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1.3《全等三角形的判定》--SAS
题型一、用SAS需要满足的条件
1．如图，已知，用“”证，还需（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，若已知，用“”说明，还需要的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在 ABC和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是 ．
题型二、全等三角形的判定方法：SAS
5．下列条件中能判定的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
6．下列与图1三角形全等的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．只有①
7．如图，在和中，，，那么由所给条件判定和全等的依据可以简写为 ．
8．如图，已知点，在上，，，．求证：；
题型三、用SAS证明三角形全等
9．如图，，且．求证：．
10．如图，，，．求证：．
题型四、SAS的有关应用
11．数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定 AOB和全等的方法是（ ）

A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
12．如图，小明要测量水池的宽，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，则的长度就是的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．

13．如图，这是折叠凳及其侧面示意图．已知，，则 ．
题型五、对SSA的认识
14．如图，把长度确定的两根木棍，的一端固定在A处，和第三根木棍摆出 ABC固定，将木棍绕点A转动，得到，这个实验说明（ ）
A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等
B．有两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形不一定全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
15．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．三角形任何两边的和大于第三边
C．两边及一角对应相等的两个三角形全等
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
题型六、用SAS和全等的性质求角的度数
16．如图，在 ABC中，，点D为边上一点，点E在边上，，，，则的度数为 ．
17．如图，D、E是 ABC外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ．
18．如图，在中，，是的角平分线，是上一点，且，若，则 ．
19．如图所示，，，，，，则 °．
20．如图，已知．
(1) ADE与是否全等？说明理由；
(2)如果，求的度数．
题型七、用SAS和全等的性质证明角相等
21．如图，点E、F在上，．求证：．
22．如图，某海岸沿线有，两个码头，在该海域内有两座小岛，，航线与相交于点，经测量，，，求证：．
题型八、用SAS和全等的性质求线段的长度
23．如图， ABC与 ADE相交于点A，，，，若，则的长度是 ．
24．如图，在 ABC中，是边上的一点，连接，以为边作 ADE，使，且，连接，若，求长．
25．如图所示，，，．
(1)求证：；
(2)若，， 则 　　．
题型九、用SAS和全等的性质证明线段相等
26．如图，已知，在三角形的边上，且，．求证：．
27．已知；如图，在 ABC中，，．为延长线上一点，点在上，，连接、和．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
28．如图，点E、F在上，，，，与相交于点O，求证．
题型十、用SAS和全等的性质证明线段的关系
29．如图，在 ABC中，、分别是 ABC的高，在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，连接与．判断与的关系并证明你的结论．
题型十一、全等三角形的动点问题
30．如图，与相交于点C，厘米，点P从点A出发，沿方向以2厘米/秒的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以1厘米/秒的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．当点P在运动时， 厘米（用含的代数式表示）；当P，Q，C三点共线时，t的值为
31．如图，已知四边形中，，，，，点是线段的三等分点（靠近处）．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若要使得与 CQP全等，则点的运动速度为（ ）．
A. B．或 C． D．或
参考答案
题型一、用SAS需要满足的条件
1．B
【分析】本题主要考查了用“”证明三角形全等，掌握有两条对应边相等及其夹角相等的两个三角形全等，是解题的关键．
【详解】解：由图可知，，
∵，
∴用“”证，还需，
故选：B．
2．B
【分析】找到根据“”判定需要条件，作出证明即可．
【详解】解：还需添加的条件是，理由是：
在 ABC和 ADE中，
，
∴，
故选：B．
3．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．根据定理的条件进行判断即可；
【详解】解：用边角边证明两三角形全等，已知其中一个对应角相等和一条对应边相等，则还需要的条件是相等角的另外一条临边相等，即，
故选：C．
4．
【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．由，要用“”直接证，则需要补充即可．
【详解】解：补充，
∵，，
∴，
故答案为：．
题型二、全等三角形的判定方法：SAS
5．D
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．依据全等三角形的判定定理进行判断，并结合线段与角的位置关系准确分析即可．
【详解】解：A、边边角不能证明两个三角形全等，故A错误，不符合题意；
B、边边角不能证明两个三角形全等，故B错误，不符合题意；
C、边边角不能证明两个三角形全等，故C错误，不符合题意；
D、，，，符合，故D正确，符合题意．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键，本题由图1可得已知两边及其的夹角，再利用逐一进行分析即可．
