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广东省深圳中学初中部 2024-2025学年下学期八年级数学期末试题
一、单选题(共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．（2025八下·深圳期末）下列性质中菱形一定具有的是(　　)
A．对角线相等 B．有一个角是直角
C．对角线互相垂直 D．四个角相等
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A： 对角线相等是矩形一定具有的性质，所以A不符合题意；
B： 有一个角是直角是矩形一定具有的性质，所以B不符合题意；
C： 对角线互相垂直是菱形一定具有的性质，所以C符合题意；
D： 四个角相等是矩形一定具有的性质，所以D不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据特殊的平行四边形所具有的性质，分别进行判断，即可得出答案。
2．（2025八下·深圳期末）用配方法解一元二次方程 下列配方正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 用配方法解
移项，得：，
配方，得：，
即：（x-2）2=7.
故答案为：B .
【分析】用配方法解即可得出配方后的等式。即可得出答案。
3．（2025八下·深圳期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A．AD=BC B．AD∥BC C．AB=BC D．∠B=2∠A
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A：添加 AD=BC ，还可能是等腰梯形，所以A不符合题意；
B：添加 AD∥BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得出四边形ABCD是平行四边形，所以B符合题意；
C：AB和BC是一组邻边，添加AB=BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，所以C不符合题意；
D：添加 ∠B=2∠A ，不知道它们的具体度数，不能得出AD∥BC，所以不能判定四边形ABCD是平行四边形，所以D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据平行四边形的判定，分别进行判断，即可得出答案。
4．（2025八下·深圳期末） 如图， BE是平行四边形ABCD的外角平分线， ∠A+∠C=220°， 则∠CBE的度数是(　　)
A．50° B．55° C．52.5° D．57.5°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵ ∠A+∠C=220°，
∴∠A=110°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF=110°，
∵BE平分∠CBF，
∴ ∠CBE =
故答案为：B .
【分析】首先根据平行四边形对角相等，可得出∠A=110°。进而根据平行线的性质，得出∠CBF=110°，再根据角平分线的定义得出∠CBE=55°。
5．（2025八下·深圳期末）反比例函数 下列说法不正确的是(　　)
A．图象经过点(1，-2) B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y=x对称 D．y随x的增大而增大
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A：当x=1时，y=，所以A正确；
B：因为-2＜0，所以 图象位于第二、四象限 ，所以B正确；
C：图象位于第二，四象限，关于直线y=x对称，所以C正确；
D：因为在同一象限内，y随 x的增大而增大 ，所以D不正确。
故答案为：D .
【分析】分析反比例函数 的性质，逐一验证各选项的正确性，即可得出答案。
6．（2025八下·深圳期末） 如图， 在平行四边形ABCD中， 点P是BC边上的动点， 连接AP， DP， E是AD的中点，F是PD的中点，点P从B点向C点的运动的过程中，EF的长度(　　)
A．保持不变 B．逐渐增大
C．先增大再减小 D．先减小再增大
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ E是AD的中点，F是PD的中点，
∴EF=，
∵ 点P从B点向C点的运动的过程中， AP的长度是先减小再增大，
∴ EF的长度先减小再增大。
故答案为：D .
【分析】首先根据三角形中位线定理得出EF=，然后得出点P从B点向C点的运动的过程中， AP的长度是先减小再增大，故而得出EF的长度先减小再增大。
7．（2025八下·深圳期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边上的一点，以AE为边作矩形AEFG，使GF经过点D，则矩形AEFG的面积为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；正方形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接DE，
∵ 正方形ABCD的边长为2，
∴S正方形ABCD=2×2=4，AD∥BC，
∴S三角形ADE=S正方形ABCD=2，
∵AE∥GF，
∴S矩形AEFG=2S三角形ADE，
∴S矩形AEFG=4.
故答案为：A .
【分析】连接DE，根据AD∥BC，可得出S三角形ADE=S正方形ABCD=2，再根据AE∥GF，可得出S矩形AEFG=2S三角形ADE，即可得出答案。
8．（2025八下·深圳期末） 已知x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，已知等腰△ABC的一边长为3，若x1，x2恰好是△ABC另外两边长，则△ABC周长为(　　)
A．9 B．9或11 C．13 D．9或13
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：可分为两种情况：①3为底边，则其它两边为腰长，可设 x1=x2=a，
根据根与系数的关系可得：，
解得：，
此时 △ABC周长为 3+3+3=9；
②3为腰长，则其它两边长为3和b，
根据根与系数的关系可得：，
解得：（舍去），
此时 △ABC周长为3+3+3=9.
