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专题强化练5　竖直面内圆周运动的两类模型问题
1.如图所示,汽车以某一速度通过拱形桥最高点,已知拱形桥的半径为R,重力加速度为g,下列说法正确的是 (　　)
A.当R一定时,汽车速度越大,对拱形桥的压力越大
B.当汽车速率恒定时,R越大,汽车对拱形桥的压力越小
C.汽车能以顺利通过最高点
D.汽车能以顺利通过最高点
2.如图所示,将一半径为R的光滑圆形管道竖直放置,A、B、C、D是过管道圆心的水平、竖直虚线与管道的四个交点,可视为质点的小球在圆形管道内做完整的圆周运动,重力加速度为g。下列说法正确的是 (　　)
A.当vD=时小球恰好能通过最高点
B.小球通过A点时对外侧管壁的作用力可以为零
C.小球在上半部分管道运动过程中对内侧管壁一定有作用力
D.小球在下半部分管道运动过程中对外侧管壁一定有作用力
3.(多选题)如图甲所示为建筑行业使用的一种小型打夯机,其原理可简化为一个质量为M的支架(含电动机)上由一根长为l的轻杆带动一个质量为m的铁球(铁球可视为质点),如图乙所示,重力加速度为g。若在某次打夯过程中,铁球以角速度ω匀速转动,则 (　　)
　　
A.铁球转动过程线速度大小不变
B.铁球做圆周运动的向心加速度始终不变
C.铁球转动到最低点时,处于超重状态
D.若铁球转动到最高点时,支架对地面的压力刚好为零,则ω=
4.如图,玩具小车在轨道上做匀速圆周运动,测得小车1 s绕轨道运动一周,圆轨道半径为0.3 m,玩具小车的质量为0.5 kg,AC为过圆心的竖直线,BD为过圆心的水平线,重力加速度g大小取10 m/s2,小车可看作质点,下列说法正确的是 (　　)
A.小车在BD下方运动时处于失重状态
B.小车在B点不受摩擦力作用
C.小车在C点时对轨道的压力恰好为零
D.小车在A点时对轨道的压力比在C点时大10 N
5.(多选题)如图甲所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球,现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时,杆与小球间弹力大小为F,小球在最高点的速度大小为v,其F-v2图像如图乙所示。则 (　　)
　
A.当地的重力加速度大小为
B.当地的重力加速度大小为
C.v2=c时,杆的弹力大小为a
D.v2=c时,杆的弹力大小为
6.如图所示,一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道中有一个直径略小于管道内径的小球,小球在管道内做圆周运动,从B点脱离后做平抛运动,经过0.3 s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径为R=1 m,小球可看成质点且其质量为m=1 kg,重力加速度g取10 m/s2。则 (　　)
A.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m
B.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m
C.小球经过管道的B点时,受到上管道的作用力FNB的大小是1 N
D.小球经过管道的B点时,受到下管道的作用力FNB的大小是2 N
7.如图所示,一环形车道竖直放置,半径为6 m,特技演员驾车以恒定速率行驶,演员与汽车的总质量为1 000 kg,重力加速度为10 m/s2,则:
(1)若汽车以12 m/s恒定的速率运动,汽车通过最高点时对环形车道的压力多大
(2)若要挑战成功,汽车的速率最小值为多少 (保留一位小数)
(3)若轨道能承受的压力最大值为80 000 N,汽车的速率最大值为多少 (保留一位小数)
答案与分层梯度式解析
专题强化练5　竖直面内圆周运动的两类模型问题
