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1.2《矩形的性质与判定》小节复习题
【题型1 矩形的判定定理理解】
1.满足下列条件的四边形是矩形的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形
2.下列说法中，不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形
C．有一组对角互补的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形
3.能够判定一个四边形是矩形的条件为（ ）
A．四条边都相等 B．对角线互相平分
C．四个角都相等 D．对角线互相垂直
4.有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②两组对边分别相等且有一个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【题型2 添一条件使四边形是矩形】
1.中，再添加一个条件 ，就可判定四边形为矩形．
2.已知平行四边形，请从①；②，③，④的四个条件中，任选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形，可以是
3.如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可）
4.四边形是平行四边形，加上条件 或 ，就可以使四边形是矩形；加上条件 或 ，就能使四边形是菱形．
【题型3 证明四边形是矩形】
1.如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，．求证：四边形是矩形．
2.如图，在中，，点D是延长线上一点，，过点A和点D分别作，和相交于点E，连结．求证：四边形是矩形．
3.如图，在 ABC中，，于点，点在上，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点在线段的垂直平分线上，且，求证：四边形是矩形．
4.如图，平行四边形，延长至，延长至，使，连接、．
(1)证明： ADE≌ CBF；
(2)若是中点，平分，则边与满足什么数量关系时，四边形是矩形？证明你的结论．
【题型4 根据矩形的性质与判定求角度、线段长、面积】
1.如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 ．
2.如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作，，垂足分别为D，E，连接．若，，则的最小值 ．
3.如图，等腰三角形，其中，，、分别在、上，四边形为菱形，若，，则长为 ．
4.如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于点E、F，连接．若，，则图中的面积为 ，阴影部分的面积为 ．
【题型5 根据矩形的性质与判定解决多结论问题】
1.如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到 ADE，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2.如图，在四边形中，，相交于点，且，动点从点开始，沿四边形的边运动至点停止，与相交于点，点是线段的中点．连接，下列结论中：
①四边形是矩形；
②当时，点是的中点；
③当，时，线段长度的最大值为2；
④当点在边上，且时，是等边三角形，其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图，矩形中，，相交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）

A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
4.如图，菱形的边长为6，对角线相交于O，垂直平分，垂足为E；另有一动点P在上运动，过点P作垂直交于点M，垂直交于点N，连接，．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）
①；
②菱形的面积为；
③；
④的最小值为．

【题型6 矩形的性质与判定的综合问题】
1.如图，菱形的对角线与相交于点，延长至点，使．分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，连接，求的长．
2.如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形的周长为18，，求平行线与间的距离．
3.如图，已知四边形是菱形，延长到点E使，延长到点F使，连接，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若平分，菱形的边长为4，求矩形的面积．
4.四边形中，，
(1)如图1，求证：四边形为矩形．
(2)如图1，为延长线上一点，连分别为的中点，，求．
(3)如图2，点为中点，将沿折叠到，点落点在，射线交边于，则___________．
【题型7 与矩形的性质与判定有关的作图】
1.菱形的对角线交于点O， E为边的中点．
(1)按要求画出图形，不写作法，保留作图痕迹． 连接并延长至点F，使得，连接；
(2)请判断四边形的形状，并说明理由．
2.如图，在平行四边形中，M为的中点，．
(1)按要求尺规作图：延长至点N，使得，并连接；
(2)判定四边形的形状，并说明理由．
3.如图，菱形的对角线，相交于点O．
(1)尺规作图：在边的左侧，作，使．
(2)在（1）的条件下，连接．求证：四边形为矩形．
4.如图，已知 ABC是等腰三角形，，是边上的中线．
(1)请按要求作出图形：在的右侧求作一点E，使得，，并连接（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)求证：四边形是矩形．
参考答案
【题型1 矩形的判定定理理解】
1.B
【知识点】矩形的判定定理理解
【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．利用矩形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项符合题意；
C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意；
D. 四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意；
故选：B．
2.A
【知识点】矩形的判定定理理解
【分析】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键；根据矩形的几种判定方法进行判定即可．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，符合题意；
B、由于平行四边形的邻角互补，当一组邻角相等时，这两个角为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论，原说法正确，不符合题意；
C、根据平行四边形的对角相等及互补，得对角相等且为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论，原说法正确，不符合题意；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；
故选：A．
3.C
【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定，根据以上判定定理逐项判断即可求解，掌握以上判定定理是解题的关键．
【详解】解：、四条边都相等的四边形是菱形，该选项不合题意；
、对角线互相平分的四边形是平行四边，该选项不合题意；
、四个角都相等的四边形是矩形，该选项符合题意；
、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，该选项不合题意；
故选：．
4.D
【知识点】矩形的判定定理理解
【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：四个角都相等的四边形是矩形，故①说法正确；
两组对边分别相等的四边形为平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故②说法正确；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形．故③说法正确；
故选D．
【题型2 添一条件使四边形是矩形】
1.（答案不唯一）
【知识点】添一条件使四边形是矩形
【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理即可解答，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：中，再添加，就可判定四边形为矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
2.②③
【知识点】添一个条件使四边形是菱形、添一条件使四边形是矩形
【分析】此题考查了矩形和菱形的判定，根据矩形和菱形的判定逐项进行判断，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
故①不满足题意；
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故②满足题意；
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故③满足题意；
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
故④不满足题意；
故答案为：②③
3.（答案不唯一）
【知识点】添一条件使四边形是矩形
【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质定理以及矩形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：，
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴．
即．
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
故答案为：（答案不唯一）．
4.
【知识点】添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形
【分析】本题主要考查了矩形和菱形的判定，有一个角是直角或对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等或对角线垂直的平行四边形是菱形，据此可得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，加上条件或就可以使四边形是矩形；加上条件或，就能使四边形是菱形．
故答案为：；；；．
【题型3 证明四边形是矩形】
1.证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴且，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；
2.解：，，
四边形是平行四边形．
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
是矩形．
3.（1）证明：，
．
，
．
，
．
．
四边形是平行四边形．
（2）点在线段的垂直平分线上，
．
，
．
是直角三角形，．
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
4.（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
．
（2）解：，理由如下，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
∵是中点，
，
设，，
，
，
，
平行四边形是矩形．
【题型4 根据矩形的性质与判定求角度、线段长、面积】
1.
【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求角度
【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
故答案为：．
2.
【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，连接，证明四边形是矩形，得出，再根据当时，最短，即可推出结果．
【详解】解：如图，连接，
∵、，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，，
由题意可知，当时，最短，，
即的最小值为，
故答案为：．
3.3
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键．
如图：过F作，连接交于O，先说明四边形是矩形可得；再根据等腰三角形的性质及勾股定理可得，进而得到，即即可解答．
【详解】解：如图：过F作，连接交于O，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
4. 21
【知识点】根据矩形的性质与判定求面积
【分析】本题考查矩形的判定和性质、三角形的面积.由矩形的判定和性质得到，，，，，即可得到，计算即可.
【详解】解：作于M，交于N，如图，