故答案为：A .
【分析】可分为两种情况：①3为底边，②3为腰长，分别根据根与系数的关系列出方程，解方程即可求得三角形的边长，进而得出周长即可。
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分.)
9．（2025八下·深圳期末）方程的两根为，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根为，，
∴.
故答案为：3.
【分析】利用根与系数的关系计算即可.对于一元二次方程(a≠0)，两个根为，，则，.
10．（2025八下·深圳期末）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是　 　边形.
【答案】十
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设正多边形为n边形，
根据题意，得：36n=360，
∴n=10.
故答案为：十 .
【分析】设正多边形为n边形，根据多边形的外角和等于360°，且正多边形的每个外角都相等，即可得出36n=360，解得正多边形的边数。
11．（2025八下·深圳期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 的图象上，过点A作AB⊥x轴，取AB中点C， 点D在y轴上， 连接AD、CD， △ACD的面积为2，则k的值是　 　.
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（x，y），则：OB=x，AB=y，
∵点C是AB的中点，
∴AC=，
∵ △ACD的面积为2，
∴，
∴xy=8，
∴k=xy=8.
故答案为：8 .
【分析】根据 △ACD的面积为2，可得出xy=8，根据反比例函数中k的几何意义，即可得出k的值。
12．（2025八下·深圳期末） 如图，菱形ABCD中， AC交BD于点O， 于点E，连接OE， 则OE的长为　 　.
【答案】6
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵
∴OB=，
∴BD=12，
∵于点E，
∴OE=
故答案为：6 .
【分析】首先根据菱形的对角线互相垂直平分，可得出BD=12，然后再根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可得出OE的长。
13．（2025八下·深圳期末） 如图， 在等腰△ABC中， 将 沿直线BC平移至 将点B绕点A逆时针旋转 得到点D，连接DA'、DC'，在平移过程中， |的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，过点A'作A'H⊥B'C'于点H，过点D作DE⊥AG于点E，交A'H于点F，延长A'H至点K，使FK=AF，连接DK，C'K，
∵AB=AC，AG⊥BC于点G，
∴BG=，
∴AG=，
由旋转性质，可得：∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°，AB=AD，
又∠BAG+∠B=90°，
∴∠B=∠EAD，
在和中：∵∠B=∠EAD，∠AGB=∠AED=90°，AB=AD，
∴≌，
∴BG=AE=3，
∴EG=AG-AE=4-3=1，
∵AG⊥BC，A'H⊥B'C'，
∴AE∥A'F，
∵DE⊥AG，
∴四边形AEFA'是矩形，四边形EGHF是矩形，
∴AF=AE=3，FH=EG=1，
又FK=AF，
∴FK=3，
∴HK=2，
∵A'B'=A'C'，A'H⊥B'C'于点H，
∴C'H=，
∴C'K=，
又FK=AF，DF⊥AK，
∴DF垂直平分AK，
∴A'D=DK，
∴≤C'K=，
∴当D，K，C'三点共线时，的值最大，最大值为。
故答案为： .
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，过点A'作A'H⊥B'C'于点H，过点D作DE⊥AG于点E，交A'H于点F，延长A'H至点K，使FK=AF，连接DK，C'K，根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理可求得BG=3，AG=4，进而通过证明≌，可得出AE=3，进而得出EG=1，再证明四边形AEFA'是矩形，四边形EGHF是矩形，得出AF=AE=3，FH=EG=1，进而HK=2，再根据勾股定理可得出C'K=，最后根据三角形三边之间的关系，可得出≤C'K=，再根据中垂线的性质得出≤C'K=，即可得出答案。
三、解答题(本题共7小题，其中第14题6分，第15题8分，第16题8分，第17题10分, 第18题8分, 第19题9分, 第20题12分, 共61分)
14．（2025八下·深圳期末）解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：整理得
配方得 即可
开方得
即 或
（2）解：整理得
因式分解得
即3x-3=0， 3x-2=0，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用配方法解一元二次方程；
（2）用因式分解法解一元二次方程。
15．（2025八下·深圳期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图.