【详解】解：由图1可得已知两边及其的夹角，
图①与图1满足两边及其夹角分别对应相等，
∴两个三角形全等，
而图②，③，④都不满足条件，故不符合题意，
故选D
7．
【分析】本题考查三角形全等的判定，根据，和即可得证．解题的关键灵活选用全等三角形判定的方法解决问题．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴由所给条件判定和全等的依据可以简写为，
故答案为：．
8．证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在 ABC和 FDE中，
∴
题型三、用SAS证明三角形全等
9．证明：，
．
在和中，
．
10．解：∵，
∴，
∴，
在 ABC与中
∴．
题型四、SAS的有关应用
11．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解．
【详解】解：在 AOB和中，
∵，
∴，
∴判定 AOB和全等的方法是是，
故选：C．
12．（或边角边）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等．
【详解】由题意知，，
在和 ABC中，
，
．
故答案为：．
13．40
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
题型五、对SSA的认识
14．D
【分析】本题考查全等三角形的判定，由与 ABC不全等，可得有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
【详解】解：由题意知，与 ABC中有两边和其中一边的对角分别相等，
与 ABC不全等，
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
故选：D．
15．C
【分析】根据对顶角的性质，三角形三边的关系，全等三角形的判定方法，角平分线的性质，作出判断即可．
【详解】解：A．对顶角相等，正确，是真命题；
B．三角形任何两边的和大于第三边，正确，是真命题；
C．两边及两边的夹角对应相等的两个三角形全等，故不正确，是假命题；
D．角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题；
故选C．
题型六、用SAS和全等的性质求角的度数
16．
【分析】根据，，，得到即可得到，结合三角形内角和定理即可得到答案．
本题考查三角形全等的判定与性质，三角形内外角关系及三角形内角和定理，解题的关键是根据内外角关系得到全等的条件．
【详解】解：∵，
∴，，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不想邻的两个内角的和等知识，设交于点G，由得，证明，再利用外角的性质求解即可．
【详解】解：设交于点G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
18．
【分析】先由三角形的内角和定理得，又是的角平分线，则，从而证明，再由全等三角形的性质可得，然后通过三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
19．55
【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形外角的性质；用可判定，由三角形全等的性质得，由三角形外角的性质得，即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
在和中
，
，
，
；
故答案为：．
20．（1）解： ADE与全等，理由如下：
，
，
即，
在 ADE与中，
，
；
（2）由（1）可知，，
，
．
题型七、用SAS和全等的性质证明角相等
21．证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴．
22．证明：在和中，
,
∴,
∴．
题型八、用SAS和全等的性质求线段的长度
23．6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由得到，再由即可证明，继而．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：6．
24．解：，
，
在与中，
，，
∴，
．
25．（1）证明：∵，
∴，
即，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
题型九、用SAS和全等的性质证明线段相等
26．证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
27．（1）证明：在和 CBF中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
28．证明：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
题型十、用SAS和全等的性质证明线段的关系
29．解：，，理由为：
∵，
∴，，
∴，
在和 QCA中，
∴；
∴，
又，
∴，
则．
题型十一、全等三角形的动点问题
30． 8或
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、代数式和解一元一次方程的知识，掌握以上知识并会用分类讨论思想是解题的关键．根据题意得：厘米，证明，可得，再证明当P，Q，C三点共线时，，可得，然后分两种情况解答即可．
【详解】解：根据题意得：厘米，
在 ABC和中，
∵，
∴，
∴，
∵P，Q，C三点共线，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
当点P在运动时，厘米，此时，
∴，
解得：；
当点P在运动时，厘米，此时，
∴，
解得：；
综上所述，当P，Q，C三点共线时，t的值为8或．
故答案为：；8或
31．B
【分析】设运动时间为秒，点的运动速度为，则，，，根据三等分点求出，根据全等三角形的判定得出：当，时；当，时；能够使得与 CQP全等，分别列方程求解，即可求出点的运动速度．
【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度为，
则，，，
点是线段的三等分点（靠近处），
，
，
要使与 CQP全等，则必须满足，或，，
分两种情况：
当，时，
，，
解得：，，
即点的运动速度为；
当，时，
，，
解得：，，
即点的运动速度为；
综上所述，当点的运动速度为或时，能够使得与 CQP全等，
故选：．

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