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第3节　动能和动能定理
知识 清单破
知识点 1
知识点 1
动能
1.定义
物体因运动而具有的能量。
2.表达式
Ek= mv2。
3.单位
与功的单位相同,在国际单位制中为焦耳,符号为J。1 J=1 kg·(m/s)2=1 N·m。
4.特点
(1)动能具有瞬时性,是状态量。
(2)动能具有相对性,选取不同的参考系,同一物体的动能一般不同。通常是指物体相对于地
面的动能。
(3)动能是标量,没有方向,Ek≥0。
1.内容
　　合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
2.表达式
　 W=Ek2-Ek1= m - m 。
说明:式中W为合外力做的功,它等于各力做功的代数和。
知识点 1
知识点 2
动能定理
3.适用范围
　　不仅适用于恒力做功,也适用于变力做功。
知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”。
1.在两个运动物体中,速度大的动能也大。 (　 )
由Ek= mv2知动能大小与质量和速度都有关。
2.某物体的速度加倍,它的动能也加倍。 (　 )
由Ek= mv2知,某物体的速度加倍,它的动能将变为原来的4倍。
3.物体的速度发生变化,其动能一定发生变化。 (　 )
速度为矢量,当速度方向改变,但大小不变时,动能不变。
4.做匀速运动的物体的动能保持不变。 (　 )



√
讲解分析
1.对动能变化量的理解
(1)表达式:ΔEk=Ek2-Ek1。
(2)物理意义:ΔEk>0,表示动能增加;ΔEk<0,表示动能减少。
(3)变化原因:力对物体做功是引起物体动能变化的原因,合外力做正功,动能增加,合力做负
功,动能减少。
2.对动能定理的理解
(1)表达式:W=ΔEk=Ek2-Ek1,式中的W为合外力对物体做的功。
(2)研究对象及过程:动能定理的研究对象可以是单个物体,也可以是相对静止的系统。动能
定理的研究过程既可以是运动过程中的某一阶段,也可以是运动全过程。
疑难
对动能定理的理解和应用
疑难 情境破
(3)普遍性:既适用于恒力做功,也适用于变力做功;既适用于物体做直线运动的情况,也适用于
物体做曲线运动的情况。
(4)实质:揭示了力对物体做的总功与物体动能变化的关系。
①等值关系:某物体的动能变化量总等于合力对它做的功。

②因果关系:合力对物体做功是引起物体动能变化的原因,合力做功的过程实际上是其他形
式的能与动能相互转化的过程,转化了多少由合力做了多少功来量度。
3.应用动能定理解题的注意事项
(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的,一般选地面或相对地面静止的
物体为参考系。
(2)应用动能定理的关键在于准确分析研究对象的受力情况及运动情况,可以画出运动过程
的草图,借助草图理解物理过程之间的关系。
(3)当物体的运动包含多个不同过程时,可分段应用动能定理求解,也可以对全过程应用动能
定理。
(4)列动能定理式子时,必须明确各力做功的正、负,确实难以判断的先假定为正功,最后根据
结果分析。
4.动能定理与牛顿运动定律的比较
牛顿运动定律 动能定理
适用 条件 只能研究在恒力作用下物体
做直线运动 对于物体在恒力或变力作用下,物体做直线或曲线运动均适用
应用 方法 要考虑运动过程的每一个细
节,结合运动学公式解题 只考虑各力的做功情况及
初、末状态的动能
运算方法 矢量运算 代数运算
相同点 确定研究对象,对物体进行受力分析和运动过程分析 　两种思路对比可以看出,应用动能定理解题不涉及加速度、时间,不涉及矢量运算,运算简
单不易出错。
典例 如图所示是公路上的“避险车道”,车道表面是粗糙的碎石【1】,其作用是供下坡的汽车
在刹车失灵的情况下避险。质量m=2.0×103 kg的汽车沿下坡公路行驶,当驾驶员发现刹车失
灵的同时发动机失去动力【2】,此时速度表示数v1=36 km/h,汽车继续沿下坡公路匀加速直行l=
