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浙江省舟山市2024-20256学年下学期八年级学科素养监测 数学试题卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若要使有意义，则字母的值可以是（　　）
A．3 B．1 C．0 D．
2．我国新能源汽车产业发展迅猛，取得了举世瞩目的成就，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知边形的内角和为，则的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．用反证法证明命题“若，则”时，则应先假设（　　）
A． B． C． D．
5．已知关于的一元二次方程的一个根是，则（　　）
A． B．1 C．2 D．
6．已知在中，对角线交于点，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，过反比例函数上一点作轴的垂线，交轴于点，点在轴上，满足四边形是平行四边形，若的面积为4，则的值是（　　）
A． B．8 C． D．
8．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，，点是上一点，连结，点是的中点，连结，作于点，连结，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．1
10．已知点都在反比例函数的图像上，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题
11．化简 ．
12．如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为 ．
13．已知在温度不变的条件下，汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强成反比例关系，当时，，则当时， ．
14．在一次广播操比赛中，801班、802班、803班的各项得分如下表，若对于“服装统一”、“动作整齐”、“动作准确”三个项目按进行加权计算，则得分最高的班级是 ．
服装统一 动作整齐 动作准确
801班 80 84 87
802班 98 78 80
803班 90 82 83
15．定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
16．如图，在中，作点关于的对称点，连结交于点，连结，若是等腰直角三角形，则 ；与的面积之比是 ．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)．
18．小李与小王两位同学解方程的过程如下框：
小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程．
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，
(1)求证：AE＝CF；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
20．某班为选拔一名选手参加校知识竞赛，从自愿报名、综合表现等角度确定了甲、乙两名考察对象，在学校组织的辅导过程中，共安排了6次测试，满分10分，每次测试具体得分如图．
得分对象 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2）
甲 7 7 7 ③
乙 7 ① ② 3.2
(1)将表格补充完整
(2)请结合历次测试成绩，你将推荐谁参加校知识竞赛，并说明理由．
21．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，．
(1)求的值和一次函数的表达式；
(2)直接写出关于的不等式的解集．
22．观察以下式子：记，则
①；
②；
【计算观察】（1）___________；___________．（直接写出结果即可）
【归纳验证】（2）猜想：___________（为正整数）；并证明．
【应用推广】（3）令，计算的值．
23．如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片．
(1)若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？
(2)若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？
24．如图1，已知四边形是正方形，点分别是边上的点（不与正方形的顶点重合），且满足，连结相交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连结交于点，作的角平分线交于点．
①当时，求的值；
②试猜想之间满足的数量关系，并证明．
浙江省舟山市2024-20256学年下学期八年级学科素养监测 数学试题卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B A D C C D A B
1．A
【详解】解：根据题意，
则，
则字母的值可以是．
故选：A．
2．C
【详解】解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．B
【详解】解：根据题意：，
解得：．
故选：B．
4．A
【详解】解：用反证法证明命题“若，则”时，则应先假设．
故选：A．
5．D
【详解】解：把代入，
得：，
解得，，
故选：D．
6．C
【详解】解：A、，则是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴是矩形，不一定能使其成为菱形，故符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是菱形，故不符合题意；
故选：C．
7．C
【详解】解：过点A作轴于点G，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵四边形为平行四边形，
∴，
由反比例函数经过第二象限，得，
∴．
故选：C．
8．D
【详解】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是尺，
由勾股定理得：．
故选：D．
9．A
【详解】解：∵，点是的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，即点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：A．
10．B
【详解】解：∵点都在反比例函数的图像上，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，则，
若，则，解得：，则；
若，则，解得：，则；
综上，若，则或，故A选项错误，不符合题意；
若，则，故B选项正确，符合题意；
若，则，故D选项错误，不符合题意；
若，则，
若，则，解得：，则；
若，则，解得：，则无解；
综上，若，则，故C选项错误，不符合题意；
故选：B．
11．2025
【详解】解：，
故答案为：2025．
12．/32度
【详解】解：如图，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．
【详解】解：∵汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强成反比例关系，
∴设汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强的关系式为，
当时，，
∴，解得：，
∴汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强的关系式为，
当时，，
故答案为：．
14．班
【详解】解：班：
∵ “服装统一”权重为，得分为，“动作整齐”权重为，得分为，“动作准确”权重为，得分为，
∴ 总得分 保留一位小数，
班：
∵ “服装统一”权重为，得分为，“动作整齐”权重为，得分为，“动作准确”权重为，得分为，
∴ 总得分 ，
班：
∵ “服装统一”权重为，得分为，“动作整齐”权重为，得分为，“动作准确”权重为，得分为，
∴ 总得分 ，
∵ ，
∴得分最高的班级是801班．
故答案为：班．
15．
【详解】∵，
∴可变为，
∴．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
在中，，，
∴，
根据对称可得，，
∴，
∴，
设，
过点A作，
则，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：，．
17．(1)
(2)．
【详解】（1）解：
=
，
（2）解：
，
18．×；×；，．正确的解答过程见解析
【详解】×；×
解：
，．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴AE=CF．
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
20．(1)6.5，6，；
(2)推荐甲谁参加校知识竞赛.理由见解析（理由不唯一，合理即可）.
【详解】（1）解：把乙的6次成绩从小到大排列为：5，6，6，7，8，10，故中位数为，出现次数最多的是6，故众数为，
甲的方差为： ；
（2）解：推荐甲谁参加校知识竞赛，理由如下：
∵两人的平均数相同，
∴甲的方差比乙小，成绩更稳定，
∴推荐甲谁参加校知识竞赛.（理由不唯一，合理即可）
21．(1)，
(2)或
【详解】（1）解：把代入得，
解得，
∴反比例函数解析式为，
把代入得，
解得，
∴，
把，代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由可知，反比例函数在一次函数下方，
∴不等式的解集或．
22．（1）；；（2）；（3）
【详解】（1）
；
；
（2）猜想：
证明：
；
（3）根据题意得，，，
∴
．
23．(1)
(2)，底面正三角形的边长为
【详解】（1）解：设裁去的正方形边长为，
由题意得：，
解得：或（不合题意，舍），
答：裁去的正方形边长；
（2）解：延长交于点，
∵等边，
∴，
由矩形可得：
∴设，
由题意得：四边形为矩形，
∴，
设，
∵，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴由勾股定理得：，
∵
∴
∵，
∴
过点作于点，则，
∴由勾股定理得：，
∴，
∵当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等，
，
∴，
将代入，
则
解得：，
∴等边三角形边长为．
24．(1)见解析；
(2)①；②，理由见解析．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
， ．
又，
．
．
∴ ．
．
（2）解：①由（1）知，即．
∵，，
∴平分．
∵四边形是正方形，为对角线，，
∴．
∵，，
∴．
又平分，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴．
过点作于点，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，,
∴,
∴
∴
②，理由如下：
过作交于
平分，
，是等腰直角三角形
，，
∴,
由（1）知，
，
又四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴，
在和中：
，，

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