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2024-2025 学年广东省汕尾市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 75° 30° 30° 75° =( )
A. 12 B.
2
2 C.
3
2 D.
3
3
2.若 = (6,2)， = ( , 1)，若 ⊥ ，则 的值是( )
A. 1 B. 13 3 C. 3 D. 3
3.已知复数 1 = + 2 与 2 = 3 + 互为共轭复数，则 1 2的值是( )
A. 4 B. 6 C. 9 D. 13
4.如图，在△ 中， 是 上靠近 的一个三等分点，记 = ， = ，则 可以用 ， 表示为( )
A. = 1 + 1 3 3
B. = 34 +
1
4
C. = 23 +
1
3
D. = 13 +
2 3
5.已知平面 ， ， 和直线 ， ， ，下列命题正确的是( )
A.若 ， ， // ， // ，则 //
B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 // ， // ，则 //
D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
6.已知 sin( ) cos( ) = 2 5 5 5 ， 是第四象限角，则 cos( + 4 )的值是( )
A. 10 10 3 10 3 1010 B. 10 C. 10 D. 10
7.已知集合 = { | + 2 6 = 0}，若 ，则符合条件的一个集合 是( )
A. = { | 2 5 + 6 > 0} B. = { | 2 5 + 6 < 0}
C. = { | < < 3} D. = { | > }
8.已知函数 ( )在定义域(0, + ∞)上单调，若对任意的 ∈ (0, + ∞)，都有 ( ( ) log2 ) = 3，则 (22025) 2
的值是( )
A. 22025 B. 22027 C. 2025 D. 2027
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.设复数 满足(3 4 ) = 1 + 2 ，则下列结论正确的是( )

A. 2 1的虚部为5 B. = 5
C. | | = 55 D.若 +
1
为虚数，则 = 5
10.声音是由于物体的振动产生，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数 = .已知某个
1 1
音是由三个纯音合成的，该音的数学模型为函数 = + 2 2 + 3 3 ，下列说法正确的是( )
A.该函数是偶函数 B.该函数的最小正周期为 2
C. 11该函数的最大值为 6 D.该函数的图象关于(2 , 0)对称
11.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为正方体的中心，
为 1的中点， 为侧面正方形 1 1 内一动点，且满足 1 / /平面 1 ，
则( )
A.动点 的轨迹是一条线段，线段长度为 2
B.直线 1与 1
3
的夹角的余弦值为 2
C.三棱锥 1 的体积为定值
D. 2 6若过 ， ， 1三点作正方体的截面 ， 为截面 上一点，则线段 1 长度最小值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在半径为 1 的半圆中，挖去一个三角形 ，其中 = ，再将所得平面图形
(如图)以线段 为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为______．
13.已知平行四边形 ，对角线 = 2 7， = 2 3， = 4，则边 = ____．
14.已知函数 ( ) = 2(2 + 1)的图象上存在点 ，函数 ( ) = 的图象上存在点 ，且当 ∈ [0, ]
时，存在点 ， 关于 轴对称的情况，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为棱 1， 1的中点．
(1)证明： 1 //平面 ；
(2)证明： ⊥ ．
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16.(本小题 15 分)
0 < < 已知 4，0 < <

4，cos( + ) =
1
5，cos( ) =
3
5．
(1)分别求 ， ， 的值；
(2)求 + + 2 6 的值．
17.(本小题 15 分)
如图，一艘巡逻船从小岛 出发，沿北偏东 75°的方向航行 海里后到达小岛 ，然后从小岛 出发，继续沿
某一方向航行 海里后到达小岛 .小岛 与小岛 相距 海里.三个小岛构成△ .其中 ， ， 分别为三角形
在顶点 ， ， 处的内角．
(1)若满足关系式： + = 2 ，求巡逻船从小岛 直接航行到小岛 时应采用的方向(以北偏
东角度表示)；
(2)巡逻船从小岛 向小岛 直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在 点抛锚.若从小岛 直接前往救

援，需行驶 2 海里到达 点.若△ 满足关系式：2 = ，求 + 2 的最大值．
18.(本小题 17 分)
已知圆 为单位圆，正方形 的边长为 2．
(1)如图 1，求正方形 中不与圆 重叠部分的面积 ；
(2)将圆 沿边 所在的直线向上翻折(以 为轴).动点 ， 位于翻折后的两个不同的半圆上(如图 2 所示)，
动点 在边 上，动点 在边 上，且四边形 始终为矩形，求四棱锥 的最大体积 ．
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19.(本小题 17 分)
通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对( 1, 2)( 1, 2 ∈ )
看作一个向量，记作 = ( 1, 2)，称 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于 = ( 1, 2)， =
( 3, 4)( 1, 2, 3, 4 ∈ )，我们定义复向量运算法则：①加法： + = ( 1 3, 2 4)；②减法： =

