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广东省佛山市禅城区2025届高三统一调研测试（一） 数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高三上·禅城模拟）（　　）
A． B． C．2 D．5
2．（2024高三上·禅城模拟）已知，且（　　）
A．B B． C． D．
3．（2024高三上·禅城模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·禅城模拟）抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·禅城模拟）已知是奇函数，则（　　）
A． B．0 C． D．4
6．（2024高三上·禅城模拟）记为等差数列的前项和，已知，则（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024高三上·禅城模拟）已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·禅城模拟）设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高三上·禅城模拟）已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（　　）
A．， B．，
C．，， D．，，
10．（2024高三上·禅城模拟）已知，，且，则（　　）
A．的最小值为18 B．的最小值为36
C．的最小值为 D．的最小值为
11．（2024高三上·禅城模拟）已知函数，则下列命题中正确的是（　　）
A．1是的极大值
B．当时，
C．当时，有且仅有一个零点，且
D．若存在极小值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高三上·禅城模拟）已知的三个顶点分别为，，，且，则　 　．
13．（2024高三上·禅城模拟）若直线与曲线相切，则　 　．
14．（2024高三上·禅城模拟）已知函数在上单调，且，则的最大值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高三上·禅城模拟）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长．
16．（2024高三上·禅城模拟）某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占．
（1）请根据以上数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否上班存在关联？
　 满意 不满意 合计
上班族 　 　 　
非上班族 　 　 　
合计 　 　 　
（2）该机构欲再从全市随机选取市民，进一步征求改善交通现状的建议．规定：抽样的次数不超过6次，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到6次时，抽样结束．以调查数据中的满意度估计全市市民的满意度，求抽样次数的分布列和数学期望．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中．
17．（2024高三上·禅城模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，点是线段上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
18．（2024高三上·禅城模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若存、在，满足，证明：；
（3）对任意的，恒成立，其中是函数的导数，求的取值范围．
19．（2024高三上·禅城模拟）欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以写成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，这个乘积形式是唯一的．对于任意正整数，记为的所有正因数的个数，为的所有正因数的和．
（1）若数列，，，
①写出，；
②求数列的前项和；
（2）对于互不相等的素数、、，证明：，，并求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：B.
【分析】利用复数的运算得，再利用复数模性质求解即可.
2．【答案】D
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：，图如下：
由图可知：.
故答案为：D.
【分析】利用图确定即可.
3．【答案】B
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：若 ，可得，，
则.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数基本关系求得，再利用诱导公式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：掷出的两枚骰子的点数之和为6点包含，共5种情况，其中点数均为奇数的有，共3种情况，
则点数均为奇数的概率.
故答案为：A.
【分析】利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可.
5．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：当时，，，
因为函数为奇函数，所以，
则，即，解得，
则.
故答案为：A.
【分析】利用奇函数的定义计算出函数在时的解析式，可得出、的值，再计算的值即可.
6．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，可得，解得，
则，.
故答案为：A.
【分析】设等差数列的公差为，由题意列式求得，再利用等差数列通项公式和前n项和公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设上底面的半径为，下底面的半径为，外接球的半径为，圆台与外接球的轴截面，如图所示：
因为圆台的下底面的面积为，所以，
圆台的体积，
即，解得，
设，
在中，①，
在中，②，
联立①②：解得，，则圆台外接球的表面积为.
故答案为：C.
【分析】设上底面的半径为，下底面的半径为，外接球的半径为，画出组合体的截面图，再利用几何关系，列方程组求解，再求球的表面积即可.
8．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数定义域为，，
因为当时，，所以，
即函数在上单调递增，且，
又因为，所以，
所以，所以，
则关于直线对称，函数在上单调递减，且，
当时，，则；
当时，，则；
故使得成立的的取值范围是.
故答案为：C．
【分析】构造函数，求导，利用导数判断函数在上单调递增，且，由得到，得到的对称性，故在上单调递减，且，得到当时，，则，当时，，则，求出成立的的取值范围即可.
