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广东省深圳市龙华区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2025八下·龙华期末）对称性不仅是数学的美学体现，更是生物适应环境的“最优解”。下列生物的外轮廓同时
具备轴对称性和中心对称性的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·龙华期末）下列x的值是不等式x-1>0的解的是（　　）
A．x=2 B．x=1 C．x=0 D．x=-1
3．（2025八下·龙华期末） 分式的值为0的条件是（　　）
A．x=-2 B．x=-1 C．x=1 D．x=2
4．（2025八下·龙华期末）将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（　　）
A．x2-y2=(x+y)(x-y) B．x2+y2=(x+y) (x-y)
C．(x+y) (х-y)=x2-y2 D．(x+y)(x-y)=x2+y2
5．（2025八下·龙华期末）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（AB，AC，BC) 的距离都相等，则油库的位置可以设计在（　　）
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条边的垂直平分线的交点
6．（2025八下·龙华期末）藻井作为中国传统建筑中独特的穹顶装饰构件，其造型融合宇宙观，仅用于最高等级建筑，并巧妙结合五行思想。如图是外轮廓为正八边形的“蟠龙藻井”图案，这个正八边形的每个内角的度数为（　　）
A．45° B．120° C．130° D．135°
7．（2025八下·龙华期末）今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文。只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈=10尺），它们各自的价值都是896文钱。已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱？设绫布有x尺，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·龙华期末）如图，在平面内将一块含45°的三角板ABC向右平移得到ADEF，若∠BAD=30°，则边BC扫过的面积与边AB扫过的面积之比为（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分。）
9．（2025八下·龙华期末）因式分解： =　 　．
10．（2025八下·龙华期末） A、B两地相距10千米，甲从A地到B地步行需要t小时，乙骑自行车行同样的路程比甲少用1小时，则乙的速度可表示为　 　千米/时。
11．（2025八下·龙华期末） 关于 x 的不等式组 的解集为 ，请写出一个符合条件的 a 的值：　 　。
12．（2025八下·龙华期末） 如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，。若，则CE的长度为　 　。
13．（2025八下·龙华期末）如图，D是等边△ABC内一点，∠ADC=120°，CD=6，则△BDC的面积为　 　.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025八下·龙华期末）
（1）解不等式组
（2）先化简，再求值：，其中。
15．（2025八下·龙华期末）如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为1个单位长度，线段AB的两个端点都在小方格的格点上，根据下列要求用无刻度直尺作图：
（1）将线段AB绕点B逆时针旋转90得到线段BD；
（2）平移线段AB至线段DC，使得点A与点D重合，连接AD，BC；
（3）直线BD将四边形ABCD分成了全等的两个部分，这样的直线还有很多，请再画出
两条符合条件的直线。
16．（2025八下·龙华期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，且AD=AE。请判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由。
17．（2025八下·龙华期末）小亮计划去书店为全班50名同学各买一本课外书，从书店店员处了解到，科普书的单价是文学书的单价的1.5倍，若用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本。
（1）科普书和文学书的单价各是多少元？
（2）若小亮可以使用的经费不超过700元，则至多购买多少本科普书？
18．（2025八下·龙华期末）如图，在□ABCD中，AP⊥BD于点P。请用尺规作图在BD上求作一点Q，连接AQ，CQ，PC，使得四边形APCQ是平行四边形。
（1）某数学小组经过讨论，得到如下两种作法，请选择其中一种作法说明其正确性。
　 思路一 思路二
作图步骤 在 BD上作 DQ=BP。点Q即为所求。 过点C作CQ⊥BD于点Q。点Q即为所求。
作图痕迹
我选择思路 ▲ ，理由如下：
（2）请你用不同于（1）中的尺规作图方法求作出点Q（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性。
19．（2025八下·龙华期末）数学学习小组在学习《不等关系》后，深入研究了两个正数a，b的和与积之间的大小关系。
【发现问题】当a=b=2时，a+b=ab。
【提出问题】当a>2，b>2时，a+b与ab存在怎样的大小关系？
（1）【特例分析】给a，b分别赋予不同的数值，通过计算，判断a+b与ab的大小关系。
请完成下面的表格：