350 m、下降高度h=50 m时到达“避险车道”,此时速度表示数v2=72 km/h。(重力加速度g取
10 m/s2)
(1)求从发现刹车失灵至到达“避险车道”这一过程汽车动能的变化量;
(2)求汽车在下坡过程中所受的阻力;
(3)若“避险车道”与水平面间的夹角为17°,汽车在“避险车道”受到的阻力是在下坡公路
上的3倍,求汽车在“避险车道”上运动的最大位移。(sin 17°≈0.3)
信息提取 【1】【2】汽车的牵引力为零,只有重力、阻力对汽车做功。
思路点拨 (1)由动能的表达式【3】求出从发现汽车刹车失灵至到达“避险车道”这一过程
中汽车的初、末动能,得到动能的变化量。
(2)刹车失灵后汽车下坡过程中只有重力和阻力做功,由动能定理【4】可求得阻力大小。
(3)汽车在“避险车道”上运动的过程中,重力、阻力对汽车做功,初、末动能已知,由动能定
理求最大位移。
解析 (1)发现汽车刹车失灵时汽车的速度v1=36 km/h=10 m/s,动能Ek1= m =1×105 J
汽车到达“避险车道”时的速度v2=72 km/h=20 m/s,动能Ek2= m =4×105 J(由【3】得到)
则动能的变化量ΔEk=Ek2-Ek1=3.0×105 J
(2)刹车失灵后汽车下坡过程中,有mgh-Ffl=ΔEk(由【4】得到)
得Ff= =2.0×103 N
(3)设汽车在“避险车道”上运动的最大位移是x,初动能为Ek2=4.0×105 J,末动能为0,由动能定
理得
-(mg sin 17°+3Ff)x=0-Ek2
得x= ≈33.3 m
答案 (1)3.0×105 J
(2)2.0×103 N (3)33.3 m第1章　功和机械能
第3节　动能和动能定理
基础过关练
题组一　对动能的理解和计算
1.(多选题)关于动能,下列说法正确的是 (　　)
A.物体由于运动而具有的能量叫动能
B.动能大小与物体的速度方向有关
C.动能只有大小,没有方向,是标量
D.动能的单位是焦耳
2.(多选题)改变消防车的质量和速度,都能使消防车的动能发生改变。在下列几种情况下,消防车的动能是原来的2倍的是 (　　)
A.质量不变,速度增大到原来的2倍
B.速度不变,质量增大到原来的2倍
C.质量减半,速度增大到原来的4倍
D.速度减半,质量增大到原来的8倍
3.从地面竖直向上抛出一个小球,小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力,该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图像是 (　　)
题组二　对动能定理的理解
4.关于动能定理的表达式W=Ek2-Ek1,下列说法正确的是　 (　　)
A.公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B.动能定理既适用于直线运动,也适用于曲线运动;适用于恒力做功,但不适用于变力做功
C.运动物体所受合外力不为零,则该物体一定做变速运动,其动能要变化
D.公式中的Ek2-Ek1为动能的增量,当W>0时动能增加,当W<0时动能减少
题组三　动能定理的应用
5.如图所示,物体沿曲面从A点无初速度滑下,滑至曲面的最低点B时,下滑的高度为5 m,速度为6 m/s,若物体的质量为1 kg,重力加速度g取10 m/s2。则下滑过程中物体克服阻力所做的功为 (　　)
A.50 J　　　　B.32 J　　　　C.18 J　　　　D.0
6.运动员把质量为500 g的足球由静止踢出后,某人观察它在空中的飞行情况,估计上升的最大高度是10 m,在最高点的速度为20 m/s。估算出运动员踢球时对足球做的功为(忽略空气阻力,重力加速度g取10 m/s2) (　　)
A.50 J　　　　B.100 J
C.150 J　　　　D.无法确定
7.两辆汽车在同一水平路面上行驶,它们的质量之比为1∶2,速度之比为2∶1。设两车与地面间的动摩擦因数相等,则当两车紧急刹车后,滑行的最大距离之比为 (　　)
A.1∶2　　　　B.1∶1
C.2∶1　　　　D.4∶1