9．【答案】B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，，则或，平行，故A错误；
B、若，，则，故B正确；
C、若，，，由线面垂直的判定定理可知不一定垂直于，
则也不一定垂直，故C错误；
D、若，，则，再由，可得，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、因为，，且，
所以，则，
解得，即，当且仅当时等号成立，
则的最小值为18，故A正确；
B、，当且仅当且时等号成立，显然不能同时成立，取不到等号，故B错误；
C、，则，
当且仅当时等号成立，则的最小值为，故C正确；
D、因为，，所以，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
则的最小值为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】由，直接利用基本不等式求解即可判断A；根据基本不等式可得，验证取等条件即可判断B；由题意可得，结合求解即可判断C；结合题意可得，，得到，再根据基本不等式求解即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，令，解得或，
A、当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，极大值为；
当时，函数在和上单调递减，在上单调递增，则在处取得极大值，极大值为；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，极大值为，则1是的极大值，故A正确；
B、当时，函数在上单调递增，
因为，所以，所以，故B正确；
C、当时，在上单调递增，由于，函数在上存在唯一的零点且小于0；
若，则的极小值，即在上没有零点，所以有且仅有一个零点且小于0，故C错误；
D、若存在极小值点，则，即，
因为，所以，
所以，，即，
又因为，所以，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】求函数的定义域，再求导，对参数进行分类讨论利用导数判断函数单调性，即可判断在处取得极大值即可判断A；根据的范围得出单调性即可判断B；时，的极小值在上没有零点即可判断C；根据的极小值点之间的关系，得出即可判断D.
12．【答案】5
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由点，，，可得，，
因为，所以，则，
即，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量的坐标运算，结合，得，再根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：设切点，
定义域为，，
切线斜率，
因为切线过原点，所以，
化简可得，
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
则在处取得极小值，也是最小值，，即，
可得，即.
故答案为：.
【分析】设切点坐标，求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义结合两点间的斜率公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为函数在上单调，
则，可得，
又因为，且，则为的对称中心，
不妨设，如图所示：
依次讨论对应为点，，，种情况，且，
若对应为点（或点之后），则，即，不合题意；
若求的最大值，即的最小值，即与之间包含的周期最多，
若对应为点，则为的对称轴，
且，则，，满足，
且此时为最小值，所以取值的最大值为．
故答案为：.
【分析】根据函数在的单调性分析可得，再根据题意可得为的对称中心，若求的最大值，即的最小值，最后根据图像结合三角函数性质分析求解即可.
15．【答案】（1）解：的面积为， 则，即，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以；
（2）解： 若， 由正弦定理可得：，
由（1）知：，则，
由余弦定理，可得，
解得，
则的周长为．
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）表示的面积，结合求得，，再利用两角和的余弦公式以及诱导公式求解即可；
（2）由正弦定理，以及（1）的结果，求得，再由余弦定理求解即可.
（1）由题意知：，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以；
（2）由正弦定理得：，
由（1）知：，所以，
由余弦定理得：
即，所以，
所以的周长为．
16．【答案】（1）解：由题意可知，列联表：
满意 不满意 合计
上班族 15 40 55
非上班族 35 10 45
合计 50 50 100
零假设：市民对交通的满意度与是否上班无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001；
（2）解：由题意可得：随机变量的可能取值为1，2，3，4，5，6，
由（1）可知市民的满意度和不满意度均为，
则，，，
，，
的分布列为：
1 2 3 4 5 6
．
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意完成列联表，再计算，与临界值比较判断即可；
（2）由题意可知，随机变量，根据随机变量的意义，写出概率，并列出分布列，求数学期望即可.
（1）由题意可知，
　 满意 不满意 合计
上班族 15 40 55
非上班族 35 10 45
合计 50 50 100
假设：市民对交通的满意度与是否上班独立，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）的可能取值为1，2，3，4，5，6．
由（1）可知市民的满意度和不满意度均为，所以，，，
，，
所以的分布列为：
1 2 3 4 5 6
所以．
17．【答案】（1）证明： 在四棱锥中， 因为，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：取中点，连接，，
因为，且，所以四边形为矩形，所以平面，
又因为在中，，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
设，则，，，
设平面的法向量，则，
令，可得，即，
因为平面，所以平面的法向量，
则，化简得，
解得，即．
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，利用面面垂直性质定理以及线面垂直判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设并利用空间向量求出二面角的余弦值的表达式，解方程可求得，即可求解.
（1）在底面中，因为，，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
又因为，，，平面，
所以平面
又因为平面，所以平面平面
（2）取中点，连接，．
因为，且，所以四边形为矩形．
即平面，
又因为在中，，所以，，两两垂直．
以，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
设，则，，．
设平面的法向量
则，
令，可得，即，
因为平面，所以平面的法向量，
所以．
化简得即，
解得或（舍），即．
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：当时，函数，
由，可得，即，
由于，
令定义域为，，
当时，；当时，，且，
则，即，
则，
当且仅当时等号成立，故，得证；
（3）解：函数定义域为，，
由，可得，即，
对任意的，恒成立，等价于，
由于，令，，
时，；时，，且，
则，即，
则，
当且仅当时等号成立，
即，所以，
故的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导得，分，讨论求解即可；
（2）由，得到，再根据，由证明；
（3）将问题转化为，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可得的取值范围.