a … 3 4 5 …
b … 3 5 6 …
a+b　 　ab （填“>”，“＜”、"=”） … ＜ 　 　 ＜ …
（2）【得出猜想】根据特例分析，猜想：当a>2，b>2时，a+b　 　ab。
（3）【验证猜想】
①小明认为可以设a=2+x，b=2+y，其中x>0，y>0，再通过计算完成验证。
请补充验证过程：
②小红发现可以用图形的面积关系来直观验证。
如图，在长方形ABCD中，AB=a>2，AD=b>2，AM=MN=AP=PQ=1。请在长方形ABCD中，用画阴影的方法表示面积为(a+b)的部分。
（4）【深入探究】学习小组经过讨论，还可从以下思路验证猜想：
思路一：利用不等式的基本性质得到
思路二：对多项式进行因式分解
思路三：对分式进行变形与运算
根据以上思路的启发，选择一种方法完成验证。
20．（2025八下·龙华期末）综合与实践
数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究。
（1）【活动一】拼接
将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点A与点F重合，点C与点D重合），求四边形ABCE的周长；
（2）【活动二】平移
在图2中，将△ABC纸片沿射线FE的方向平移。在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形AMDN，如图3所示。
①求证：四边形AMDN是平行四边形；
②若点A为EF的中点，则四边形AMDN的周长为 ▲ 。
（3）【活动三】旋转
在图3中，当点A为EF的中点时，将△DEF绕点F顺时针旋转一周。在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称，不是中心对称，所以A不符合题意；
B、图案不是轴对称，也不是中心对称，所以B不符合题意；
C、图案是轴对称，不是中心对称，所以C不符合题意；
D、图案是轴对称，也是中心对称，所以D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据轴对称和中心对称的特点分别进行识别，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： x-1>0 ，
∴x＞1.
∵2＞1，1=1，0＜1，-1＜1
∴只有x=2是不等式x-1>0的解。
故答案为：A.
【分析】首先解不等式求得解集，然后只需判断哪个选项在解集范围内即可。
3．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：x-1=0，且x+2≠0，
∴x=1
故答案为：C.
【分析】根据分式值为0的条件，分子为零，且分母不为0，即可求出答案。
4．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图①面积：x2-y2，图②面积：（x+y）（x-y），
∴x2-y2=（x+y）（x-y）。
故答案为：A.
【分析】分别表示图①和图②的面积，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据角平分线的性质可知： △ABC三条角平分线的交点 到三边的距离相等。
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质可找到正确选项。
6．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
7．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设绫布有x尺，则罗（30-x）尺，
根据题意，得：.
故答案为：C.
【分析】 设绫布有x尺，则罗（30-x）尺，根据绫和罗各1尺总共值120文钱，即可得出方程。
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；平行四边形的面积
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式，在利用完全平方公式进行因式分解．
10．【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解： 乙的速度 =（ 千米/时）。
故答案为：.
【分析】根据速度=路程÷时间，即可得出答案。
11．【答案】1
【知识点】已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：∵ 的解集为 ，
∴a≤1.
故答案为：1（答案不唯一，符合条件即可）.
【分析】根据不等式组解集的求法：同大取大，由不等式组的解集，可求出a的取值范围，然后写出一个符合条件的a的值即可。
12．【答案】1
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt中：，，
∴BF=，
∵≌，
∴BC=BD=，
∴CF=BF-BC=，
在Rt中：（2CE)2-CE2=CF2=()2，
∴CE=1。
故答案为：1.
【分析】首先根据含30°的直角三角形的性质求出BF的长，进而得出CF的长，然后再根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理即可求出CE的长。
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：延长AD交BC于点E，当点D是 等边△ABC 的中心时，∠ADC=120°，
∴当 ∠ADC=120°时 △BDC的面积与点D是 等边△ABC 的中心时 △BDC 面积相等，
当点D是 等边△ABC 的中心时，∠ADC=120°，
∴∠CDE=60°，∠DEC=90°，
∴∠DCE=30°，
∵CD=6，
∴DE=3，CE=
∴BC=2CE=‘
∴ △BDC的面积 =.
故答案为：.