8.如图所示,在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A,若将小球A从弹簧原长位置由静止释放,小球A能够下降的最大高度为h。若将小球A换为质量为2m的小球B,仍从弹簧原长位置由静止释放,已知重力加速度为g,不计空气阻力,则小球B下降高度h时的速度为 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.0
9.某物体同时受到在同一直线上的两个力F1、F2的作用,物体由静止开始做直线运动,力F1、F2与其位移的关系图像如图所示,在这4 m内,物体具有最大动能时的位移是 (　　)
A.1 m　　　　B.2 m　　　　C.3 m　　　　D.4 m
10.如图所示,一质量为m的小球以大小为v0的初速度从地面竖直上抛,刚落回地面时的速度大小为,已知小球在运动过程中所受空气阻力大小恒定,重力加速度为g,下列说法正确的是 (　　)
A.小球在运动过程中所受空气阻力大小为
B.小球在运动过程中所受空气阻力大小为mg
C.小球能到达的最高点距地面
D.小球能到达的最高点距地面
11.从离地面H高处落下一只小球,小球在运动过程中所受的空气阻力恒为它重力的k(k<1)倍,而小球与地面相碰后,能以相同大小的速率反弹,求:
(1)小球第一次与地面碰撞后,能够反弹起的最大高度是多少
(2)小球从开始释放,到停止弹跳,所通过的总路程是多少
12.如图所示为一滑梯的示意图,滑梯的斜面长度L=5 m,高度h=3 m,为保证小朋友们的安全,在水平面铺设了安全地垫。水平面与斜面平滑连接,小朋友在连接处的速度大小不变。某一小朋友从滑梯顶端由静止开始滑下,经斜面底端后水平滑行一段距离,停在水平地垫上。已知小朋友的质量为m=20 kg,小朋友在斜面上受到的平均阻力f1=88 N,在水平面上受到的平均阻力f2=100 N。不计空气阻力,取重力加速度g=10 m/s2。求:
(1)小朋友在沿斜面滑下的过程中克服摩擦力做的功;
(2)小朋友滑到斜面底端时速度v的大小;
(3)为使小朋友不滑出水平地垫,地垫的长度x的最小值。
能力提升练
题组一　动能定理的理解和应用
1.以速度v飞行的两颗子弹分别穿透两块由同种材料制成的钢板,子弹在钢板中受到的阻力相同且恒定。若子弹穿透两块钢板后的速度分别为0.6v和0.8v,则两块钢板的厚度之比为 (　　)
A.16∶9　　B.7∶9　　C.6∶8　　D.9∶16
2.无人机表演,给观众带来了视觉盛宴。一架无人机在一段时间内沿竖直方向运动,通过传感器获得其速度与时间关系如图所示,图中速度以竖直向上为正方向。已知无人机的质量为2 kg。下列说法正确的是 (　　)
A.0~1 s时间内无人机上升,1~2 s悬停在空中做飞行表演
B.6 s末无人机上升到最高点
C.0~6 s时间内无人机所受合外力做功为-1 J
D.5 s时无人机处于失重状态
3.(多选题)从地面竖直向上抛出一物体,物体在运动过程中除受重力外,还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的阻力作用。距地面高h在3 m以内时,物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图所示。重力加速度g取10 m/s2,则该物体的质量m和所受的阻力f是 (　　)
A.m=2 kg　　　　B.m=1 kg　　　　
C.f=1 N　　　　D.f=2 N
4.(多选题)如图所示,长为L的长木板水平放置,在木板的A端放置一个质量为m的小物块,现缓慢地抬高A端,使木板以左端为轴转动,当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动,此时停止转动木板,小物块滑到底端的速度为v,则在整个过程中(重力加速度为g) (　　)
A.木板对小物块做功一定大于mv2
B.静摩擦力对小物块做功为mgL sin α
C.支持力对小物块做功为mgL sin α
D.滑动摩擦力对小物块做功为mv2-mgL sin α