（1）解：的定义域为，．
当时，，在上单调递增；
当时，令，得或（舍去），
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）方法一：当时，，由，
得，即
由于，事实上，令，，
时，；时，；所以，
所以，即．
所以，
当且仅当时，等号成立，所以，得证．
方法二：当时，，，
由（1）知时，在上单调递增，
当时，可证．
不妨设，要证，即证，即证，
因为，所以即证．
令，其中，
因为，所以，所以在上单调递增，
所以，所以，所以．
当时，因为，所以，
所以，所以．
综上，．
（3）方法一：，由，
得，即，
所以对任意的，恒成立，
等价于，
由于，事实上，令，，
时，；时，；所以，
所以，即．
所以，
当且仅当时，等号成立（方程显然有解），
即，所以．
所以的取值范围是．
方法二：，由，得，
即，所以对任意的，恒成立，
等价于
令，
则，
令，则，所以在上单调递增，
又，，所以，
所以存在，使得，
所以，即，所以，
所以，
令，，所以在上单调递增，
因为，所以
又时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以的取值范围是．
19．【答案】（1）解：①、的正因数有1，3，9，
则，；
②、由题意可知：的正因数有，
则，，
可得，
则；
（2）解：为互不相等素数，
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，
则，
，
即，，
因为，所以，，，
由（2）知，，
则，，，
故．
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）①、由的正因数有1，3，9，即可得，；
②、的正因数有，由等比数列求和公式得到，则，利用裂项相消法求和即可；
（2）分别计算出，，，，，，得到，；因为，故，，，结合，得到，，，所以．
（1）①因为的正因数有1，3，9，
所以，；
②由题意可知：的正因数有，
则，，
可得，
所以．
（2）为素数，
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，
则，
，
所以，．
因为，所以，，，
由（2）知，，
则，，，
所以．
1 / 1广东省佛山市禅城区2025届高三统一调研测试（一） 数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高三上·禅城模拟）（　　）
A． B． C．2 D．5
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：B.
【分析】利用复数的运算得，再利用复数模性质求解即可.
2．（2024高三上·禅城模拟）已知，且（　　）
A．B B． C． D．
【答案】D
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：，图如下：
由图可知：.
故答案为：D.
【分析】利用图确定即可.
3．（2024高三上·禅城模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：若 ，可得，，
则.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数基本关系求得，再利用诱导公式求解即可.
4．（2024高三上·禅城模拟）抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：掷出的两枚骰子的点数之和为6点包含，共5种情况，其中点数均为奇数的有，共3种情况，
则点数均为奇数的概率.
故答案为：A.
【分析】利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可.
5．（2024高三上·禅城模拟）已知是奇函数，则（　　）
A． B．0 C． D．4
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：当时，，，
因为函数为奇函数，所以，
则，即，解得，
则.
故答案为：A.
【分析】利用奇函数的定义计算出函数在时的解析式，可得出、的值，再计算的值即可.
6．（2024高三上·禅城模拟）记为等差数列的前项和，已知，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，可得，解得，
则，.
故答案为：A.
【分析】设等差数列的公差为，由题意列式求得，再利用等差数列通项公式和前n项和公式求解即可.
7．（2024高三上·禅城模拟）已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设上底面的半径为，下底面的半径为，外接球的半径为，圆台与外接球的轴截面，如图所示：
因为圆台的下底面的面积为，所以，
圆台的体积，
即，解得，
设，
在中，①，
在中，②，
联立①②：解得，，则圆台外接球的表面积为.
故答案为：C.
【分析】设上底面的半径为，下底面的半径为，外接球的半径为，画出组合体的截面图，再利用几何关系，列方程组求解，再求球的表面积即可.
8．（2024高三上·禅城模拟）设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数定义域为，，
因为当时，，所以，
即函数在上单调递增，且，
又因为，所以，
所以，所以，
则关于直线对称，函数在上单调递减，且，
当时，，则；
当时，，则；
故使得成立的的取值范围是.
