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易混易错练
易错点1　混淆万有引力表达式中的r和向心力表达式中的r
1.中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星,成为世界上发现脉冲星效率最高的设备,如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图,距离为L的A、B双星绕它们连线上的某点O在二者万有引力作用下做匀速圆周运动,运动周期为T,引力常量为G,则双星总质量为 (　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
易错点2　混淆卫星的发射速度与运行速度
2.关于三个宇宙速度,下列说法正确的是 (　　)
A.第一宇宙速度大小为7.9 km/h
B.绕地球运行的同步卫星的环绕速度必定小于第一宇宙速度
C.第二宇宙速度为11.2 km/s,是绕地飞行器最大的环绕速度
D.第三宇宙速度是卫星挣脱地球束缚所需的最小速度
易错点3　混淆卫星的稳定运行速度和动态变轨速度
3.如图所示,一颗质量为m的卫星要发射到中地圆轨道上,通过M、N两位置的变轨,经椭圆转移轨道进入中地圆轨道运行。已知近地圆轨道的半径可认为等于地球半径,中地圆轨道与近地圆轨道共面且轨道半径为地球半径的3倍,地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,下列说法中正确的是 (　　)
A.卫星进入中地圆轨道时需要在N点减速
B.在转移轨道上的M点和N点速度关系为vMC.该卫星在中地圆轨道上运行的速度为
D.该卫星在转移轨道上从M点运行至N点(M、N与地心在同一直线上)所需的时间为2π
易错点4　混淆赤道上物体随地球自转与卫星绕地球运动的区别
4.(多选题)同步卫星离地心距离为r,运行速率为v1,加速度为a1;地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R,则下列比值正确的是 (　　)
A.=　　　　B.=
C.=　　　　D.=
思想方法练
一、数形结合法
方法概述
数形结合法是将抽象的物理问题直观化、形象化的最佳工具,能从整体上反映出两个或两个以上物理量的定性或定量关系,图像问题是常见的数形结合法的具体应用。利用图像解题时一定要从图像纵、横坐标的物理意义以及图线中的“点”“线”“斜率”“截距”和“面积”等诸多方面寻找解题的突破口。利用图像解题不但快速、准确,能避免繁杂的运算,还能解决一些用一般计算方法无法解决的问题。
1.(多选题)如图甲所示,假设某星球表面上有一倾角为θ=30°的固定斜面,一质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上运动,其速度-时间图像如图乙所示。已知小物块和斜面间的动摩擦因数为μ=,该星球半径为R=6×104 km。引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,则下列说法正确的是　 (　　)
A.该星球的第一宇宙速度v1=3.0×104 m/s
B.该星球的质量M=8.1×1026 kg
C.该星球的自转周期T=1.3×104 s
D.该星球的平均密度ρ=895 kg/m3
2.在星球M上,将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹簧上端,P由静止向下运动,其加速度a与弹簧的压缩量x之间的关系如图中实线所示。在另一星球N上,用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其a-x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体,已知星球M的半径是星球N的3倍,求:
(1)Q和P的质量之比;
(2)星球M和星球N的密度之比。
二、割补思想
方法概述
“割”“补”相对于“多余”和“缺损”,“割补法”是处理数学或物理问题常用的方法,可以使原来不完整的物体变得完整,使原来不对称的物体变得对称,使杂乱无章的现象变得有规律可循。采用割补法求万有引力,先将空腔填满,根据万有引力定律列式求解万有引力,该引力是填入部分的引力与剩余部分引力的合力。
3.某地区的地下发现了天然气资源,如图所示,在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域内贮藏有天然气。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ,天然气的密度远小于ρ,可忽略不计。如果没有该空腔,地球表面正常的重力加速度大小为g;由于空腔的存在,现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G,球形空腔的球心深度为d,则此球形空腔的体积是 (　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
4.如图所示,将一半径为R、质量为M的均匀大球,沿直径挖去两个半径分别为大球半径一半的小球,并把其中一个放在球外与大球靠在一起,挖去小球的球心、球外小球的球心、大球的球心都在一条直线上,则大球中剩余部分与球外小球间的万有引力大小约为 (　　)
A.0.01　　　　B.0.02
C.0.05　　　　D.0.04
5.如图所示,一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F,如果在球体中央挖去半径为r的球体,且r=,则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为多少