【分析】当点D是 等边△ABC 的中心时，∠ADC=120°，根据特殊情况求出△BDC的面积即可。
14．【答案】（1）解：解不等式①得x＜-2
解不等式②得x＞-3
∴原不等式组的解集为-3＜x＜-2
（2）解：原式=
=
=
当m=2时，原式=
【知识点】分式的化简求值；解一元一次不等式组；分式的化简求值-直接代入
15．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转方向和旋转角度，即可得出线段BD；
（2）首先观察A到D可以看成两次平移，然后把点B也作相同的两次平移，即可得到点C的位置；
（3）四边形ABCD是平行四边形，连接AC与BD有一个交点，过这个交点任意作直线，均符合题意。
16．【答案】解：猜想 ：BD=CE
解法一：
过点A作AH⊥BC交BC于点H
∵AB=AC，AH⊥BC，
　 ∴BH=CH。 ∵AD=AE，AH⊥BC， ∴DH=EH， ∴BH－DH=CH－EH， 　 　
∴BD=EC。
解法二： ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，∴180°－∠ADE=180°－∠AED，
即∠ADB=∠AEC。在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE。
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】解法一：过点A作AH⊥BC交BC于点H，根据等腰三角形三线合一的性质，分别得出BH=CH，DH=EH，然后再根据等式的性质，即可得出结论；
解法二：根据AAS证明△ABD≌△ACE，进而根据全等三角形的性质，即可得出BD=CE。
17．【答案】（1）解：设文学书的单价为x元，则科普书的单价为1.5x元。
依题意得：
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解且符合实际。
∴1.5x=15。
（2）解：设购买a本科普书。
依题意得：15a+10(50-a)≤700
解得：a≤40
∵a是正整数，
∴a的最大值为40。
答：至多购买40本科普书。
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设文学书的单价为x元，则科普书的单价为1.5x元，根据 用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本即可得出方程，解方程并进行检验，即可得出答案；
（2）设购买a本科普书，根据 小亮可以使用的经费不超过700元， 得出不等式15a+10(50-a)≤700，解不等式，并求出最大正整数解即可。
18．【答案】（1）解：选择思路一， 理由如下：
连接AC交BD于点O ，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO。∵BP=DQ，
∴BO－BP=DO－DQ，
即PO=QO。
∵AO=CO，PO=QO，
∴四边形APCQ为平行四边形。
选择思路二，
理由如下：
∵AP⊥BD，CQ⊥BD，
∴∠APQ=∠CQP=90°，∠BPA=∠DQC
∴AP∥CQ。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABP=∠CDQ。
在△ABP和△CDQ中
∴△ABP≌△CDQ（AAS），
∴AP=CQ。又∵AP∥CQ，
∴四边形APCQ是平行四边形。
（2）解：答案二：解：如图，用尺规作图在∠DCB内部作∠DCQ=∠BAP，CQ交BD于点Q，点Q即为所求。
由作图可知：∠BAP=∠DCQ，
∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠ABP=∠CDQ。
在△ABP和△CDQ中
∴△ABP≌△CDQ（ASA），
∴AP=CQ，∠APB=∠CQD，∴∠APQ=∠CQP，
∴AP∥CQ，
∴四边形APCQ是平行四边形。
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）选择思路一，连接AC，可证明OA=OC，OP=OQ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出四边形APCQ为平行四边形；选择思路二，通过证明△ABP和△CDQ全等，从而得出AP=CQ且AP∥CQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出四边形APCQ为平行四边形；
（2）如图，作∠DCQ=∠BAP，可根据ASA证明△ABP和△CDQ全等，从而得出AP=CQ且AP∥CQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出四边形APCQ为平行四边形；
19．【答案】（1）＜；＜
（2）＜
（3）解：①∵ 设a=2+x，b=2+y，
∴a+b=4+x+y，ab=(2+x)(2+y)=4+2x+2y+xy=4+x+y+(x+y+xy)
∵ x>0，y>0，
∴x+y+xy>0，
∴a+b＜ab；
②答案一答案二
答案三答案四
答案五答案六
（4）解：思路一：∵a＞2，两边同时乘b，（b＞2）
∴ab＞2b
同理可得：ab＞2a，
∴2ab＞2a+2b，
∴ab＞a+b，
即a+b＜ab；
思路二 ：∵=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)，
∵a＞2，b＞2，
∴(a-1)(b-1)＞1，
∴ab-a-b+1＞1，
∴a+b＜ab；
思路三：=，
∵a＞2，b＞2，
∴＜1，
∴a+b＜ab；
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法；不等式的性质；分式的化简求值-拆项变形法
20．【答案】（1）解：由图1可知，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，
∴AB=DE=2AC=6，
∴由勾股定理得：BC=AE=
∴
（2）解： ①∵平移，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ACDF是平行四边形。
∴AN∥DM
又∵EF=BC，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴DN∥AM。
∴四边形AMDN是平行四边形。
②9
（3）60°或240°
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②AN=DM=，AM=DN=，
∴ 四边形AMDN的周长 =2（AN+AM)=2（）=9.
