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微专题整合——平衡中的临界、极值问题
1．问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
2．问题特点：
(1)当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。
(2)注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
3．分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
[应用体验]　
1．如图甲、乙所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其恰能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也恰能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为(　 )
A．cos θ＋μsin θ B．cos θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
1．问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
2．分析方法：
(1)解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物体临界条件求极值。
(2)图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
[应用体验]　
2.将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线OA与竖直方向的夹角保持θ＝30 °，重力加速度为g，则F的最小值为(　 )
A.mg B．mg
C.mg D.mg
3.质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)。
(1)当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值；
(2)当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
微专题整合
1．选B　物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力如图(a)、(b)所示。
将重力mg、力F2沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得：
F1＝mgsin θ＋f1，N1＝mgcos θ，f1＝μN1，
F2cos θ＝mgsin θ＋f2，N2＝mgcos θ＋F2sin θ，
f2＝μN2，解得：F1＝mgsin θ＋μmgcos θ，
F2＝，故＝cos θ－μsin θ，B正确。
2．选B　以a、b为整体，整体受重力2mg，细线OA的拉力FT及拉力F三个力而平衡，如图所示，三个力构成的矢量三角形中，当力F垂直于细线OA的拉力FT时有最小值，且最小值F＝2mgsin θ＝mg，B正确。
3．解析：木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有
mgsin θ＝μmgcos θ，即μ＝tan θ。
(1)木块在力F作用下沿斜面向上匀速运动，有
Fcos α＝mgsin θ＋f，Fsin α＋N＝mgcos θ
f＝μN
解得F＝＝＝
则当α＝θ时，F有最小值，为Fmin＝mgsin 2θ。
(2)因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即f′＝Fcos(α＋θ)
当α＝θ时，F取最小值mgsin 2θ，
所以fm′＝Fmincos 2θ＝mg·sin 2θ·cos 2θ＝mgsin 4θ。
答案：(1)mgsin 2θ　(2)mgsin 4θ
2 / 2(共47张PPT)
平衡中的临界、极值问题
微专题整合
类型（一）　平衡中的临界问题
1．问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
2．问题特点：
(1)当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。
(2)注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
3．分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
[应用体验]　
1．如图甲、乙所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其恰能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也恰能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比 为(　 )
A．cos θ＋μsin θ B．cos θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
解析：物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力如图(a)、(b)所示。
√
类型（二）　平衡中的极值问题
1．问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
2．分析方法：
(1)解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物体临界条件求极值。
(2)图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
[应用体验]　
2. 将两个质量均为m的小球a、b用细线相连
后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉
小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线OA与竖直方向的夹角保持θ＝30 °，重力加速度为g，则F的最小值为(　 )
√
解析：以a、b为整体，整体受重力2mg，细线OA的拉力FT及拉力F三个力而平衡，如图所示，三个力构成的矢量三角形中，当力F垂直于细线OA的拉力FT时有最小值，且最小值F＝2mgsin θ＝mg，B正确。
3. 质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)。
(1)当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值；
解析：木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有
mgsin θ＝μmgcos θ，即μ＝tan θ。
木块在力F作用下沿斜面向上匀速运动，有
Fcos α＝mgsin θ＋f，Fsin α＋N＝mgcos θ
f＝μN
(2)当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
解析：因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即
f′＝Fcos(α＋θ)
课时跟踪检测
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(选择题1～9小题，每小题4分；11～12小题，每小题6分。本检测卷满分80分)
A级—学考达标
1．下列说法中正确的是(　 )
A．物体的速度在某一时刻等于零，物体就一定处于平衡状态
B．物体相对于另一物体保持静止时，物体一定处于平衡状态
C．物体所受合力为零时，就一定处于平衡状态
D．物体做匀加速运动时，物体处于平衡状态
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解析：某一时刻速度为零的物体，受力不一定为零，故不一定处于平衡状态，选项A错误；物体相对于另一物体静止时，该物体不一定静止，如当另一物体做变速运动时，该物体也做相同的变速运动，此物体处于非平衡状态，故选项B错误；选项C所述情形符合平衡条件，为正确选项；物体做匀加速运动，所受的合力不为零，故不是平衡状态，选项D错误。
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2．(多选)下列关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是(　 )
A．如果物体的运动速度为0，则物体必处于平衡状态
B．如果物体的运动速度大小不变，则物体必处于平衡状态
C．如果物体处于平衡状态，则将物体受到的力沿任意方向进行合成，合力都必为0
D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