故答案为：C．
【分析】构造函数，求导，利用导数判断函数在上单调递增，且，由得到，得到的对称性，故在上单调递减，且，得到当时，，则，当时，，则，求出成立的的取值范围即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高三上·禅城模拟）已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（　　）
A．， B．，
C．，， D．，，
【答案】B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，，则或，平行，故A错误；
B、若，，则，故B正确；
C、若，，，由线面垂直的判定定理可知不一定垂直于，
则也不一定垂直，故C错误；
D、若，，则，再由，可得，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可.
10．（2024高三上·禅城模拟）已知，，且，则（　　）
A．的最小值为18 B．的最小值为36
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、因为，，且，
所以，则，
解得，即，当且仅当时等号成立，
则的最小值为18，故A正确；
B、，当且仅当且时等号成立，显然不能同时成立，取不到等号，故B错误；
C、，则，
当且仅当时等号成立，则的最小值为，故C正确；
D、因为，，所以，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
则的最小值为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】由，直接利用基本不等式求解即可判断A；根据基本不等式可得，验证取等条件即可判断B；由题意可得，结合求解即可判断C；结合题意可得，，得到，再根据基本不等式求解即可判断D.
11．（2024高三上·禅城模拟）已知函数，则下列命题中正确的是（　　）
A．1是的极大值
B．当时，
C．当时，有且仅有一个零点，且
D．若存在极小值点，且，其中，则
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，令，解得或，
A、当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，极大值为；
当时，函数在和上单调递减，在上单调递增，则在处取得极大值，极大值为；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，极大值为，则1是的极大值，故A正确；
B、当时，函数在上单调递增，
因为，所以，所以，故B正确；
C、当时，在上单调递增，由于，函数在上存在唯一的零点且小于0；
若，则的极小值，即在上没有零点，所以有且仅有一个零点且小于0，故C错误；
D、若存在极小值点，则，即，
因为，所以，
所以，，即，
又因为，所以，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】求函数的定义域，再求导，对参数进行分类讨论利用导数判断函数单调性，即可判断在处取得极大值即可判断A；根据的范围得出单调性即可判断B；时，的极小值在上没有零点即可判断C；根据的极小值点之间的关系，得出即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高三上·禅城模拟）已知的三个顶点分别为，，，且，则　 　．
【答案】5
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由点，，，可得，，
因为，所以，则，
即，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量的坐标运算，结合，得，再根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
13．（2024高三上·禅城模拟）若直线与曲线相切，则　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：设切点，
定义域为，，
切线斜率，
因为切线过原点，所以，
化简可得，
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
则在处取得极小值，也是最小值，，即，
可得，即.
故答案为：.
【分析】设切点坐标，求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义结合两点间的斜率公式计算即可.
14．（2024高三上·禅城模拟）已知函数在上单调，且，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为函数在上单调，
则，可得，
又因为，且，则为的对称中心，
不妨设，如图所示：
依次讨论对应为点，，，种情况，且，
若对应为点（或点之后），则，即，不合题意；
若求的最大值，即的最小值，即与之间包含的周期最多，
若对应为点，则为的对称轴，
且，则，，满足，
且此时为最小值，所以取值的最大值为．
故答案为：.
【分析】根据函数在的单调性分析可得，再根据题意可得为的对称中心，若求的最大值，即的最小值，最后根据图像结合三角函数性质分析求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高三上·禅城模拟）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）解：的面积为， 则，即，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以；
（2）解： 若， 由正弦定理可得：，
由（1）知：，则，
由余弦定理，可得，
解得，
则的周长为．
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）表示的面积，结合求得，，再利用两角和的余弦公式以及诱导公式求解即可；
（2）由正弦定理，以及（1）的结果，求得，再由余弦定理求解即可.
（1）由题意知：，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以；
（2）由正弦定理得：，
由（1）知：，所以，
由余弦定理得：
即，所以，
所以的周长为．
16．（2024高三上·禅城模拟）某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占．
（1）请根据以上数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否上班存在关联？
　 满意 不满意 合计
上班族 　 　 　
非上班族 　 　 　
合计 　 　 　
（2）该机构欲再从全市随机选取市民，进一步征求改善交通现状的建议．规定：抽样的次数不超过6次，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到6次时，抽样结束．以调查数据中的满意度估计全市市民的满意度，求抽样次数的分布列和数学期望．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中．
【答案】（1）解：由题意可知，列联表：
满意 不满意 合计
上班族 15 40 55
非上班族 35 10 45
合计 50 50 100
零假设：市民对交通的满意度与是否上班无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001；
（2）解：由题意可得：随机变量的可能取值为1，2，3，4，5，6，
由（1）可知市民的满意度和不满意度均为，
则，，，
，，
的分布列为：
1 2 3 4 5 6
．
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意完成列联表，再计算，与临界值比较判断即可；
（2）由题意可知，随机变量，根据随机变量的意义，写出概率，并列出分布列，求数学期望即可.