故答案为：9；
（3）解：当 △DEF顺时针旋转60°时：位于△D1E1F； 当 △DEF顺时针旋转240°时：位于△D2E2F，
当△DEF顺时针旋转60°时，此时两个三角形重合部分为△AD1G，
∵AB∥DF，
∴∠AD1F=∠D1FD=60°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴△AD1G为等边三角形，符合题意；
当△DEF顺时针旋转240°时，此时两个三角形重合部分为△PQC，
∵∠PQC=∠AQE1=∠BAC-∠D1E1F=30°=∠PCQ，
∴△PQC为等腰三角形，符合题意。
故旋转角的度数为：60°或240°。
【分析】（1）首先根据含30°锐角的直角三角形的性质求出AB和BC的长度，进而求出四边形ABCE的周长；
（2）①根据一组对边平行切线等即可判定得出 四边形 ACDF 是平行四边形，可得出AN∥DM ，再通过证明四边形AEDB是平行四边形， 可得出DN∥AM，进而得出四边形AMDN是平行四边形；②根据 点A为EF的中点， 可得出AN=DM=，AM=DN=，进而即可得出 四边形AMDN的周长；
（3）当 △DEF顺时针旋转60°时，两个三角形重合部分为△AD1G为等边三角形，符合题意；当△DEF顺时针旋转240°时，两个三角形重合部分△PQC为等腰三角形，符合题意。
1 / 1广东省深圳市龙华区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2025八下·龙华期末）对称性不仅是数学的美学体现，更是生物适应环境的“最优解”。下列生物的外轮廓同时
具备轴对称性和中心对称性的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称，不是中心对称，所以A不符合题意；
B、图案不是轴对称，也不是中心对称，所以B不符合题意；
C、图案是轴对称，不是中心对称，所以C不符合题意；
D、图案是轴对称，也是中心对称，所以D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据轴对称和中心对称的特点分别进行识别，即可得出答案。
2．（2025八下·龙华期末）下列x的值是不等式x-1>0的解的是（　　）
A．x=2 B．x=1 C．x=0 D．x=-1
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： x-1>0 ，
∴x＞1.
∵2＞1，1=1，0＜1，-1＜1
∴只有x=2是不等式x-1>0的解。
故答案为：A.
【分析】首先解不等式求得解集，然后只需判断哪个选项在解集范围内即可。
3．（2025八下·龙华期末） 分式的值为0的条件是（　　）
A．x=-2 B．x=-1 C．x=1 D．x=2
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：x-1=0，且x+2≠0，
∴x=1
故答案为：C.
【分析】根据分式值为0的条件，分子为零，且分母不为0，即可求出答案。
4．（2025八下·龙华期末）将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（　　）
A．x2-y2=(x+y)(x-y) B．x2+y2=(x+y) (x-y)
C．(x+y) (х-y)=x2-y2 D．(x+y)(x-y)=x2+y2
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图①面积：x2-y2，图②面积：（x+y）（x-y），
∴x2-y2=（x+y）（x-y）。
故答案为：A.
【分析】分别表示图①和图②的面积，即可得出答案。
5．（2025八下·龙华期末）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（AB，AC，BC) 的距离都相等，则油库的位置可以设计在（　　）
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条边的垂直平分线的交点
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据角平分线的性质可知： △ABC三条角平分线的交点 到三边的距离相等。
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质可找到正确选项。
6．（2025八下·龙华期末）藻井作为中国传统建筑中独特的穹顶装饰构件，其造型融合宇宙观，仅用于最高等级建筑，并巧妙结合五行思想。如图是外轮廓为正八边形的“蟠龙藻井”图案，这个正八边形的每个内角的度数为（　　）
A．45° B．120° C．130° D．135°
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
7．（2025八下·龙华期末）今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文。只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈=10尺），它们各自的价值都是896文钱。已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱？设绫布有x尺，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设绫布有x尺，则罗（30-x）尺，
根据题意，得：.