（1）在图1中画一个 ABCD， 使
（2）在图2中画一个以点O为对称中心，A，B为顶点的
（3）图2中 ABCD的面积为　 　.
【答案】（1）解：如图1， ABCD即为所求.
（2）解：如图2， ABCD即为所求.
（3）6
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；平行四边形的面积；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（3）由图2可知：BC=3，BC边上的高为2，
∴ ABCD的面积=3×2=6.
故答案为：6.
【分析】（1）根据网格可作出BC⊥AB，且BC=2AB，同样的方法作AD，再连接CD，即可得出 ABCD；
（2）首先选取格点0，然后连接AO并延长，使OC=AO，得到点C，然后连接BO并延长，使OD=OB，得到点D，连接CD，AD，BC，即可得到 ABCD；
（3）利用平行四边形的面积计算公式即可求得 图2中 ABCD的面积 。
16．（2025八下·深圳期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和
（1）根据函数图象可知，当 时，x的取值范围是　 　；
（2）求反比例函数和一次函数的解析式.
【答案】（1）0（2）解：∵点 和 在反比例函数 的图象上.
解得m=12，
∴A(3，4)， B(-2，-6)，
∴反比例函数为
将点A和点B的坐标代入 得
解得
∴一次函数为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）由图象可知：在y轴左侧，当x≤-2时，一次函数图象在反比例函数图象的下边，即；在y轴右侧，当0故答案为：0【分析】（1）可观察函数图象，即可得出答案；
（2）首先根据点A和点B都在反比例函数图象上，可求得m的值，进而得出A，B的坐标，然后利用待定系数法即可求得 反比例函数和一次函数的解析式.
17．（2025八下·深圳期末）如图，在平行四边形ABCD中， 过点D作 于点E，点F在边CD上， 连接AF， BF.
（1）求证： 四边形BFDE是矩形；
（2）若∠DAB=60°， AF平分. 求AB的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB， DC=AB，
∵CF=AE，
∴DF=BE且DC∥AB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴四边形DFBE是矩形；
（2）解：∵∠DAB=60°， AD=4， DE⊥AB，
∴
∵四边形DFBE是矩形，
∴
∵AF平分∠DAB，
∴且BF⊥AB，
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BFDE是 平行四边形，然后再结合DE⊥AB，根据矩形定义得出结论；
（2）首先在直角三角形ADE中，根据AD=4求得DE的长，进而得出BF的长，再在直角三角形ABF中，根据BF的长可求得AB的长。
18．（2025八下·深圳期末）已知关于x的方程
（1）)求证：此方程总有实数根；
（2）若m为整数，且此方程有两个互不相等的非负整数根，求m的值.
【答案】（1）证明：∵关于x的方程
当m=0时， 方程为-4x+4=0，解得x=1；
当m≠0时，
∴方程总有实数根；
（2）解：由求根公式可求得x=1或
∵方程有两个互不相等的非负整数根，
∴≥1，且为整数，
∴m=1，2，4，
又∵当m=2时，x=（不合题意）
∴m=1或4.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）分成两种情况：①当m=0时，可得出一元一次方程，有实数根；②当m≠0时，证得Δ≥0，可得一元二次方程有实数根，从而得出结论；
（2）首先根据求根公式得出x=1或 ，然后根据方程有两个互不相等的非负整数根，即可得出m=1或4.
19．（2025八下·深圳期末）根据以下素材，探索完成任务.
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送.
素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元.
素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售.盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是0.016m2.如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成.已知矩形硬纸板的长宽分别为26cm， 22cm.
素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元.
问题解决
⑴任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率.
⑵任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长.
⑶任务3 根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价.
【答案】解：⑴设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，
由题意得：
解得： (不符合题意，舍去)，
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为20%；
⑵设剪去小正方形的边长为 x cm，
由题意得：
解得： (不符合题意，舍去)，
答：剪去小正方形的边长为3cm.
