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第十三章 三角形
小结与复习
要点梳理
教学目标
教学重点
腰和底不等的等腰三角形
1. 三角形的定义
2. 三角形的分类
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
要点梳理
3. 三角形的三边关系：
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
按边分
按边分
5. 三角形的中线、角平分线、高
中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于
一点（重心），如图 .
角平分线：三条角平分线相交于一点，如图 .
高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线
相交于一点，如图 .
要点梳理



4. 三角形的性质：
三角形具有稳定性
6. 三角形的内角和与外角
(1)三角形的内角和等于180°；
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和；
(3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一
个内角.
要点梳理
7. 直角三角形的性质和判定
(1)性质：直角三角形的两个锐角互余;
(2)判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
考点精讲
典例精讲
归纳总结
考点一 三角形的三边关系
已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得 8-3又∵第三边长为奇数,
∴ 第三条边长为 7cm或9cm.
考点精讲
例题1
三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用.
1
归纳
针对训练
考点精讲
等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另两边长.
解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰，
∴分两种情况讨论： 当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5,5；
当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4.
综上所述，另两边长为5,5或6,4.
考点精讲
例题2
【变式题】 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ( )
A.16 B.20或16 C.20 D.12
C
归纳
等腰三角形的底边长不确定时，要分两种情况讨论，还要注意三边是否构成三角形.
2.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为 .
5
针对训练
考点精讲
考点二 三角形中的重要线段
如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC=8cm，求边AC的长．
解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，
∴AD=BD，
∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，
∴BC-AC=3，
∵BC=8，
∴AC=5．
考点精讲
例题3
【变式题】 在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
解：如图，∵DB为△ABC的中线，
∴AD=CD，
设AD=CD=x，则AB=2x，
当x+2x=12，解得x=4.
BC+x=15，得BC=11.
此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11；
当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7，
此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7．
无图时，注意分类讨论
考点精讲
如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求△BEF的面积．
解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE= S△ABD，S△ACE= S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE= S△ABC= ×24=12，
∴S△BCE= S△ABC= ×24=12，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF= S△BCE= ×12=6．
考点精讲
例题4
3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
归纳
三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.
针对训练
C
考点精讲
4.如图，①AD是△ABC的角平分线，则∠_____=∠____= ∠_____，
②AE是△ABC的中线，则_____=_____= _____，
③AF是△ABC的高线，则∠_____=∠_____=90°．
BAD
CAD
CAB
CE
BE
BC
AFB
AFC
考点精讲
考点三 有关三角形内、外角的计算
∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.
(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.
解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①,又∠A－∠B＝16°②,由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°;
(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x ，
则2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20°，
∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.
考点精讲
例题5
若题中没有给出任意角的度数，仅给出数量关系，常用方程思想设未知数列方程求解.
如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x．
因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，
所以x=39°,
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.
归纳
考点精讲
例题6
5.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-
∠B，则∠B= .
针对训练
60°
6.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，
若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数
是 ，∠FBC的度数是 .
7.如图，在△ABC中，两条角平分线
BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，
那么∠A的度数是 .
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E
O
20°
40°
84°
考点精讲
考点四 本章中的思想方法
方程思想
如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE
⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数.
A
B
C
E
D
解：设∠C=x °,则∠ABC=x°,
因为△BDE是等边三角形，
所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°-60°.
在△BCE中，根据三角形内角和定理，
得90°+x°+x°-60°=180°,
解得x=75,所以∠C=75 °.
考点精讲
例题9
在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
【变式题】 如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1的度数.
A
B
C
D
)
)
)
)
2
4
1
3
解：设∠ 1=x,根据题意得∠2=x.因为∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2，所以∠3=2x, ∠4=x，
又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x.
在△ABC中，根据三角形内角和定理，
得x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36 °.
归纳
考点精讲
分类讨论思想
已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则
三角形的周长是　　　　　．
【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
26或22
【易错提示】别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
考点精讲
例题10
化归思想
A
B
C
D
O
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.
考点精讲
当堂练习
练习反馈
即学即用
当堂练习
D
D
32
当堂练习
当堂练习
当堂练习
当堂练习
当堂练习
当堂练习
课堂小结
归纳总结
构建脉络
三角形
与三角形有关的线段
三角形内角和：180°
三角形外角和：360°
三角形的边：三边关系定理
高线
中线：把三角形面积平分
角平分线
与三角形有关的角
内角与外角关系
三角形的分类
课堂小结
Thanks
侵权必究

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