故答案为：C.
【分析】 设绫布有x尺，则罗（30-x）尺，根据绫和罗各1尺总共值120文钱，即可得出方程。
8．（2025八下·龙华期末）如图，在平面内将一块含45°的三角板ABC向右平移得到ADEF，若∠BAD=30°，则边BC扫过的面积与边AB扫过的面积之比为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；平行四边形的面积
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分。）
9．（2025八下·龙华期末）因式分解： =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式，在利用完全平方公式进行因式分解．
10．（2025八下·龙华期末） A、B两地相距10千米，甲从A地到B地步行需要t小时，乙骑自行车行同样的路程比甲少用1小时，则乙的速度可表示为　 　千米/时。
【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解： 乙的速度 =（ 千米/时）。
故答案为：.
【分析】根据速度=路程÷时间，即可得出答案。
11．（2025八下·龙华期末） 关于 x 的不等式组 的解集为 ，请写出一个符合条件的 a 的值：　 　。
【答案】1
【知识点】已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：∵ 的解集为 ，
∴a≤1.
故答案为：1（答案不唯一，符合条件即可）.
【分析】根据不等式组解集的求法：同大取大，由不等式组的解集，可求出a的取值范围，然后写出一个符合条件的a的值即可。
12．（2025八下·龙华期末） 如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，。若，则CE的长度为　 　。
【答案】1
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt中：，，
∴BF=，
∵≌，
∴BC=BD=，
∴CF=BF-BC=，
在Rt中：（2CE)2-CE2=CF2=()2，
∴CE=1。
故答案为：1.
【分析】首先根据含30°的直角三角形的性质求出BF的长，进而得出CF的长，然后再根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理即可求出CE的长。
13．（2025八下·龙华期末）如图，D是等边△ABC内一点，∠ADC=120°，CD=6，则△BDC的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：延长AD交BC于点E，当点D是 等边△ABC 的中心时，∠ADC=120°，
∴当 ∠ADC=120°时 △BDC的面积与点D是 等边△ABC 的中心时 △BDC 面积相等，
当点D是 等边△ABC 的中心时，∠ADC=120°，
∴∠CDE=60°，∠DEC=90°，
∴∠DCE=30°，
∵CD=6，
∴DE=3，CE=
∴BC=2CE=‘
∴ △BDC的面积 =.
故答案为：.
【分析】当点D是 等边△ABC 的中心时，∠ADC=120°，根据特殊情况求出△BDC的面积即可。
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025八下·龙华期末）
（1）解不等式组
（2）先化简，再求值：，其中。
【答案】（1）解：解不等式①得x＜-2
解不等式②得x＞-3
∴原不等式组的解集为-3＜x＜-2
（2）解：原式=
=
=
当m=2时，原式=
【知识点】分式的化简求值；解一元一次不等式组；分式的化简求值-直接代入
15．（2025八下·龙华期末）如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为1个单位长度，线段AB的两个端点都在小方格的格点上，根据下列要求用无刻度直尺作图：
（1）将线段AB绕点B逆时针旋转90得到线段BD；
（2）平移线段AB至线段DC，使得点A与点D重合，连接AD，BC；
（3）直线BD将四边形ABCD分成了全等的两个部分，这样的直线还有很多，请再画出
两条符合条件的直线。
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转方向和旋转角度，即可得出线段BD；
（2）首先观察A到D可以看成两次平移，然后把点B也作相同的两次平移，即可得到点C的位置；
（3）四边形ABCD是平行四边形，连接AC与BD有一个交点，过这个交点任意作直线，均符合题意。
16．（2025八下·龙华期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，且AD=AE。请判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由。
【答案】解：猜想 ：BD=CE
解法一：
过点A作AH⊥BC交BC于点H
∵AB=AC，AH⊥BC，
　 ∴BH=CH。 ∵AD=AE，AH⊥BC， ∴DH=EH， ∴BH－DH=CH－EH， 　 　
∴BD=EC。