⑶设降价m元，则下调后每个手办的售价为(65-m)元，销售量为 个，
由题意得：
整理得：
解得：
为了尽可能多的减少库存，每天销售量要尽可能大，
∴m=15 ∴65-m=50，
答：下调后每个手办的售价为50元；
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据增长率问题，即可得出方程解方程，舍去不合题意的解，即可得出答案；
（2）设剪去小正方形的边长为 x cm，根据盲盒底面面积是0.016m2（160cm2），即可得出方程解方程并进行检验，舍去不合题意的解，即可得出答案；
（3）设降价m元，则下调后每个手办的售价为(65-m)元，销售量为 个，根据 下调售价使平均每天的销售利润为1500元.即可得出方程解方程取较大的m解，进一步求出65-m的值即可。
20．（2025八下·深圳期末）四边形ABCD是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏.
（1）【探究发现】
如图1， 小明将△ABE沿AE翻折得到 点B 的对应点B'，将纸片展平后，连接BB'并延长交边CD于点F，小明发现折痕AE与BF存在特殊的数量关系，数量关系为　 　；
（2）【类比探究】
如图2，小明继续折纸，将四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'B'EG，点A 的对应点为点A'，点B 的对应点为点 B'，将纸片展平后，连接BB'交边CD于点F，请你猜想线段AG，CE，DF之间的数量关系并证明：
（3）【拓展延伸】
在(2) 的翻折过程中， 正方形ABCD的边长为9， CF=3.
①如图3，若线段 恰好经过点D，求AG的长，
②如图4， 连接BG， EF， 直接写出 的最小值.
【答案】（1）AE=BF
（2）解：AG+CE=DF；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴
∵翻折，
∴GE⊥BF，
∴
过点G作GN⊥BC， 垂足为点N，
∴
∴
∴∠NGE=∠MBE，
∵∠A=∠ABC=∠GNB=90°，
∴四边形ABNG是矩形，
∴
∴BC=GN，
又∵∠NGE=∠MBE， ∠C=∠GNE=90°，
∴△BCF ≌△GNE(ASA)，
∴NE=CF，
∴BC-NE=CD-CF， 即BN+CE=DF，
∴AG+CE=DF.
（3）解：①设CE=x，
∵正方形ABCD的边长为9， CF=3，
∴
过点D作DP⊥GE，垂足为H， 交线段AB于点 P， 连接PE， DE.
∵四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'B'EG，线段A'B经过点D，
∴D， P关于直线GE对称，
∴GE 垂直平分DP，
∴PE=DE，
∵由 (2)得
∴
∴PD∥BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴四边形PBFD是平行四边形，由 (2)知
∴PB=DF=6，
在Rt△PBE中， ∠PBE=90°，
∴根据勾股定理，
在Rt△DCE中， ∠C=90°，
∴根据勾股定理，
又∵PE=DE，
∴
解得x=2， ∴CE的长为2.
由(2)知： AG+CE=DF， 即AG+2=6
∴AG=4
②的最小值 为
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CBF++∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在 △ABE 和 △BCF中：∵∠BAE=∠CBF，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴ △ABE ≌ △BCF，
∴AE=BF；
故答案为：AE=BF；
（3）②如图， 过A作AK∥EG交BC于点K，
∵AG∥EK，
∴四边形AKEG是平行四边形，
∴AG=EK，
过K作KH⊥BC于点K， 且KH=AB，
∴
∴△BAG≌△HKE(SAS)，
∴BG=HE，
∴当且仅当H、E、F依次共线时，取等，过H作 交DC延长线于点H，则四边形CKHN是矩形，
∴
∵CF=3，
∴
由 (2)中方法可证
∴BK=CF=3，
∴HN=CK=BC-BK=6，
在 中，
即 的最小值为
【分析】（1）根据ASA证得△ABE ≌ △BCF，即可得出AE=BF；
（2）根据ASA证得证得△BCF ≌△GNE，进而得出NE=CF，然后再根据BC=CD，得出BC-NE=CD-CF，即BN+CE=DF，进一步等量代换为AG+CE=DF；
（3）①CE=x，则可得：BP=DF=6，BE=9-x，从而根据，进而得出
解方程即可得出CE的长为2，然后根据（2）的结论AG+CE=DF，即可得出AG=DF-CE=6-2=4；
② 过A作AK∥EG交BC于点K，通过证明△BAG≌△HKE(SAS)，可得出BG=HE，即可得出当F，E，H三点在同一直线上时，EH+EF的值最小，即BG+EF的值最小，其最小值为线段FH的长，根据勾股定理求出FH的长即可。
1 / 1广东省深圳中学初中部 2024-2025学年下学期八年级数学期末试题
一、单选题(共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．（2025八下·深圳期末）下列性质中菱形一定具有的是(　　)
A．对角线相等 B．有一个角是直角
C．对角线互相垂直 D．四个角相等
2．（2025八下·深圳期末）用配方法解一元二次方程 下列配方正确的是(　　)
A． B． C． D．
3．（2025八下·深圳期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A．AD=BC B．AD∥BC C．AB=BC D．∠B=2∠A
