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2024-2025学年下学期高二期末质量监测
数学参考答案及评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B A D C A C A AC ACDBCD
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
1.D 解析:(0! +0! +0! +0!)! =4! =24.故选D.
2.B 解析:在第一次抽到选择题的条件下,第二次抽到填空题,即在3道选择题2道填空题中随
机抽一题,抽到填空题的概率P=2,故选5 B.
3.A 解析:由散点图知,变量x和变量y 负相关,且相关性较强,所以样本相关系数r<-0.75,
故选A.
4.D 解析:因为 2χ =3.689>2.706=x0.1,依据小概率值α=0.1的独立性检验,所以婴儿性别
与出生时间有关联,此推断犯错误的概率不大于0.1.故选D.
5.C 解析:解法1:从6个位置中选2个摆放哪吒模型,有C26=15种方法,两个哪吒相邻等价于
从5个位置中选一个摆放两个哪吒模型,有C15=5种方法,所求概率为P=
5
15=
1 故选
3. C.
解法2:先从6个位置中选4个摆放敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人(剩下两个位置放哪吒模型),
有A46 种方法,两个哪吒相邻可将两个哪吒捆绑在一起,与敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人进行全
A5
排列,有A55 种方法,所求概率为P=
5=14 3.
故选C.
A6
6.A 解析:由题意,f'(x)=aex-1≤0在(1,2)上恒成立,即a≤ 1x在(1,2)上恒成立x xe .
设g(x)= 1x,x∈(1,2),g'(x)=-
x+1
2 x<0,所以,函数g()在(,)是单调递减,xe xe x 12
x∈(1,2),g(x)>g(2)=12e2.∴a≤
1 所以, 的最大值为1 故选
2e2. a 2e2. A.
2a+a+2a+b=1,
7.C 解析:由 得a=b=1.
-2a+0+2a+2b=1, 6
3
1 2 1 1 2 2 2D = -1- × + 0- ×1+ 1-1 ×1+ 2-1 ×1=11ξ 故选3 3 3 6 3 3 3 6 9. C.
8.A 解析:X~B(n,0.8),Pk=P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,
P >P , Ckpk(1-p)n-k>Ck-1pk-1(1-p)n-(k-1)
, k k-1 n n
,
若 Pk 是 唯 一 的 最 大 值 则 所 以, 解 得P >P k k n-k k+1 k+1 n-(k+1)k k+1, Cnp (1-p) >Cn p (1-p) ,
k-p
p k+1-p 因为 , , , , ( ) ( )
p . k=7p=0.8 ∴7.75=8×0.8×(1-0.8)=1.28.故选A.
2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学参考答案及评分标准 第 1页 共5页
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二、多项选择题:本大题共3题,每小题6分,共18分.
9.AC 解析:由函数y=(x+2)f'(x)的图象知,当x<-2时,f'(x)<0,当-2<0,当10,当x>2时,f'(x)<0,所以,f(x)在(-∞,-2)上单调递减,选
项A正确;-2不是f(x)的极值点,选项B错误;2为f(x)的极大值点,函数f(x)有极大值
f(2),选项C正确;由于不知道f(x)的极小值f(1)与极大值f(2)的符号,所以不能确定函数
f(x)的零点的个数,选项D错误.故选AC.
10.ACD 解析:杨辉三角的性质:Cr=Cn-r,Cr=Cr r-1n n n n-1+Cn-1,所以选项A正确,B错误;当n≥2
时,C1+C1+C1+…+C1 21 2 3 n-1=Cn,选项C正确;当n≥3时,C2+C2+C22 3 4+…+C2 3n-1=Cn,选项
D正确.故选ACD.
1 2
11.BCD 解析:当p=2时,设甲得分为X,则X~B 3,2 ,所以P(X=1)=C1 23 3 3 3 13 =2,9
3
P(X≥1)=1-P(X=0)=1- 1 =26,选项A错误,选项B正确;选项C,设乙的得分为3 27
Y,则Y 可取0,2,4,6.当p=2时,P(Y=0)=1,(3 3 PY=2
)=23×
1 2,
3=9 P
(Y≤2)=1 23+9=
5,选项C正确;对于D,(9 PY=0
)=1-p,P(Y=2)=p(1-p),P(Y=4)=p2(1-p),P(Y=
6)=p3.