解法二： ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，∴180°－∠ADE=180°－∠AED，
即∠ADB=∠AEC。在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE。
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】解法一：过点A作AH⊥BC交BC于点H，根据等腰三角形三线合一的性质，分别得出BH=CH，DH=EH，然后再根据等式的性质，即可得出结论；
解法二：根据AAS证明△ABD≌△ACE，进而根据全等三角形的性质，即可得出BD=CE。
17．（2025八下·龙华期末）小亮计划去书店为全班50名同学各买一本课外书，从书店店员处了解到，科普书的单价是文学书的单价的1.5倍，若用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本。
（1）科普书和文学书的单价各是多少元？
（2）若小亮可以使用的经费不超过700元，则至多购买多少本科普书？
【答案】（1）解：设文学书的单价为x元，则科普书的单价为1.5x元。
依题意得：
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解且符合实际。
∴1.5x=15。
（2）解：设购买a本科普书。
依题意得：15a+10(50-a)≤700
解得：a≤40
∵a是正整数，
∴a的最大值为40。
答：至多购买40本科普书。
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设文学书的单价为x元，则科普书的单价为1.5x元，根据 用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本即可得出方程，解方程并进行检验，即可得出答案；
（2）设购买a本科普书，根据 小亮可以使用的经费不超过700元， 得出不等式15a+10(50-a)≤700，解不等式，并求出最大正整数解即可。
18．（2025八下·龙华期末）如图，在□ABCD中，AP⊥BD于点P。请用尺规作图在BD上求作一点Q，连接AQ，CQ，PC，使得四边形APCQ是平行四边形。
（1）某数学小组经过讨论，得到如下两种作法，请选择其中一种作法说明其正确性。
　 思路一 思路二
作图步骤 在 BD上作 DQ=BP。点Q即为所求。 过点C作CQ⊥BD于点Q。点Q即为所求。
作图痕迹
我选择思路 ▲ ，理由如下：
（2）请你用不同于（1）中的尺规作图方法求作出点Q（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性。
【答案】（1）解：选择思路一， 理由如下：
连接AC交BD于点O ，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO。∵BP=DQ，
∴BO－BP=DO－DQ，
即PO=QO。
∵AO=CO，PO=QO，
∴四边形APCQ为平行四边形。
选择思路二，
理由如下：
∵AP⊥BD，CQ⊥BD，
∴∠APQ=∠CQP=90°，∠BPA=∠DQC
∴AP∥CQ。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABP=∠CDQ。
在△ABP和△CDQ中
∴△ABP≌△CDQ（AAS），
∴AP=CQ。又∵AP∥CQ，
∴四边形APCQ是平行四边形。
（2）解：答案二：解：如图，用尺规作图在∠DCB内部作∠DCQ=∠BAP，CQ交BD于点Q，点Q即为所求。
由作图可知：∠BAP=∠DCQ，
∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠ABP=∠CDQ。
在△ABP和△CDQ中
∴△ABP≌△CDQ（ASA），
∴AP=CQ，∠APB=∠CQD，∴∠APQ=∠CQP，
∴AP∥CQ，
∴四边形APCQ是平行四边形。
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）选择思路一，连接AC，可证明OA=OC，OP=OQ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出四边形APCQ为平行四边形；选择思路二，通过证明△ABP和△CDQ全等，从而得出AP=CQ且AP∥CQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出四边形APCQ为平行四边形；
（2）如图，作∠DCQ=∠BAP，可根据ASA证明△ABP和△CDQ全等，从而得出AP=CQ且AP∥CQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出四边形APCQ为平行四边形；
19．（2025八下·龙华期末）数学学习小组在学习《不等关系》后，深入研究了两个正数a，b的和与积之间的大小关系。
【发现问题】当a=b=2时，a+b=ab。
【提出问题】当a>2，b>2时，a+b与ab存在怎样的大小关系？
（1）【特例分析】给a，b分别赋予不同的数值，通过计算，判断a+b与ab的大小关系。