4．（2025八下·深圳期末） 如图， BE是平行四边形ABCD的外角平分线， ∠A+∠C=220°， 则∠CBE的度数是(　　)
A．50° B．55° C．52.5° D．57.5°
5．（2025八下·深圳期末）反比例函数 下列说法不正确的是(　　)
A．图象经过点(1，-2) B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y=x对称 D．y随x的增大而增大
6．（2025八下·深圳期末） 如图， 在平行四边形ABCD中， 点P是BC边上的动点， 连接AP， DP， E是AD的中点，F是PD的中点，点P从B点向C点的运动的过程中，EF的长度(　　)
A．保持不变 B．逐渐增大
C．先增大再减小 D．先减小再增大
7．（2025八下·深圳期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边上的一点，以AE为边作矩形AEFG，使GF经过点D，则矩形AEFG的面积为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2025八下·深圳期末） 已知x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，已知等腰△ABC的一边长为3，若x1，x2恰好是△ABC另外两边长，则△ABC周长为(　　)
A．9 B．9或11 C．13 D．9或13
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分.)
9．（2025八下·深圳期末）方程的两根为，，则的值为　 　．
10．（2025八下·深圳期末）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是　 　边形.
11．（2025八下·深圳期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 的图象上，过点A作AB⊥x轴，取AB中点C， 点D在y轴上， 连接AD、CD， △ACD的面积为2，则k的值是　 　.
12．（2025八下·深圳期末） 如图，菱形ABCD中， AC交BD于点O， 于点E，连接OE， 则OE的长为　 　.
13．（2025八下·深圳期末） 如图， 在等腰△ABC中， 将 沿直线BC平移至 将点B绕点A逆时针旋转 得到点D，连接DA'、DC'，在平移过程中， |的最大值为　 　.
三、解答题(本题共7小题，其中第14题6分，第15题8分，第16题8分，第17题10分, 第18题8分, 第19题9分, 第20题12分, 共61分)
14．（2025八下·深圳期末）解下列方程
（1）
（2）
15．（2025八下·深圳期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图.
（1）在图1中画一个 ABCD， 使
（2）在图2中画一个以点O为对称中心，A，B为顶点的
（3）图2中 ABCD的面积为　 　.
16．（2025八下·深圳期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和
（1）根据函数图象可知，当 时，x的取值范围是　 　；
（2）求反比例函数和一次函数的解析式.
17．（2025八下·深圳期末）如图，在平行四边形ABCD中， 过点D作 于点E，点F在边CD上， 连接AF， BF.
（1）求证： 四边形BFDE是矩形；
（2）若∠DAB=60°， AF平分. 求AB的长.
18．（2025八下·深圳期末）已知关于x的方程
（1）)求证：此方程总有实数根；
（2）若m为整数，且此方程有两个互不相等的非负整数根，求m的值.
19．（2025八下·深圳期末）根据以下素材，探索完成任务.
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送.
素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元.
素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售.盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是0.016m2.如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成.已知矩形硬纸板的长宽分别为26cm， 22cm.
素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元.
问题解决
⑴任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率.
⑵任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长.
⑶任务3 根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价.
20．（2025八下·深圳期末）四边形ABCD是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏.
（1）【探究发现】
如图1， 小明将△ABE沿AE翻折得到 点B 的对应点B'，将纸片展平后，连接BB'并延长交边CD于点F，小明发现折痕AE与BF存在特殊的数量关系，数量关系为　 　；
（2）【类比探究】
如图2，小明继续折纸，将四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'B'EG，点A 的对应点为点A'，点B 的对应点为点 B'，将纸片展平后，连接BB'交边CD于点F，请你猜想线段AG，CE，DF之间的数量关系并证明：
（3）【拓展延伸】
在(2) 的翻折过程中， 正方形ABCD的边长为9， CF=3.