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解析：物体的运动速度为0，但加速度不一定为0，所以不一定处于平衡状态，A错误；物体的运动速度大小不变，但速度方向可能变化，所以不一定处于平衡状态，B错误；如果物体处于平衡状态，则不管将物体受到的力沿哪个方向进行合成，合力都必为0，C正确；物体受三个共点力作用而处于平衡状态，根据平衡条件可知，合力为0，则其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，D正确。
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3. 如图所示，吸附在竖直玻璃上质量为m的擦
窗工具，在竖直平面内受重力、拉力和摩擦力(图
中未画出摩擦力)的共同作用做匀速直线运动。若
拉力大小与重力大小相等，方向水平向右，重力加速度为g，则擦窗工具所受摩擦力(　 )
A．大小等于mg　　　 B．大小等于 mg
C．方向竖直向上 D．方向水平向左
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4. 如图所示，为晾干一批染色钢管，工人师傅将其通过一轻质细绳搁置于水平天花板和水平地面之间，关于此模型下列说法正确的是(　 )
A．细绳对钢管的拉力方向可能不沿绳
B．钢管相对地面有向左的运动趋势
C．钢管一定受水平向左的摩擦力
D．地面对钢管的作用力沿竖直方向
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解析：细绳对钢管的拉力方向一定沿绳的方向，A错误；细绳的拉力有水平向右的分量，可知钢管相对地面有向右的运动趋势，则钢管一定受水平向左的摩擦力，B错误，C正确；地面对钢管有竖直向上的支持力和水平向左的摩擦力，则地面对钢管的作用力不是沿竖直方向，D错误。
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5.如图所示，AB、BD为两段轻绳，其中BD段水
平，BC为处于伸长状态的轻质弹簧，且AB和BC与竖
直方向的夹角均为45°。现将BD绳绕B点缓慢向上转
动，转动过程中保持B点位置不动，则在转动过程中，BD绳中的张力变化情况是(　 )
A．变大 B．变小
C．先变小后变大 D．先变大后变小
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解析：以结点B为研究对象，分析受力情况：受
到绳AB、BD的拉力和弹簧BC的弹力，如图所示，由
平衡条件得知，F2和F3的合力与F1大小相等、方向相
反，要保持B点的位置不变，BD绳向上转动的角度最
大为45°，由于B点的位置不变，因此弹簧的弹力不变，由图解可知，AB绳的拉力变小，BD绳的拉力也变小，故B正确。
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6.如图所示，一只气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力水平向右。细绳与竖直方向的夹角为α，绳的拉力为T，则风对气球作用力的大小为(　 )
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解析：对气球受力分析如图所示，将绳的拉力T分解，在水平方向：风对气球的作用力大小F＝Tsin α，选项C正确。
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7．如图所示，对称晾挂在光滑等腰三角形衣架上的衣服质量为M，衣架顶角为120°，重力加速度为g，则衣架右侧对衣服的作用力大小为(　 )
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8．(2023·浙江1月选考) 如图所示，轻质网兜兜住重力为G的足球，用轻绳挂于光滑竖直墙壁上的A点，轻绳的拉力为FT，墙壁对足球的支持力为FN，则(　 )
A．FTC．FT>G D．FT＝G
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解析：设轻绳与墙的夹角为θ，对足球受力分析如图所示，由物体的平衡条件得：FTcos θ＝G，FTsin θ＝FN，可判断：FT＞G，FT＞FN，故C正确，A、B、D错误。
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9. (2023·河北高考)如图，轻质细杆AB上穿有一个质量为m的小球C，将杆水平置于相互垂直的固定光滑斜面上，系统恰好处于平衡状态。已知左侧斜面与水平面成30°角，则左侧斜面对杆AB支持力的大小为(　 )
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10．(16分)(选自人教版教材例题)生活中常用一
根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物
的位置。如图，悬吊重物的细绳，其O点被一水平
绳BO牵引，使悬绳AO段和竖直方向成θ角。若悬吊
物所受的重力为G，则悬绳AO和水平绳BO所受的拉力各等于多少？
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解析： 法一　用两个力的合力和第三个力平衡的方法求解。
如图1，F4为F1和F2的合力，则F4与F3平衡，即
F4＝F3＝G
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法二　用正交分解的方法求解。
如图2，以O为原点建立直角坐标系。F2方向为x
轴正方向，向上为y轴正方向。F1在两坐标轴方向的
分矢量分别为F1x和F1y。因x、y两方向的合力都等于
0，可列方程
F2－F1x＝0
F1y－F3＝0
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B级—选考进阶
11．(2024·浙江1月选考)如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°(不计摩擦)，重力加速度g取10 m/s2，则细线a、b的拉力分别为(　 )
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A．2 N　1 N B．2 N　0.5 N
C．1 N　1 N D．1 N　0.5 N
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解析：由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小相等、方向相反，对A、B整体受力分析可知细线a的拉力大小为Ta＝(mA＋mB)g＝1 N；设细线b与水平方向夹角为α，对A、B受力分析分别有Tbsin α＋Tcsin θ＝mAg，Tbcos α＝Tdcos θ，解得Tb＝0.5 N。故选D。
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12．(多选)在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。现对B施加一竖直向下的力F，F的作用线通过球心，设墙对B的作用力为F1，A对B的作用力为F2，地面对A的作用力为F3。若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中(　 )
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A．F1保持不变，F3缓慢增大
B．F1缓慢增大，F3缓慢增大
C．F2缓慢增大，F3缓慢增大
D．F2缓慢增大，F3保持不变
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解析：A、B始终保持静止，对B受力分析，如图甲所示，设A、B圆心连线与竖直方向夹角为α，由F2sin α＝F1，F2cos α＝F＋GB可得，当F增大时，F2增大，F1也增大。将A、B看成整体，受力如图乙所示，设地面对A的支持力为N，对A的摩擦力为f，则由整体平衡得GA＋GB＋F＝N，且f＝F1，由此可知，当F增大时，N、f均增大，F3是N与f的合力也增大。所以B、C正确，A、D错误。
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13. (16分)(选自人教版教材例题)某幼儿园要在空地上做一个滑梯(如图)，根据空地的大小，滑梯的水平跨度确定为6 m。设计时，滑板和儿童裤料之间的动摩擦因数取0.4，为使儿童在滑梯游戏时能在滑板上滑下，滑梯至少要多高？
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答案：2.4 m
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解析： 如图，沿平行和垂直于斜面两个方向建立直角坐标系。把重力G沿两坐标轴方向分解为F1和F2。
设斜面倾角为θ，用l、b和h分别表示AB、AC和BC的长度。
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