1.D　汽车以某一速度通过拱形桥最高点,根据牛顿第二定律可得mg-N=m,根据牛顿第三定律可得N压=N=mg-m,可知当R一定时,汽车速度越大,对拱形桥的压力越小;当汽车速率恒定时,R越大,汽车对拱形桥的压力越大,故A、B错误。根据N=mg-m,当N=0时,可得v=,可知汽车能以顺利通过最高点,不能以顺利通过最高点,故C错误,D正确。
2.D　当vD=时,由m=mgh得小球能上升的最大高度为h==R,选项A错误;小球通过A点时外侧管壁要提供小球做圆周运动的向心力,则小球对外侧管壁的作用力不能为零,选项B错误;小球在上半部分管道运动过程中,向心力有向下的分量,因重力向下,则内壁对小球不一定有作用力,即小球对内侧管壁不一定有作用力,选项C错误;小球在下半部分管道运动过程中,向心力有向上的分量,因重力向下,则外壁对小球一定有支持力,即小球对外侧管壁一定有作用力,选项D正确。
3.ACD　铁球转动过程中,线速度大小为v=ωl,故铁球转动过程线速度大小不变,故A正确;铁球做圆周运动的向心加速度的方向时刻变化,故B错误;铁球转动到最低点时,有向上的向心加速度,拉力大于重力,故处于超重状态,故C正确;若铁球转动到最高点时,支架对地面的压力刚好为零,则地面对支架的支持力为零,对支架受力分析,支架受到的轻杆拉力大小等于支架重力,即T=Mg,对铁球受力分析有T+mg=mω2l,联立解得ω=,故D正确。
4.D　小车在BD下方运动时,向心加速度指向圆心,均有竖直向上的分量,处于超重状态,故A错误;由于玩具小车在轨道上做匀速圆周运动,切向分量上合力为零,在B点受到竖直向上的摩擦力,故B错误;设玩具小车在C点时受到向下的弹力FNC,则有FNC+mg=m,又v==0.6π m/s,解得FNC'=FNC≈1 N,故C错误;设玩具小车在A点时受到向上的弹力FNA,则FNA-mg=m,由牛顿第三定律知FNA'=FNA,得FNA'-FNC'=2mg=10 N,故D正确。
规律总结　 两类模型的规律对比
(1)轻绳模型
①v>时,绳子的弹力F=m-mg,方向竖直向下。
②v=时,绳子的弹力为零,是安全通过最高点的临界条件。
(2)轻杆模型
①v>时,轻杆对物体的弹力F=m-mg,方向竖直向下。
②v=时,轻杆对物体的弹力为零,是物体所受弹力方向变化的临界速度。
③v<时,轻杆对物体的弹力F=mg-m,方向竖直向上。
5.AC　对小球在最高点分析,当v=0时,有F=mg=a,当F=0时,有mg=m=m,解得g=,m=,A正确,B错误;由题图可知,当v2b时,杆对小球的弹力方向向下,所以当v2=c时,杆对小球的弹力方向向下,则有F+mg=m=m,联立得F=-a=a,故C正确,D错误。
6.A　小球从B点脱离后做平抛运动,则在C点的竖直分速度为vCy=gt=3 m/s,小球恰好垂直撞在倾角为45°的斜面上,则平抛运动的水平初速度为vB=vCy tan 45°=3 m/s,小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离为x=vBt=0.9 m,故A正确,B错误;设小球经过B点时,受到上管道竖直向下的作用力,根据牛顿第二定律可得FNB+mg=m,联立解得FNB=-1 N,负号说明小球在B点受到下管道的作用力大小是1 N,方向竖直向上,故C、D错误。
7.答案　(1)14 000 N　(2)7.7 m/s　(3)20.5 m/s
解析　(1)若汽车以12 m/s恒定的速率运动,汽车通过最高点时,根据牛顿第二定律得FN+mg=m
解得FN=14 000 N
根据牛顿第三定律可知,汽车对环形车道的压力F'N=14 000 N
(2)若要挑战成功,则汽车在最高点的速率最小值满足mg=m
解得vmin==2 m/s≈7.7 m/s
(3)汽车在最低点时对轨道的压力最大,则若轨道能承受的压力最大值为80 000 N,由牛顿第三定律知,轨道提供的支持力最大为80 000 N,汽车在最低点时的最大速率满足
FNmax-mg=m
解得vmax= m/s≈20.5 m/s

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