Y 的分布列为:
Y 0 2 4 6
P 1-p p(1-p) p2(1-p) p3
E(Y)=0×(1-p)+2×p(1-p)+4×p2(1-p)+6×p3=2p3+2p2+2p,因为E(X)=3p,
由E(Y)-E(X)=p(2p2+2p-1)>0,得 3-1
E(X),选项D正确.故选BCD.
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12.1 解析:=a+
(a+4)
2 μ 2 =a+2
,∴P(X≥a+2)=12.
13.8x+4y-3π=0 或y=-2x+3π 解析:记 (), () , π π4 y=fx f'x =-2sin2xf' 4 =-2sin2
=-2,
又f π π4 =4.
所以,曲线y=cos2x+π在x=π处的切线方程为 π4 4 y-4=-2 x-π ,4
即8x+4y-3π=0.
14.2016 解析:先将4名高三学生全排列,
若高一、高二学生不相邻,站法有A44·2A44=1152,
若高一学生与高二学生相邻,站法有A4·C14 3A22·A33=864,
共有站法1152+864=2016种.
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四、解答题:本大题共5小题,共77分.
15.解:(1)令x=0,得a =290 =512.令x=1,得a9+a8+a7+…+a1+a0=1,
所以a9+a8+a7+…+a1=1-512=-511.……………………………………………… 4分
(2)令x=-1,得-a9+a8-a7+…-a1+a 90=3,所以,
|a 99|+|a8|+|a7|+…+|a1|+|a0|=-a9+a8-a7+…-a1+a0=3 ………………… 8分
(3)(2-x)9=ax9+ax8+ax79 8 7 +…+a1x+a0 两边对x求导,得
-9(2-x)8=9a9x8+8a8x7+7a 67x +…+a1,…………………………………………… 11分
再令x=1,得9a9+8a8+7a7+…+a1=-9. …………………………………………… 13分
注意:本题(3)中若利用kCk9=9Ck-18 解之同样给分.
16.解:(1)2×2列联表如下:
AI达人 非AI达人 合计
男 24 6 30
女 18 12 30
合计 42 18 60
………………………………………………………………………………………………… 3分
零假设 H0:“AI达人”与性别无关,
2 60×(= 24×12-18×6
)2 20
χ 42×18×30×30 =7≈2.857<6.635=x0.010
, ……………………………… 6分
根据小概率值α=0.010的独立性检验,没有充分证据推断 H0 不成立,因此认为 H0 成立,
因此认为“AI达人”与性别无关.…………………………………………………………… 8分
(2)在“AI达人”中按性别分层抽样抽取7人,其中,男“AI达人”抽取2442×7=4
人,女“AI
达人”抽取3人,X 的所有可能取值为0,1,2. …………………………………………… 10分
2 1 1 2
则P(X=0)
C
= 4 2,(
CC C
2=7 P X=1
)= 4 3=4,P(X=2)= 3=1.
C C27 7 7 C27 7
所以,X 的分布列如下:
X 0 1 2
P 2 4 17 7 7
……………………………………………………………………………………………… 14分
X 的数学期望E(X)=0×2+1×4+2×1=6. ……………………………………… 分7 7 7 7 15
17.解:(1)t =15.0
10
10 =1.5
,y =110 yi=8.6.i=1
10
tiyi-nt y
b=i=1 =143.0-10×1.5×8.610 =2.8,a= -bt =8.6-2.8×1.5=4.4,
t2-nt 2 27.5-10×1.5
2 y
i
i=1
y关于t的线性回归方程为:y=2.8t+4.4. ……………………………………………… 5分
所以y关于x 的回归方程为y=2.8lnx+4.4.…………………………………………… 6分
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(2)设事件A:随机抽取一件药品来自设备甲生产,事件B:随机抽取一件药品来自设备
乙生产,事件C:随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品.