①如图3，若线段 恰好经过点D，求AG的长，
②如图4， 连接BG， EF， 直接写出 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A： 对角线相等是矩形一定具有的性质，所以A不符合题意；
B： 有一个角是直角是矩形一定具有的性质，所以B不符合题意；
C： 对角线互相垂直是菱形一定具有的性质，所以C符合题意；
D： 四个角相等是矩形一定具有的性质，所以D不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据特殊的平行四边形所具有的性质，分别进行判断，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 用配方法解
移项，得：，
配方，得：，
即：（x-2）2=7.
故答案为：B .
【分析】用配方法解即可得出配方后的等式。即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A：添加 AD=BC ，还可能是等腰梯形，所以A不符合题意；
B：添加 AD∥BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得出四边形ABCD是平行四边形，所以B符合题意；
C：AB和BC是一组邻边，添加AB=BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，所以C不符合题意；
D：添加 ∠B=2∠A ，不知道它们的具体度数，不能得出AD∥BC，所以不能判定四边形ABCD是平行四边形，所以D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据平行四边形的判定，分别进行判断，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵ ∠A+∠C=220°，
∴∠A=110°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF=110°，
∵BE平分∠CBF，
∴ ∠CBE =
故答案为：B .
【分析】首先根据平行四边形对角相等，可得出∠A=110°。进而根据平行线的性质，得出∠CBF=110°，再根据角平分线的定义得出∠CBE=55°。
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A：当x=1时，y=，所以A正确；
B：因为-2＜0，所以 图象位于第二、四象限 ，所以B正确；
C：图象位于第二，四象限，关于直线y=x对称，所以C正确；
D：因为在同一象限内，y随 x的增大而增大 ，所以D不正确。
故答案为：D .
【分析】分析反比例函数 的性质，逐一验证各选项的正确性，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ E是AD的中点，F是PD的中点，
∴EF=，
∵ 点P从B点向C点的运动的过程中， AP的长度是先减小再增大，
∴ EF的长度先减小再增大。
故答案为：D .
【分析】首先根据三角形中位线定理得出EF=，然后得出点P从B点向C点的运动的过程中， AP的长度是先减小再增大，故而得出EF的长度先减小再增大。
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；正方形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接DE，
∵ 正方形ABCD的边长为2，
∴S正方形ABCD=2×2=4，AD∥BC，
∴S三角形ADE=S正方形ABCD=2，
∵AE∥GF，
∴S矩形AEFG=2S三角形ADE，
∴S矩形AEFG=4.
故答案为：A .
【分析】连接DE，根据AD∥BC，可得出S三角形ADE=S正方形ABCD=2，再根据AE∥GF，可得出S矩形AEFG=2S三角形ADE，即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：可分为两种情况：①3为底边，则其它两边为腰长，可设 x1=x2=a，
根据根与系数的关系可得：，
解得：，
此时 △ABC周长为 3+3+3=9；
②3为腰长，则其它两边长为3和b，
根据根与系数的关系可得：，
解得：（舍去），
此时 △ABC周长为3+3+3=9.
故答案为：A .
【分析】可分为两种情况：①3为底边，②3为腰长，分别根据根与系数的关系列出方程，解方程即可求得三角形的边长，进而得出周长即可。
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根为，，
∴.
故答案为：3.
【分析】利用根与系数的关系计算即可.对于一元二次方程(a≠0)，两个根为，，则，.
10．【答案】十
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设正多边形为n边形，
根据题意，得：36n=360，
∴n=10.
故答案为：十 .
【分析】设正多边形为n边形，根据多边形的外角和等于360°，且正多边形的每个外角都相等，即可得出36n=360，解得正多边形的边数。
11．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（x，y），则：OB=x，AB=y，
∵点C是AB的中点，
∴AC=，
∵ △ACD的面积为2，
∴，
∴xy=8，
∴k=xy=8.
故答案为：8 .
【分析】根据 △ACD的面积为2，可得出xy=8，根据反比例函数中k的几何意义，即可得出k的值。
12．【答案】6
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵
∴OB=，
∴BD=12，
∵于点E，
∴OE=
故答案为：6 .