5.用一台额定功率为P0=60 kW的起重机,将一质量为m=500 kg的工件由地面竖直向上吊起,不计摩擦等阻力,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)工件在被吊起的过程中所能达到的最大速度vm;
(2)若起重机在始终保持额定功率的情况下从静止开始吊起工件,经过t=1.14 s工件的速度vt=10 m/s,则此时工件离地面的高度h为多少
题组二　运用动能定理分析曲线运动
6.如图所示,U型槽可以简化成是由AB、CD两个相同的四分之一光滑圆弧与水平雪道BC组成的,水平雪道与圆弧雪道相切。质量为m的运动员(可视为质点)从O点自由下落,由左侧A点进入U型槽中,从右侧D点自由飞出后上升至Q点。其中OA=h,QD=0.75h,圆弧半径R=2h。不计空气阻力,重力加速度为g,下列说法正确的是 (　　)
A.运动员运动到A点的速度为
B.运动员首次运动到B点的速度为
C.运动员最终可能静止在AB段
D.运动员第二次离开U型槽后,最高能够到达相对于A点0.8h的位置
7.某游乐场的滑梯可以简化为如图所示竖直面内的ABCD轨道,AB为长L=6 m、倾角α=37°的斜轨道,BC为水平轨道,CD为半径R=15 m、圆心角β=37°的圆弧轨道,轨道AB段粗糙,其余各段均光滑。一重物(可视为质点)从A点以初速度v0=2 m/s下滑,沿轨道运动到D点时的速度恰好为零(不计经过B点时的能量损失)。已知该重物的质量m=30 kg,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,求:
(1)该重物与AB段间的动摩擦因数;
(2)该重物在轨道AB上运动的总路程s。
8.如图所示,光滑圆弧的半径为0.8 m,有一质量为1 kg的物体自A点从静止开始下滑到B点,然后沿水平面前进4 m,到达C点停止。重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)物体到达B点时的速率;
(2)在物体沿水平面运动的过程中摩擦力做的功;
(3)物体与水平面间的动摩擦因数。
答案与分层梯度式解析
第1章　功和机械能
第3节　动能和动能定理
基础过关练
1.ACD　物体由于运动而具有的能量叫动能,所以A正确;动能是标量,动能大小与物体的速度方向无关,所以B错误;动能只有大小,没有方向,是标量,所以C正确;动能的单位为焦耳,故D正确。
2.BD　根据Ek=mv2可知,要使动能变为原来的2倍,可采取速度不变,质量增大到原来的2倍,或速度减半,质量增大到原来的8倍,故B、D正确。
3.A　小球做竖直上抛运动,设初速度为v0,则v=v0-gt,小球的动能Ek=mv2,把速度v代入得Ek=mg2t2-mgv0t+m,Ek与t为二次函数关系,A正确,B、C、D错误。
4.D　动能定理的表达式W=Ek2-Ek1,W指的是合外力所做的功,故A错误;动能定理适用于任何运动,故B错误;运动物体所受合外力不为零,则该物体一定做变速运动,若合外力方向始终与运动方向垂直,合外力不做功,动能不变,故C错误;公式中的Ek2-Ek1为动能的增量,当W>0时,即Ek2-Ek1>0,动能增加,当W<0时,即Ek2-Ek1<0,动能减少,故D正确。
5.B　对物体从A到B过程运用动能定理得mgh-Wf=m-0,代入数据解得Wf=32 J,故选B。
6.C　设运动员踢球时对足球做的功为W,从运动员踢球到足球运动到最高点的过程,根据动能定理有W-mgh=mv2,解得W=150 J,故选C。
7.D　汽车刹车后由动能定理得-μmgs=0-mv2,故滑行的最大距离s与v2成正比,与质量无关,所以汽车滑行的最大距离之比s1∶s2=∶=4∶1,故D正确。
8.B　小球A从弹簧原长位置由静止释放,能够下降的最大高度为h,根据动能定理有mgh+W弹=0,换为质量为2m的小球B,根据动能定理有2mgh+W弹=×2mv2,联立解得小球B下降高度h时的速度v=,故选B。
9.B　由题中图像可看出,前2 m内合力对物体做正功,物体的动能增加,后2 m内合力对物体做负功,物体的动能减小,所以物体具有最大动能时的位移是2 m,B正确。
10.D　设小球所受的空气阻力大小为f,上升的最大高度为h。根据动能定理得上升过程有-(mg+f)h=0-m,下落过程有(mg-f)h=m-0,联立解得f=mg,h=,故D正确。