①因为设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍,所以P(A)=3,P(B)=2,5 5
则P(C|A)=0.008,P(C|B)=0.006.……………………………………………………… 8分
所以P(C)=P(A)·P(C|A)+P(B)·P(C|B)=35×0.008+
2
5×0.006=0.0072.
故所抽药品为不合格品的概率为0.0072.………………………………………………… 10分
2
( ) P(B)· (②P B|C = P C|B
) 5×0.006 1
P(
,
C) = 0.0072 =3
即所抽药品为不合格品,该药品来自设备乙生产的概率为1,…………………………… 13分3
2
所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为P=C2 1 ·2=23 .………… 15分3 3 9
18.解:(1)f'(x)=(x-a+1)ex,
当xa-1时,f'(x)>0,所以,f(x)在(-∞,a-1)上递减,
在(a-1,+∞)上递增,f(x)极小值=f(a-1)=-ea-1.…………………………………… 4分
由-ea-1<-e,得a>2.
故a的取值范围为(2,+∞). ……………………………………………………………… 6分
(2)当a=1时,F(x)=f(x)-1=(x-1)ex-1,依题意方程F(x)=x,
即(x-1)ex-1=x的解就是函数F(x)的不动点.
令g(x)=(x-1)ex-x-1,
g'(x)=xex-1,
令h(x)=g'(x),则h'(x)=(x+1)ex,
当x<-1时,h'(x)<0,当x>-1时,h'(x)>0,
所以,h(x)在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增, ………………………………… 8分
又h(1)=e-1>0,h(0)=-1<0,且当x<0时,h(x)<0.
所以,存在唯一x0,0当x当x>x0 时,h(x)>0,即g'(x)>0,所以,g(x)在(x0,+∞)上递增.
所以,g(x)≥g(x0).………………………………………………………………………… 10分
因为g'(x x x 10 00)=0,即x0e -1=0,也即e =x0
所以,g(x0)=(x0-1)ex0-x0-1=-ex0-x0<0.
又g(-2)=1-32>0,e g
(2)=e2-3>0.
根据零点存在定理,g(x)在(-2,x0),(x0,2),内各仅有一个零点,所以,g(x)有且仅有
两个零点.即函数F(x)有两个不动点.…………………………………………………… 13分
设m 是g(x)的零点,则g(m)=(m-1)em-m-1=0,
又g(-m)=(-m-1)e-m+m-1=e-m[(-m-1)+(m-1)em]=0,
所以-m 也是g(x)的零点.
故g(x)所有零点之和等于零.即函数F(x)所有不动点之和等于零. ………………… 17分
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19.解:(1)X 的可能取值为3,4,5,6.
3
P(X=3)= 2 8,3 =27
P(X=4)=C1×13 3× 23
2
=4,9
2 1
P(X=5)=C2 1 23× 3 × 3 =2,9
P(X=6)=C3× 1 3=13 3 27.
X 的分布列为
X 3 4 5 6
P 8 4 2 127 9 9 27
………………………………………………………………………………………………… 4分
所以,E(X)=3×8+4×4+5×2+6×1=4.………………………………………… 分27 9 9 27 6
(2)P 2 1 2 2 71= ,3 P2=
,
3+3×3=9
当n≥3时,P 2 1n= Pn-1+ Pn-2,……………………………………………………………3 3 9
分
即P +1 1n 3Pn-1=Pn-1+3Pn-2
,
所以,数列 P 1n+ Pn-1 为常数列3 .
又P +1P 7 1 2 12 3 1= + × =1
,所以
9 3 3 Pn+3Pn-1=1
(n≥2),
则P -3=-1 P -3n n-1 ,所以, 3 是以 1为首项, 1为公比的等比数列,4 3 4 Pn-4 -12 -3
3 n-1∴Pn-4=-
1
12× -1 ,3
n
即P 3 1 1n=4+4× -3 (n≥2).
当n=1时,上式也成立.
∴P 3 1 1
n
n= + × - .……………………………………………………………………4 4 3 13分
n
P =P +P +P +…+P =3i 1 2 3 n 4n+
1
4× 1
1 2 n
-3 + -1 +…+ -1i=1 3 3
=3
n
n-1 1- -1 .……………………………………………………………………4 16 3 17分
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