果与同伴进行交流.
A
B
C
(1)画出直角三角形的三条高.
直角边BC边上的高是______;
AB
直角边AB边上的高是______;
CB
(2)它们有怎样的位置关系？
D
斜边AC边上的高是_______.
BD
●
直角三角形的三条高交于直角顶点.
讲授新课
A
B
C
D
E
F
钝角三角形的三条高
(1) 钝角三角形的三条高交于
一点吗？
(2)它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流.
O
钝角三角形的三条高不相交于
一点.
钝角三角形的三条高所在直线
交于一点.
讲授新课
叫做三角形这边上的高.
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
讲授新课
顶点和垂足之间的线段
归纳
三角形的三条高的特性：
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形内部
直角顶点
三角形外部
讲授新课
作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　)
典例精析
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
D
讲授新课
例题1
如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．
方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)
求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．
讲授新课
例题2
如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAD＝30°.
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－30°－50°＝100°.
例题3
讲授新课
三角形的 重要线段 概念 图形 表示法
三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线.
∴ BD=CD= BC.
三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
知识归纳
讲授新课
当堂练习
当堂反馈
即学即用
1．下列说法正确的是 （　　）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
B
当堂练习
2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　）
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
D
当堂练习
3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （　　）
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
B
当堂练习
4.
D
5.填空：
（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则
AB= 2＿＿,BD= ＿＿，AE= ＿＿
(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2______.
图①
图②
AF
DC
∠2
2∠4
AC
∠ABC
当堂练习
6.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC
的周长为25cm,求ΔADC的周长.
A
D
B
C
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD，
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.
当堂练习
7.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,
∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
A
B
C
E
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
当堂练习
8.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是
△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，
求∠DAE的大小.
解： ∵ AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°.
∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C )
=180°－90°－40°=50°.
∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，
∴∠CAE=41°，
∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°.
B
A
C
D
E
当堂练习
课堂小结
归纳总结
构建脉络
三角形重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
课堂小结
Thanks
侵权必究

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