11.答案　(1)H　(2)
解析　(1)设小球第一次与地面碰撞后,能够反弹起的最大高度是h,则由动能定理得
mg(H-h)-kmg(H+h)=0
解得h=H。
(2)设小球从释放开始直至停止弹跳,所通过的总路程是s,对全过程由动能定理得mgH-kmgs=0
解得s=。
12.答案　(1)440 J　(2)4 m/s　(3)1.6 m
解析　(1)小朋友在沿斜面滑下的过程中克服摩擦力做的功为Wf1=f1L=88×5 J=440 J。
(2)小朋友在斜面上运动的过程,由动能定理得
mgh-Wf1=mv2
代入数据解得v=4 m/s。
(3)当小朋友恰滑到地垫边缘静止时,求得的地垫长度最小。小朋友在水平地垫上运动的过程,由动能定理得:-f2x=0-mv2
代入数据解得x=1.6 m。
能力提升练
1.A　子弹受到的合外力相同,均等于阻力f,子弹穿透两块钢板过程中,动能的改变量分别为ΔEk1=m·(0.6v)2-mv2=-0.32mv2,ΔEk2=m(0.8v)2-mv2=-0.18mv2,根据动能定理有W=ΔEk,可知fd=ΔEk,则=,选项A正确。
2.C　以竖直向上为正方向,0~3 s时间内速度均为正值,无人机均在上升,其中1~2 s时间内匀速上升,A错误;3 s末无人机开始下降,则3 s末无人机上升到最高点,B错误;6 s末速度为零,据动能定理可得,0~6 s时间内无人机所受合外力做功为W合=m-m=-1 J,C正确;5 s时无人机处于减速下降过程,加速度向上,故无人机处于超重状态,D错误。故选C。
3.BD　物体上升过程,根据动能定理有-(f+mg)x=36 J-72 J=-36 J,同理,物体下降过程,有(mg-f)x=48 J-24 J=24 J,联立解得m=1 kg,f=2 N,故选B、D。
4.CD　木板转动过程中,小物块受到的静摩擦力与运动方向垂直,静摩擦力做功为零,支持力做功为mgL sin α,小物块下滑过程中,支持力不做功,滑动摩擦力做负功,由动能定理得mgL sin α+Wf=mv2,则滑动摩擦力对小物块做功为Wf=mv2-mgL sin α,故B错误,C、D正确;整个过程中,对小物块应用动能定理得W木板=mv2,故A错误。
5.答案　(1)12 m/s　(2)8.68 m
解析　(1)当工件达到最大速度时,起重机功率达到额定功率且工件的加速度为零
即F1=mg,P=P0=60 kW
故vm== m/s=12 m/s。
(2)在该过程中重力做负功,牵引力做正功,根据动能定理得P0t-mgh=m-0
代入数据解得h=8.68 m。
6.B　根据动能定理可得mgh=m,解得运动员运动到A点的速度为vA=,故A错误;设运动员首次运动到B点的速度为vB,根据动能定理可得mg(h+R)=m,解得vB==,故B正确;由于AB段为光滑圆弧,可知运动员最终不可能静止在AB段,故C错误;运动员从O到Q过程,根据动能定理可mg(h-0.75h)-Wf=0-0,解得该过程克服摩擦力做功为Wf=0.25mgh,设运动员第二次离开U型槽后,能够到达的最高位置相对于A点的高度为h',根据动能定理可得mg(0.75h-h')-Wf=0-0,解得h'=0.5h,故D错误。故选B。
7.答案　(1)0.25　(2)21 m
解析　(1)重物从A运动到D的过程中,由动能定理得
mgL sin α-μmgL cos α-mgR(1- cos β)=0-m
代入数据解得μ=0.25。
(2)在AB斜轨道上,有μmg cos αmgL sin α-μmgs cos α=0-m
解得s=21 m。
8.答案　(1)4 m/s　(2)-8 J　(3)0.2
解析　(1)设物体到达B点时的速度为v,由动能定理得mgR=mv2
解得v=4 m/s。
(2)设物体在水平面上运动过程中摩擦力做功为W,由动能定理得W=-mv2=-8 J。
(3)设物体与水平面间的动摩擦因数为μ,由动能定理得-μmgs=W
解得μ==0.2。

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