6.如图所示,阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分。所挖去的小圆球的球心O'和大球体球心O的距离是。求球体的剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力(P在两球心连线的延长线上)。
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
1.C　双星A、B之间的万有引力提供向心力,有G=mAω2RA,G=mBω2RB,其中ω=,L=RA+RB,联立解得mA+mB=(RA+RB)3=,故选C。
错解分析　同学们在习惯了万有引力G提供向心力m、mrω2后可能会形成一种解题定势,即认为万有引力表达式G的r和向心力表达式m、mrω2的r始终是同一个物理量,殊不知G中的r为两物体间的距离,而m、mrω2中的r为圆周运动的轨道半径,两者含义并不相同。
2.B　第一宇宙速度大小为7.9 km/s,故A错误;根据G=m,可得v=,绕地球运行的同步卫星的环绕半径大于地球的半径,则环绕速度必定小于第一宇宙速度,故B正确;第二宇宙速度为11.2 km/s,是卫星脱离地球吸引力的最小速度,故C错误;第三宇宙速度是卫星挣脱太阳系束缚所需的最小速度,故D错误。
错解分析　学生在解答关于宇宙速度、发射速度和运行速度的问题时,经常会产生一些错误,诸如将发射速度与运行速度理解为同一种速度;不能判断运行轨道半径增大时,运行速度与发射速度的大小变化情况。
3.D　卫星进入中地圆轨道时需要在N点加速,故A错误;由开普勒第二定律知,M点到地球的距离小于N点到地球的距离,因此近地点M点的速度大于远地点N点的速度,即vM>vN,故B错误;卫星在中地圆轨道上,由万有引力提供向心力得=,在地球表面附近有=mg,解得v=,故C错误;卫星在中地圆轨道上的周期T中==6π,由开普勒第三定律得=,联立解得T转=4π,在转移轨道上从M点运行至N点所需的时间tMN==2π,故D正确。
错解分析　根据v=分析之所以得出错误结论,是因为不了解该式的适用对象是正在做匀速圆周运动的卫星,即v=是卫星稳定运行的速度,而卫星加速后(此时的速度称为变轨速度)将离开原来的轨道,并不是做匀速圆周运动,不能再用v=分析。
4.AD　要比较地球赤道上的物体和同步卫星的加速度要有不同的思路。
本题中涉及三个物体,其已知量排列如下:
地球同步卫星:轨道半径r,运行速率v1,加速度a1;
地球赤道上的物体:半径R,随地球自转的向心加速度a2;
近地卫星:轨道半径R,运行速率v2。
对于卫星,其共同特点是万有引力提供向心力,有G=m,故=。
对于同步卫星和地球赤道上的物体,共同特点是角速度相等,有a=ω2r,故=。故选A、D。
错解分析　没有具体分析赤道上物体的受力情况,而盲目地认为和卫星受力情况相同,只受万有引力。赤道上的物体除受万有引力外,还受地面对它的支持力,所以方程G=ma=m只适用于卫星,对于地球赤道上的物体并不适用。
思想方法练
1.ABD　上滑过程中,根据牛顿第二定律,在沿斜面方向上有μmg cos θ+mg sin θ=ma1,下滑过程中,在沿斜面方向上有mg sin θ-μmg cos θ=ma2,又知v-t图像的斜率表示加速度,则上滑和下滑过程中的加速度大小分别为a1= m/s2=10 m/s2,a2= m/s2=5 m/s2,联立解得g=15 m/s2,故该星球的第一宇宙速度为v== m/s=3.0×104 m/s,选项A正确;根据黄金替代公式GM=gR2可得该星球的质量为M== kg=8.1×1026 kg,选项B正确;根据所给条件无法计算自转周期,选项C错误;该星球的平均密度ρ====895 kg/m3,选项D正确。
2.答案　(1)6∶1　(2)1∶1
解析　(1)设星球M和星球N表面的重力加速度分别为gM和gN,P、Q两物体的质量分别为mP和mQ。
由牛顿第二定律可得mg-kx=ma
故加速度a=-+g
由题图可知=,=
解得mQ∶mP=6∶1。
(2)由a=-+g结合题图可得gM∶gN=3∶1
在星球表面,有mg=G
可得gR2=GM
又有M=ρπR3
可得ρ=
故ρM∶ρN==1∶1。
方法点津　根据题述物理过程,写出a-x函数关系式,根据关系式与a-x图像的对应关系,得出P、Q两物体的质量之比及M、N两星球表面的重力加速度之比,再推导出两星球密度之比。
3.D　如果将地下的球形空腔填满密度为ρ的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值,因此,如果将空腔填满,地面上P点处质量为m的物体的重力为mg,有空腔时是kmg,故空腔填满后引起的引力为(1-k)mg;根据万有引力定律,有(1-k)mg=G,解得V=,故选D。
4.D　由题意可得,挖去的小球的半径为、质量为。挖出小球前,大球对球外小球的万有引力为F=G=;将挖出的小球填回原位置,则填入左侧原位置的小球对球外小球的万有引力为F1=G=,填入右侧原位置的小球对球外小球的万有引力为F2=G=,则大球中剩余部分对球外小球的万有引力为F3=F-F1-F2≈0.04,故选D。
方法点津　先把挖去的部分“补”上,得到半径为R的完整球体,再根据万有引力公式,分别计算补回的左、右两个半径为的球体和半径为R的完整球体对球外小球的万有引力F1、F2、F,再利用力的合成与分解规律即可求得结果。
5.答案　F
解析　设原球体质量为M,质点P的质量为m,球心与质点P之间的距离为r0,则它们之间的万有引力
F=G
被挖去的球体的质量
m1=·M=·M=
被挖去的球体与质点P之间的万有引力
F1=G=G=
所以,原球体剩余部分对质点P的万有引力变为
F2=F-F1=F
6.答案　
解析　将挖去的部分补上,则完整的大球对球外质点P的引力F1==
半径为的小球的质量M'=π·ρ=
补上的小球对质点P的引力F2=G=
因而挖去小球后剩余部分对质点P的引力
F=F1-F2=-=。

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