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1.3《正方形的性质与判定》小节复习题
【题型1 正方形的判定定理理解】
1.在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
2.下列正确命题的个数是（ ）
①有一组邻边相等的四边形是菱形；②四条边相等的四边形是正方形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④对角线相等的平行四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
4.下列命题中是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一组邻边相等的四边形是菱形
【题型2 添一个条件使四边形是正方形】
1.如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形．
2.在矩形中，对角线交于点O，要使矩形成为正方形，需添加的条件是 （写出一个符合要求的条件）．
3.如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可
4.如图，在 ABC中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有 ．（只填序号）
【题型3 证明四边形是正方形】
1.如图，在 ABC中， ，，D、E、F分别是边的中点．

(1)求的长．
(2)求证：四边形是正方形．
2.如图，在矩形中，是边上一点，过点作对角线的平行线，交于点，交和的延长线于点，．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是正方形．
3.如图，在 ABC中， 平分平分 的外角 ，过点A作 垂足为M， 垂足为N，连接交于点O．
(1)求证：；
(2)当线段和满足什么条件时，四边形为正方形．
4.如图，在 ABC中，是的中点，是的中点，过点作与的延长线相交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)填空：①当 ABC满足条件时，四边形是 形；
②当 ABC满足条件 时，四边形是正方形．
【题型4 根据正方形的性质与判定求解】
1.如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是 ．
2.如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若点是的三等分点，，则的长为 ．
3.如图，在四边形中，，平分，若，则的长为 ．
4.在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积 ．
【题型5 正方形的性质与判定的综合问题】
1.如图，在矩形中，的平分线交于点，过点作于点，连接．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的度数．
2.如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)求的长．
3.如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)连接，若，，求的长．
4.如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，已知，求的长．
【题型6 与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）】
1.如图，在 ABC中，，是边上的中线．
(1)尺规作图：在直线右侧作射线，在射线上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)当 ABC满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由．
2.如图，已知矩形，
(1)尺规作图：①作的平分线，交边于点E．
②过E做，垂足为F
（两个画图都保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：四边形是正方形
3.如图，矩形的对角线相交于点．
(1)尺规作图：请在右侧作出点，使四边形是菱形（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，请解决以下问题：
①当时，求菱形的周长；
②当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
4.已知是菱形的对角线．
(1)如图1，以为圆心，适当长度为半径作弧，交于点，连接．求证：四边形是菱形．
(2)尺规作图：在图2中作正方形，其中在上（保留作图痕迹，不写作法）．
参考答案
【题型1 正方形的判定定理理解】
1.C
【知识点】正方形的判定定理理解、证明四边形是正方形
【分析】本题考查的是正方形的判定，据选项依次进行判断即可．
【详解】选项A条件：
（邻边相等）且（对角线垂直）．
结论：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直也是菱形，因此无法确定为正方形。
选项B条件：
（邻边垂直）且（对角线相等）．
结论：邻边垂直的平行四边形是矩形，对角线相等也是矩形，因此无法确定为正方形．
选项C条件：
（对角线相等，即）且（邻边相等）．
结论：，平行四边形对角线互相平分，说明是矩形．
，邻边相等，说明是菱形．
既是菱形又是矩形，因此能推出正方形．
选项D条件：
（对角线相等）且（重复对角线相等）．
结论：仅说明是矩形，无法确定邻边是否相等，因此不能推出正方形．
故选：C．
2.C
【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解
【分析】本题考查了特殊的四边形的判定，解题关键是牢记几种特殊四边形的概念与判定方法，本题依次判断即可．
【详解】解：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故命题①错误；
②四条边相等的四边形是菱形，故命题②错误；
③有一个角是直角的平行四边形是矩形；故命题③正确；
④对角线相等的平行四边形是矩形，故命题④正确；
⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故命题⑤正确；
综上所述：命题正确的有3个，
故选：C．
3.C
【知识点】矩形的判定定理理解、添一个条件使四边形是菱形、正方形的判定定理理解
【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法，是解题的关键．根据矩形、菱形、正方形的判定方法，进行解答即可．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，（1）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，（2）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
C、对边相等是平行四边形的性质，不能判定此时平行四边形是菱形，故该选项符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，（4）处可填，故该选项不符合题意．
故选：C．
4.C
【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解、判断命题真假
【分析】本题考查了命题与定理．根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断；根据矩形的判定方法对D进行判断．
【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，所以本选项错误，不是真命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以本选项错误，不是真命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以本选项正确，是真命题，符合题意；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以本选项错误，不是真命题，不符合题意；
故选：C．
【题型2 添一个条件使四边形是正方形】
1.（答案不唯一）
【知识点】添一个条件使四边形是正方形
【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．
根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴四边形是正方形，
故答案为：（答案不唯一）．
2.（答案不唯一）