【分析】首先根据菱形的对角线互相垂直平分，可得出BD=12，然后再根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可得出OE的长。
13．【答案】
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，过点A'作A'H⊥B'C'于点H，过点D作DE⊥AG于点E，交A'H于点F，延长A'H至点K，使FK=AF，连接DK，C'K，
∵AB=AC，AG⊥BC于点G，
∴BG=，
∴AG=，
由旋转性质，可得：∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°，AB=AD，
又∠BAG+∠B=90°，
∴∠B=∠EAD，
在和中：∵∠B=∠EAD，∠AGB=∠AED=90°，AB=AD，
∴≌，
∴BG=AE=3，
∴EG=AG-AE=4-3=1，
∵AG⊥BC，A'H⊥B'C'，
∴AE∥A'F，
∵DE⊥AG，
∴四边形AEFA'是矩形，四边形EGHF是矩形，
∴AF=AE=3，FH=EG=1，
又FK=AF，
∴FK=3，
∴HK=2，
∵A'B'=A'C'，A'H⊥B'C'于点H，
∴C'H=，
∴C'K=，
又FK=AF，DF⊥AK，
∴DF垂直平分AK，
∴A'D=DK，
∴≤C'K=，
∴当D，K，C'三点共线时，的值最大，最大值为。
故答案为： .
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，过点A'作A'H⊥B'C'于点H，过点D作DE⊥AG于点E，交A'H于点F，延长A'H至点K，使FK=AF，连接DK，C'K，根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理可求得BG=3，AG=4，进而通过证明≌，可得出AE=3，进而得出EG=1，再证明四边形AEFA'是矩形，四边形EGHF是矩形，得出AF=AE=3，FH=EG=1，进而HK=2，再根据勾股定理可得出C'K=，最后根据三角形三边之间的关系，可得出≤C'K=，再根据中垂线的性质得出≤C'K=，即可得出答案。
14．【答案】（1）解：整理得
配方得 即可
开方得
即 或
（2）解：整理得
因式分解得
即3x-3=0， 3x-2=0，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用配方法解一元二次方程；
（2）用因式分解法解一元二次方程。
15．【答案】（1）解：如图1， ABCD即为所求.
（2）解：如图2， ABCD即为所求.
（3）6
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；平行四边形的面积；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（3）由图2可知：BC=3，BC边上的高为2，
∴ ABCD的面积=3×2=6.
故答案为：6.
【分析】（1）根据网格可作出BC⊥AB，且BC=2AB，同样的方法作AD，再连接CD，即可得出 ABCD；
（2）首先选取格点0，然后连接AO并延长，使OC=AO，得到点C，然后连接BO并延长，使OD=OB，得到点D，连接CD，AD，BC，即可得到 ABCD；
（3）利用平行四边形的面积计算公式即可求得 图2中 ABCD的面积 。
16．【答案】（1）0（2）解：∵点 和 在反比例函数 的图象上.
解得m=12，
∴A(3，4)， B(-2，-6)，
∴反比例函数为
将点A和点B的坐标代入 得
解得
∴一次函数为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）由图象可知：在y轴左侧，当x≤-2时，一次函数图象在反比例函数图象的下边，即；在y轴右侧，当0故答案为：0【分析】（1）可观察函数图象，即可得出答案；
（2）首先根据点A和点B都在反比例函数图象上，可求得m的值，进而得出A，B的坐标，然后利用待定系数法即可求得 反比例函数和一次函数的解析式.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB， DC=AB，
∵CF=AE，
∴DF=BE且DC∥AB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴四边形DFBE是矩形；
（2）解：∵∠DAB=60°， AD=4， DE⊥AB，
∴
∵四边形DFBE是矩形，
∴
∵AF平分∠DAB，
∴且BF⊥AB，
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BFDE是 平行四边形，然后再结合DE⊥AB，根据矩形定义得出结论；
（2）首先在直角三角形ADE中，根据AD=4求得DE的长，进而得出BF的长，再在直角三角形ABF中，根据BF的长可求得AB的长。
18．【答案】（1）证明：∵关于x的方程
当m=0时， 方程为-4x+4=0，解得x=1；
当m≠0时，
∴方程总有实数根；
（2）解：由求根公式可求得x=1或
∵方程有两个互不相等的非负整数根，
∴≥1，且为整数，
∴m=1，2，4，
又∵当m=2时，x=（不合题意）
∴m=1或4.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）分成两种情况：①当m=0时，可得出一元一次方程，有实数根；②当m≠0时，证得Δ≥0，可得一元二次方程有实数根，从而得出结论；
（2）首先根据求根公式得出x=1或 ，然后根据方程有两个互不相等的非负整数根，即可得出m=1或4.
