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2024-2025 学年宁夏吴忠中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 是虚数单位，集合 中的元素由复数 3 5 的实部和虚部组成，集合 = {1,3,5}，则 ∩ =( )
A. {3,5} B. {3, 5} C. {3} D. {5}
2.已知 (3,1)， (4,3)， ( , 7)三点共线，则 =( )
A. 10 B. 8 C. 7 D. 6
3.已知事件 与 相互独立， ( ) = 0.3， ( ) = 0.4，则 ( ∪ ) =( )
A. 0.58 B. 0.12 C. 0.7 D. 0.88
4.已知圆锥的底面半径为 3，高为 4，则该圆锥的表面积为( )
A. 9 B. 12 C. 16 D. 24
5.先后两次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数分别为 ， ，设平面向量 = (1,2)， = ( , )，
则“ > 0”的概率为( )
A. 16 B.
1 1 1
4 C. 3 D. 12
6.已知 ， ， 表示不同的直线， ， 表示不同的平面，下面四个命题错误的有( )
A.若 // ， ，则 // B.若 ∩ = ， ， ， // ，则 //
C.若 // ， ，则 // D. ⊥ ， ，则 ⊥
7.在正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 ， 1 1的中点，则异面直线 与 1 所成角的余弦值是
( )
A. 33 B.
6
3 C.
3
6 D.
6
6
8.已知点 是△ 内部的一点，且满足 + + = 0, = 3, = 1，则 的值为( )
A. 5 33 B. 2 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为 1，2，3，4 的 4 张卡牌，现从中依次不放回摸
出两张卡牌，记事件 =“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件 =“摸出的两张卡牌的编号之和为 5”，
事件 =“摸出的两张卡牌的编号之和为 6”，则( )
A. 1事件 与事件 为互斥事件 B. ( ) = 3
C. 2事件 与事件 相互独立 D. ( + ) = 3
10.下列说法中正确的为( )
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A.已知 = (1,2)， = (1,1)，且 与 + ∈ ( 5夹角为锐角，则 3 , + ∞)
B.若 = 3，且 + =
2，则△ 3外接圆半径 3
C.若 < 0，则△ 是钝角三角形
D. △ 中，若 2 + 2 2 = 4 3 △ ，则 =

6
11.对非零向量 = ( , )，定义变换 ( ) = ( + , )，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确
的是( )
A. ∈ , ( ) = ( )
B.若 // ，则 ( )// ( )
C.设 ( 2,4)， (2, 2)， 为线段 的中点，则 ( ) = ( 1,5)
D.设 ( , 1)( > 0)， 为坐标原点， = ( )且点 ， ， 构成等腰三角形，则 = 2 + 7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.五个数 1，2，3，4， 的平均数是 3，则这五个数的标准差是______．
13.已知 、 满足| | = 4, = 6 2，若 在 方向上的投影向量为 3 ，则| +
| =______．
14.如图，直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = 7， = 3，点
在棱 1上，且 ⊥ 1，当△ 1的面积取最小值时，三棱锥
的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
如图，在四棱锥 中， = ，四边形 是正方形， 是 的中点．
(1)证明： //平面 ．
(2)证明：平面 ⊥平面 ．
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16.(本小题 12 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足 2 = 3 + 2 ．
(Ⅰ)求角 ；
(Ⅱ)若 = 14，求 sin(2 + )的值；
(Ⅲ)若 = 7， = 3，求 的值．
17.(本小题 12 分)
某市为了解人们对火灾危害的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次消防知识竞赛，满
分为 100 分(95 分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有 人，将这 人按年龄分成 5 组，其中第一
组为[20,25)，第二组为[25,30)，第三组为[30,35)，第四组为[35,40)，第五组为[40,45)，得到如图所示的
频率分布直方图．
(1)求图中 的值；

(2)利用频率分布直方图，估计这 名市民年龄的平均数 和第 74 百分位数 ；
(3)现从第三、四、五组中采用分层抽样的方法选取 6 人担任本市的消防安全宣传使者，再从中随机抽取 2
人作为组长，求组长中至少有一人的年龄在第四组内的概率．
18.(本小题 12 分)
如图，在四棱锥 中，侧面 ⊥底面 ，底面 为矩形， = ， 为 的中点， ⊥ ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)若 上存在点 ，使得 // 平面 ，求 的值；
(3)若 6与平面 所成角的正弦值为 3 , = 2，求四棱锥的 的体积．
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19.(本小题 12 分)
已知向量 = ( , )， = ( , 3 ) 3，函数 ( ) = 2 ．
(1)若 ( 02 ) =
1
3，且 0 ∈ (
, 2 2 )，求 0的值；
(2)已知 ( 3,2)， (3,10)，将 ( ) 的图象向左平移12个单位长度得到函数 ( )的图象.在 ( )的图象上是否
存在一点 ，使得 ⊥ ？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13. 37
14.28
15.证明：(1)记 ∩ = ，连接 ．
因为四边形 是正方形，所以 是 的中点．
因为 是 的中点，所以 // ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
(2)连接 ．
因为四边形 是正方形，所以 是 的中点．
因为 = ，所以 ⊥ ．
因为四边形 是正方形，所以 ⊥ ．
因为 ， 平面 ，且 ∩ = ，所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
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16.解：(Ⅰ) △ 中，2 = 3 + 2 ，
由正弦定理得 2 = 3 + 2 ；
又 = ( + )，
所以 2( + ) = 3 + 2 ，
所以 2 = 3 ；
又 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
所以 = 32 ；
又 ∈ (0, )，