【知识点】添一个条件使四边形是正方形
【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，
【详解】解：添加的条件可以是．理由如下：
∵四边形是矩形，，
∴四边形是正方形．
故答案为：（答案不唯一）．
3.（答案不唯一）
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、添一个条件使四边形是正方形
【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形是矩形是解题的关键．由中位线定理得到，，，结合得四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此可添加条件．
【详解】解：点D，E，F分别是边的中点，
，且，，且，
∵DE∥AF,DF∥AE，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
当时，四边形是正方形，
添加的条件可以是，
故答案为：．（答案不唯一）
4.①②③
【知识点】证明四边形是平行四边形、添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形、添一个条件使四边形是正方形
【分析】根据平行四边形平行四边形、菱形、矩形的判定，即可求解，
本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：①∵，
∴四边形是平行四边形，故①正确；
②若，
∴平行四边形是矩形；故②正确；
③若平分，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴；
∴平行四边形是菱形；故③正确；
④若；
∴平分；
∴结合③可得平行四边形是菱形；故④错误；
所以正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
【题型3 证明四边形是正方形】
1.（1）解：∵ ，E是中点，
∴，
又∵
∴
∴；
（2）证明：∵D、E、F分别是边的中点．
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∵，
∴菱形为正方形．
2.（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
3.（1）∵ 平分平分 的外角 ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
（2）当时，四边形为正方形，理由；
∵四边形是矩形，，
∴四边形为正方形．
4.（1）证明：∵是的中点，是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：①当 ABC满足条件时，四边形是菱形，
理由如下：
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
∵是的中点，
∴
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形；
故答案为：菱；
②当 ABC满足条件时，四边形是正方形，
理由如下：
由①知当 ABC满足条件时，四边形是菱形，
∵，为中点，
∴为边上的中线，
∴，即，
∵四边形是菱形，，
∴四边形为正方形．
故答案为：．
【题型4 根据正方形的性质与判定求解】
1.
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，再证明和全等得，，则矩形是正方形，，熟练掌握全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图所示：
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴矩形是正方形，
∴，
故答案为：．
2.
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分两种情况：当点E在靠近点A的三等分点时和当点E在靠近点D的三等分点时，过点作于，则，由正方形的性质可得，，进而可得四边形是正方形，即得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：当点E在靠近点A的三等分点时，
过点作于，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点E在靠近点D的三等分点时，
同理可得出：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
3.
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】过点作，由勾股定理求出．再证明四边形是正方形，可得，再证明，可得，再求解即可．
【详解】解：如图，过点作，
，，
，
，，
四边形是矩形，
平分，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
4.6
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、根据正方形的性质与判定求面积
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质，正方形的判定和性质，利用角平分线的性质和证明三角形全等是解题的关键．
过D作,交于M，，交延长线于N，证明，可得，再证明四边形是正方形，根据正方形的性质和三角形的面积公式求解．
【详解】如图，过D作,交于M，，交延长线于N，
，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【题型5 正方形的性质与判定的综合问题】
1.（1）证明：四边形是矩形，
．
，
四边形是矩形．
平分，
，
四边形的正方形．
（2）解：∵四边形的正方形．
∴，，
又∵
．
∵，
∴
∴，
∵在矩形中，，
．
2.（1）证明：∵的垂直平分线交于E，交于F，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴∠b=90°，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵正方形中，，
∴，
∴．
3.（1）证明：如图：过点E作于点Q，作于点P，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴ CEQ为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为菱形，
∵，
∴四边形为正方形．
（2）解：如图：连接，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴，
∴．
4.（1）证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵平分，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可知四边形是正方形，
∴，，
∴，
由（2）可知，
∴，
∴，
∵，
∴∠GOE=∠OEG=45°，
∴．
【题型6 与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）】
1.（1）解：如图，在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，
则射线、线段即为所求．
（2）解：当 ABC是等腰直角三角形时，四边形为正方形．
理由：，，
四边形为平行四边形．
，是边上的中线，
，
四边形为菱形．
ABC是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形为正方形．
2.（1）解：如图，即为所作：
（2）证明：∵平分，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
3.（1）解：如图所示，四边形即为所求作的菱形．
（2）①∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵菱形，
∴周长为：；
②∵，
∴，
∵菱形，
∴，
∴四边形为正方形．
4.（1）证明：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
根据作图可知：，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（2）解：连接，交于点O，以点O为圆心，为半径画弧，交于点M、N，连接、、、，则四边形即为所求作的正方形．
∵四边形为菱形，
∴，，
根据作图可知：，
∴，
∴、互相垂直平分，且相等，
∴四边形为正方形．

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