19．【答案】解：⑴设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，
由题意得：
解得： (不符合题意，舍去)，
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为20%；
⑵设剪去小正方形的边长为 x cm，
由题意得：
解得： (不符合题意，舍去)，
答：剪去小正方形的边长为3cm.
⑶设降价m元，则下调后每个手办的售价为(65-m)元，销售量为 个，
由题意得：
整理得：
解得：
为了尽可能多的减少库存，每天销售量要尽可能大，
∴m=15 ∴65-m=50，
答：下调后每个手办的售价为50元；
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据增长率问题，即可得出方程解方程，舍去不合题意的解，即可得出答案；
（2）设剪去小正方形的边长为 x cm，根据盲盒底面面积是0.016m2（160cm2），即可得出方程解方程并进行检验，舍去不合题意的解，即可得出答案；
（3）设降价m元，则下调后每个手办的售价为(65-m)元，销售量为 个，根据 下调售价使平均每天的销售利润为1500元.即可得出方程解方程取较大的m解，进一步求出65-m的值即可。
20．【答案】（1）AE=BF
（2）解：AG+CE=DF；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴
∵翻折，
∴GE⊥BF，
∴
过点G作GN⊥BC， 垂足为点N，
∴
∴
∴∠NGE=∠MBE，
∵∠A=∠ABC=∠GNB=90°，
∴四边形ABNG是矩形，
∴
∴BC=GN，
又∵∠NGE=∠MBE， ∠C=∠GNE=90°，
∴△BCF ≌△GNE(ASA)，
∴NE=CF，
∴BC-NE=CD-CF， 即BN+CE=DF，
∴AG+CE=DF.
（3）解：①设CE=x，
∵正方形ABCD的边长为9， CF=3，
∴
过点D作DP⊥GE，垂足为H， 交线段AB于点 P， 连接PE， DE.
∵四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'B'EG，线段A'B经过点D，
∴D， P关于直线GE对称，
∴GE 垂直平分DP，
∴PE=DE，
∵由 (2)得
∴
∴PD∥BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴四边形PBFD是平行四边形，由 (2)知
∴PB=DF=6，
在Rt△PBE中， ∠PBE=90°，
∴根据勾股定理，
在Rt△DCE中， ∠C=90°，
∴根据勾股定理，
又∵PE=DE，
∴
解得x=2， ∴CE的长为2.
由(2)知： AG+CE=DF， 即AG+2=6
∴AG=4
②的最小值 为
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CBF++∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在 △ABE 和 △BCF中：∵∠BAE=∠CBF，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴ △ABE ≌ △BCF，
∴AE=BF；
故答案为：AE=BF；
（3）②如图， 过A作AK∥EG交BC于点K，
∵AG∥EK，
∴四边形AKEG是平行四边形，
∴AG=EK，
过K作KH⊥BC于点K， 且KH=AB，
∴
∴△BAG≌△HKE(SAS)，
∴BG=HE，
∴当且仅当H、E、F依次共线时，取等，过H作 交DC延长线于点H，则四边形CKHN是矩形，
∴
∵CF=3，
∴
由 (2)中方法可证
∴BK=CF=3，
∴HN=CK=BC-BK=6，
在 中，
即 的最小值为
【分析】（1）根据ASA证得△ABE ≌ △BCF，即可得出AE=BF；
（2）根据ASA证得证得△BCF ≌△GNE，进而得出NE=CF，然后再根据BC=CD，得出BC-NE=CD-CF，即BN+CE=DF，进一步等量代换为AG+CE=DF；
（3）①CE=x，则可得：BP=DF=6，BE=9-x，从而根据，进而得出
解方程即可得出CE的长为2，然后根据（2）的结论AG+CE=DF，即可得出AG=DF-CE=6-2=4；
② 过A作AK∥EG交BC于点K，通过证明△BAG≌△HKE(SAS)，可得出BG=HE，即可得出当F，E，H三点在同一直线上时，EH+EF的值最小，即BG+EF的值最小，其最小值为线段FH的长，根据勾股定理求出FH的长即可。
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