则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，
∴，，，，，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
故答案为：；21．
【题型5 根据矩形的性质与判定解决多结论问题】
1.A
【分析】连接，可证四边形是矩形，，即可判断①③；根据①③的结论可推出垂直平分，进而可得是等腰直角三角形，从而可判断②；证明，推出，设，推出，，判断④即可．
【详解】解：连接，如图所示：

∵，，
∴
由题意得：
∴
∴
∴
∵，
∴
∴四边形是矩形，
∴，，
∴
∵
∴ EDC≌ EFC
∴
∴
∴
∴
∴点是的中点
即：，故①正确；
∵，
∴
∵ EDC≌ EFC
∴
∴
同理可证
∴，故③正确；
∵ EDC≌ EFC
∴垂直平分
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则：，
∴，
∴，
∴；故④正确；
故选：A．
2.B
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的判定，平行线的性质等等，由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点E可以在上，也可以在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点E与点D重合时，的最大值为4，则长度的最大值为2，据此可判断③；不平行，则，据此可判断④．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴四边形是矩形，故①正确；
当点E在上时，
∵分别是的中点，
∴是中位线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
当点E在上时，同理可得，但此时点不是的中点，故②错误；
由②可知，，
∵点E沿四边形的边运动至点停止，且
∴的最大值为4，此时点E与点D重合，
∴的最大值为2，故③正确；
当点在边上，
∵不平行，
∴，
∴不可能是等边三角形，故④错误；
∴正确的有①③，共2个，
故选；B．
3.D
【分析】证，得出，，判断①；证，得出，，判断③；证四边形是平行四边形，得出，判断②；证四边形是平行四边形，证出，则，得出四边形是菱形；判断④；即可得出结论．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，故①正确；
在 ADE和 CBF中，
，
，
，，故③正确；
，即，
，
四边形是平行四边形，
，故②正确；
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；故④正确；
故选：D．
4.①②③④
【分析】先根据菱形，得，，，，，再根据垂直平妥线的性质可证得是等边三角形，得，从而可得出，查判定①正确；根据菱形的性质与勾股定理求得，则，根据菱形的面积公式可得，或判定②正确； 证明是的中位线，得，证明四边形是矩形，得 ，则，可判定③正确；根据动点P在上运动，所以当时，此时最小，利用面积法可求出最小值是，再根据矩形的性质知，所以当最小时，最小， 即可求得的最小值为，可判定④正确．
【详解】解：∵菱形，
∴，，，，，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵菱形的边长为6，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，故②正确；
∵垂直平分，
∴是的中位线，
∴，
∵垂直交于点M，垂直交于点N，
∴
∴四边形是矩形，
∴
∴，故③正确；
∵动点P在上运动，
∴当时，此时最小，
在中，
∴
∴
∵四边形是矩形，
∴
∴当最小时，最小，
∴的最小值为，故④正确．
综上，正确的有①②③④共4个，
故答案为①②③④．
【题型6 矩形的性质与判定的综合问题】
1.（1）证明：在菱形中，，
，，
∵BD是菱形的对角线，
．
由题知，，则，
结合作图可得：平分，
，
，则．
，
．
是菱形的对角线，
．
，则．
∴四边形是平行四边形．
菱形的对角线与相交于点，
，
四边形是矩形．
（2）解：由（1）知，，．
在菱形中，，
，则．
在Rt中，，
．
四边形是矩形，
．
在Rt中，．
2.（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：矩形的周长为18，
．
四边形是菱形，
，，，
，根据勾股定理得，
，
．
设平行线与间的距离为h，
，
．
3.（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的边长为4 ，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
4.（1）解：∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴．
（2）解：如图：延长至E，使得，连接，则，
∵
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴，即，
∵P为的中点，
∴是的中位线，
∴．
（3）解：如图：连接，
∵四边形为矩形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵将沿折叠到，点落点在，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设，则，
在中，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，解得：．
∴．
【题型7 与矩形的性质与判定有关的作图】
1.（1）解：如右图所示：
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵E为边的中点，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∵菱形的对角线交于点O，
∴，
∴平行四边形是矩形．
2.（1）解：所作图形如图，
；
（2）解：四边形是矩形，理由如下，
∵M为的中点，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
3.（1）如图，即为所求．
（2）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形．
4.（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵ ABC是等腰三角形，，是边上的中线，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．

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