所以 = 6；
(Ⅱ)若 = 14， ∈ (0, )，
所以 = 1 cos2 = 154 ，
15 1 15
所以 2 = 2 = 2 × 4 × 4 = 8 ，
2 = 2 2 1 = 2 × 116 1 =
7
8，
所以 sin(2 + ) = 2 + 2
15 3 7 1
= 8 × 2 8 × 2
= 3 5 716 ；
(Ⅲ)若 = 7， = 3，

由 = ，得 = = 3，
所以 = 3 3 = 1 = 2 3；
2
所以 2 = 2 + 2 2 = 49 + 12 2 × 7 × 2 3 × 32 = 19，
解得 = 19．
17.(1)根据题意可得 0.01 + 0.02 + + 0.06 + 0.07) × 5 = 1，解得 = 0.04；
(2)设这 人的平均年龄为：

= 22.5 × 0.01 × 5 + 27.5 × 0.07 × 5 + 32.5 × 0.06 × 5 + 37.5 × 0.04 × 5 + 42.5 × 0.02 × 5 = 32.25 岁，
因为前几组的频率依次为 0.05，0.35，0.3，0.2，
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所以第 74 百分位数在[35,40)之间，且为 35 + 0.74 0.70.04 = 36；
(3)若现从第三、四、五组中采用分层抽样的方法选取 6 人担任本市的消防安全宣传使者，
0.06 0.04
则从第三、四、五组中需依次选取 6 × 0.06+0.04+0.02 = 3,6 × 0.06+0.04+0.02 = 2,6 ×
0.02
0.06+0.04+0.02 = 1 人，
4×3
再从中随机抽取 2 人作为组长，求组长中至少有一人的年龄在第四组内的概率为 = 1 6×5 = 1
2
5 =
3
5．
18.(1)证明：在四棱锥 中，连接 ，
因为 = ，所以 ⊥ ，
又因为侧面 ⊥底面 ，侧面 ∩底面 = ， 侧面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)取 中点为 ，连 ， ，
因为 // ， 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
又因为 //平面 ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以平面 //平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
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因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ， ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，
又 为 中点，则 为 中点，
1
此时 = 2；
(3)由(1)可知 ⊥ ，所以△ 为等腰直角三角形，
又 = 2，所以 = 2，设 = ，则 = 2 + 2，
记点 到面 的距离为 ，
因为 // ， 平面 ， 平面 ，所以 / /平面 ，

因为 = 2，所以 = = 2 =
2
，
2+1
设 与平面 所成角为 ，
所以 = = 2 2 6 = = ， 2+2 2+1 3
4 2 2
即( 2+2)( 2+1) = 3，
整理得 4 3 2 + 2 = 0，
则 2 = 1 或 2 = 2，
解得 = 1 或 = 2，
即 = 1 或 2
1 4 4 2
所以 = 3 = 3或 3 ．
19.解：(1) ( ) = 32 = + 3cos
2 32 =
1 2 + 32 2 (1 + 2 )
3
2 = sin(2 +

3 )，
( 02 ) = sin( 0 +
) = 1 5 3 3，因为 0 ∈ ( 2 , 2 )，所以 0 + 3 ∈ ( 6 , 6 )，
1
而 sin( 0 + 3 ) = 3 < 0，所以 0 + 3 ∈ ( 6 , 0)，
所以 cos( 0 +

3 ) = 1 sin
2( 0 +
2 2
3 ) = 3 ，
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所以 0 = sin[( 0 +

3 )

3 ] =
1
2 sin(
3
0 + 3 ) 2 cos( 0 +

3 ) =
1+2 6
6 ；
(2)由题意得 ( ) = sin(2( + 12 ) + 3 ) = 2 ，
假设 ( )的图象上存在点 ( 1, 2 1)使得 ⊥ ，
因为 = ( 1 + 3, 2 1 2)， = ( 1 3, 2 1 10)，
因为 ⊥ ，
所以 = ( 1 + 3)( 1 3) + ( 2 1 2)( 2 1 10) = 21 + cos22 1 12 2 1 + 11 = 0，
令 ( 1) = 21 + cos22 21 12 2 1 + 11 = 1 + ( 2 1 6)2 25，
因为 2 1 ∈ [ 1,1]，
所以 ( 2 2 2 2 21) = 1 + ( 2 1 6) 25 ≥ 1 + (1 6) 25 = 1 ≥ 0，
= 0
当且仅当 1 2 = 1时取等，1
所以 ( 1) = 0 存唯一解 1 = 0，此时 2 1 = 1，点 (0,1)，
综上，符合条件的点 坐标为(0,1)．
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