（1）由题意可知，
　 满意 不满意 合计
上班族 15 40 55
非上班族 35 10 45
合计 50 50 100
假设：市民对交通的满意度与是否上班独立，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）的可能取值为1，2，3，4，5，6．
由（1）可知市民的满意度和不满意度均为，所以，，，
，，
所以的分布列为：
1 2 3 4 5 6
所以．
17．（2024高三上·禅城模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，点是线段上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明： 在四棱锥中， 因为，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：取中点，连接，，
因为，且，所以四边形为矩形，所以平面，
又因为在中，，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
设，则，，，
设平面的法向量，则，
令，可得，即，
因为平面，所以平面的法向量，
则，化简得，
解得，即．
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，利用面面垂直性质定理以及线面垂直判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设并利用空间向量求出二面角的余弦值的表达式，解方程可求得，即可求解.
（1）在底面中，因为，，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
又因为，，，平面，
所以平面
又因为平面，所以平面平面
（2）取中点，连接，．
因为，且，所以四边形为矩形．
即平面，
又因为在中，，所以，，两两垂直．
以，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
设，则，，．
设平面的法向量
则，
令，可得，即，
因为平面，所以平面的法向量，
所以．
化简得即，
解得或（舍），即．
18．（2024高三上·禅城模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若存、在，满足，证明：；
（3）对任意的，恒成立，其中是函数的导数，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：当时，函数，
由，可得，即，
由于，
令定义域为，，
当时，；当时，，且，
则，即，
则，
当且仅当时等号成立，故，得证；
（3）解：函数定义域为，，
由，可得，即，
对任意的，恒成立，等价于，
由于，令，，
时，；时，，且，
则，即，
则，
当且仅当时等号成立，
即，所以，
故的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导得，分，讨论求解即可；
（2）由，得到，再根据，由证明；
（3）将问题转化为，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可得的取值范围.
（1）解：的定义域为，．
当时，，在上单调递增；
当时，令，得或（舍去），
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）方法一：当时，，由，
得，即
由于，事实上，令，，
时，；时，；所以，
所以，即．
所以，
当且仅当时，等号成立，所以，得证．
方法二：当时，，，
由（1）知时，在上单调递增，
当时，可证．
不妨设，要证，即证，即证，
因为，所以即证．
令，其中，
因为，所以，所以在上单调递增，
所以，所以，所以．
当时，因为，所以，
所以，所以．
综上，．
（3）方法一：，由，
得，即，
所以对任意的，恒成立，
等价于，
由于，事实上，令，，
时，；时，；所以，
所以，即．
所以，
当且仅当时，等号成立（方程显然有解），
即，所以．
所以的取值范围是．
方法二：，由，得，
即，所以对任意的，恒成立，
等价于
令，
则，
令，则，所以在上单调递增，
又，，所以，
所以存在，使得，
所以，即，所以，
所以，
令，，所以在上单调递增，
因为，所以
又时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以的取值范围是．
19．（2024高三上·禅城模拟）欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以写成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，这个乘积形式是唯一的．对于任意正整数，记为的所有正因数的个数，为的所有正因数的和．
（1）若数列，，，
①写出，；
②求数列的前项和；
（2）对于互不相等的素数、、，证明：，，并求的值．
【答案】（1）解：①、的正因数有1，3，9，
则，；
②、由题意可知：的正因数有，
则，，
可得，
则；
（2）解：为互不相等素数，
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，
则，
，
即，，
因为，所以，，，
由（2）知，，
则，，，
故．
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）①、由的正因数有1，3，9，即可得，；
②、的正因数有，由等比数列求和公式得到，则，利用裂项相消法求和即可；
（2）分别计算出，，，，，，得到，；因为，故，，，结合，得到，，，所以．
（1）①因为的正因数有1，3，9，
所以，；
②由题意可知：的正因数有，
则，，
可得，
所以．
（2）为素数，
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，
则，
，
所以，．
因为，所以，，，
由（2）知，，
则，，，
所以．
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