请完成下面的表格：
a … 3 4 5 …
b … 3 5 6 …
a+b　 　ab （填“>”，“＜”、"=”） … ＜ 　 　 ＜ …
（2）【得出猜想】根据特例分析，猜想：当a>2，b>2时，a+b　 　ab。
（3）【验证猜想】
①小明认为可以设a=2+x，b=2+y，其中x>0，y>0，再通过计算完成验证。
请补充验证过程：
②小红发现可以用图形的面积关系来直观验证。
如图，在长方形ABCD中，AB=a>2，AD=b>2，AM=MN=AP=PQ=1。请在长方形ABCD中，用画阴影的方法表示面积为(a+b)的部分。
（4）【深入探究】学习小组经过讨论，还可从以下思路验证猜想：
思路一：利用不等式的基本性质得到
思路二：对多项式进行因式分解
思路三：对分式进行变形与运算
根据以上思路的启发，选择一种方法完成验证。
【答案】（1）＜；＜
（2）＜
（3）解：①∵ 设a=2+x，b=2+y，
∴a+b=4+x+y，ab=(2+x)(2+y)=4+2x+2y+xy=4+x+y+(x+y+xy)
∵ x>0，y>0，
∴x+y+xy>0，
∴a+b＜ab；
②答案一答案二
答案三答案四
答案五答案六
（4）解：思路一：∵a＞2，两边同时乘b，（b＞2）
∴ab＞2b
同理可得：ab＞2a，
∴2ab＞2a+2b，
∴ab＞a+b，
即a+b＜ab；
思路二 ：∵=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)，
∵a＞2，b＞2，
∴(a-1)(b-1)＞1，
∴ab-a-b+1＞1，
∴a+b＜ab；
思路三：=，
∵a＞2，b＞2，
∴＜1，
∴a+b＜ab；
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法；不等式的性质；分式的化简求值-拆项变形法
20．（2025八下·龙华期末）综合与实践
数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究。
（1）【活动一】拼接
将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点A与点F重合，点C与点D重合），求四边形ABCE的周长；
（2）【活动二】平移
在图2中，将△ABC纸片沿射线FE的方向平移。在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形AMDN，如图3所示。
①求证：四边形AMDN是平行四边形；
②若点A为EF的中点，则四边形AMDN的周长为 ▲ 。
（3）【活动三】旋转
在图3中，当点A为EF的中点时，将△DEF绕点F顺时针旋转一周。在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数。
【答案】（1）解：由图1可知，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，
∴AB=DE=2AC=6，
∴由勾股定理得：BC=AE=
∴
（2）解： ①∵平移，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ACDF是平行四边形。
∴AN∥DM
又∵EF=BC，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴DN∥AM。
∴四边形AMDN是平行四边形。
②9
（3）60°或240°
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②AN=DM=，AM=DN=，
∴ 四边形AMDN的周长 =2（AN+AM)=2（）=9.
故答案为：9；
（3）解：当 △DEF顺时针旋转60°时：位于△D1E1F； 当 △DEF顺时针旋转240°时：位于△D2E2F，
当△DEF顺时针旋转60°时，此时两个三角形重合部分为△AD1G，
∵AB∥DF，
∴∠AD1F=∠D1FD=60°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴△AD1G为等边三角形，符合题意；
当△DEF顺时针旋转240°时，此时两个三角形重合部分为△PQC，
∵∠PQC=∠AQE1=∠BAC-∠D1E1F=30°=∠PCQ，
∴△PQC为等腰三角形，符合题意。
故旋转角的度数为：60°或240°。
【分析】（1）首先根据含30°锐角的直角三角形的性质求出AB和BC的长度，进而求出四边形ABCE的周长；
（2）①根据一组对边平行切线等即可判定得出 四边形 ACDF 是平行四边形，可得出AN∥DM ，再通过证明四边形AEDB是平行四边形， 可得出DN∥AM，进而得出四边形AMDN是平行四边形；②根据 点A为EF的中点， 可得出AN=DM=，AM=DN=，进而即可得出 四边形AMDN的周长；
（3）当 △DEF顺时针旋转60°时，两个三角形重合部分为△AD1G为等边三角形，符合题意；当△DEF顺时针旋转240°时，两个三角形重合部分△PQC为等腰三角形，符合题意。
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