( 1 + 3, 2 + 4)；③数乘： = ( 1, 2)( ∈ )；④数量积： = 1 3+ 2 4；⑤模：| | = ．
(1)设 = (1,2 )， = (1 + , 2 )，求 和| + |；
(2)验证复向量结合律： ( + ) = + 是否成立；
(3)设 = (2 + 2 , 2 )，集合 = { | = ( , + 2 ), ∈ }， ∈ ，求| + |的最小值；并证明当| + |取最
小值时，对于任意的 ∈ ，( + ) ( + ) = 0．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 3
13.2
14.[ 2(2 + 1) , 1]
15.证明：(1)取 1的中点 ，连接 1 ， ，
因为 ， 分别为 1， 1的中点，所以 // 1 1， = 1 1，
又因为 1 1// 1 1， 1 1 = 1 1，所以 // 1 1， = 1 1，
所以四边形 1 1 为平行四边形，所以 1 // 1 ， 1 = 1
又因为 为 1的中点， 1的中点为 ，所以 // 1， = 1，
所以四边形 1 为平行四边形，
所以 // 1 ，所以 1 // ，
又因为 1 平面 ， 平面 ，所以 1 //平面 ．
(2)连接 ，
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因为 1 1 1 1为正方体，所以 = ，
故△ 为等腰三角形．
因为 为 的中点，
所以 ⊥ ．
16.(1)因为 cos( + ) = = 15…①，
cos( ) = + = 35…②，
= 1 = 2由①②组成方程组，解得 5， 5，
所以 = 1cos cos = 2；
(2) 由 0 < < 4，0 < < 4，可得 0 < + <

2，
因为 cos( + ) = 15，所以 sin( + ) = 1 cos
2( + ) = 2 65 ，
tan( + ) = sin( + )所以 cos( + ) = 2 6，
原式= tan( + )(1 ) + 2 6 = 2 6 2 6 + 2 6 = 2 6．
17.(1)因为 + = 2 ，
所以 + = 2 ，
可得 sin( + ) = = 2 ，
因为 ≠ 0 1，解得 = 2，
由于 0° < < 180°，可得 = 60°，
故巡逻船从小岛 直接航行到小岛 时应采用北偏东 15°的方向航行；
2 2 2
(2)依题意， = 2 + ，由正弦定理及余弦定理，有 2 × 2 = ，解得 = ，
( )22 +
2 2 ( )2+ 2 2
又因为 cos∠ + cos∠ = +
2
= 0，2 2 2 2
化简得 2 + 2 2 = 16，
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因为 2 + 2 2 = ( + 2 )2 2 2 ≥ ( + 2 )2 2( + 2 2 )
2，
即( + 2 )2 ≤ 32，故 + 2 ≤ 4 2，当且仅当 = 2 = 2 2时取等号，
所以 + 2 的最大值为 4 2．
18.(1)法一：因为正方形 中的顶点 为圆 的圆心，
故正方形 中与圆 1 重叠部分的面积为 重叠 = 4 圆 = 4，

得到正方形 中不与圆 重叠部分的面积 = 2 × 2 重叠 = 2 4．
法二：正方形 的面积为 = ( 2)21 = 2，

而圆 的面积为 2 = 12 = ，由 = 2，故重叠部分的面积为 3 = 4，
则正方形 中不与圆 重叠部分的面积 = 1 3 = 2

4．
(2)记四棱锥 的高为 ，底面积为 矩形 ．
现要使四棱锥 的体积 达到最大，则需要 与 矩形 均达到最大值．
单位圆 沿边 所在的直线向上翻折(以 为轴)，
当翻折后的两个半圆所在的两个平面相互垂直，
且点 在点 的正上方，此时 达到最大值， = 1，
如图，连接 ，设∠ = ，

因为四边形 为矩形，所以 ∈ [0, 2 ]，
则 = ， = ，
因为 = = 2， = 1，所以 = 2 ， = 2 ，
则 矩形 = = ( 2 )( 2 ) = 2 2( + ) + ，
因为 = 12 ( + )
2 12，所以令 + = ，

因为 ∈ [0, 2 ]，所以结合辅助角公式得 = 2sin( + 4 ) ∈ [1, 2]，
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1 3
得到 2矩形 = 2 2 + 2 =
1 ( 2)2 + 12 2， ∈ [1, 2]，
结合二次函数性质可得，当 = 1 时， 矩形 取到最大值，
此时 矩形 = 2 2，且 = 0 =

或 2，
故四棱锥 的最大体积 = 1 × (2 2) × 1 = 2 2．3 3
19.(1)因为 = (1,2 )， = (1 + , 2 )，

所以 = 1 × 1 + + (2 )2 = 1 2(2 ) = 1 4 + 2 2 = 1 5 ，
+ = (1 1 , 2 2 ) = ( , 2 3 )，
| + | = × + (2 3 )(2 + 3 ) = 2 + 4 9 2 = 14．
(2)(法一)设 = ( 1, 2)， = ( 3, 4)， = + ， 1， 2， 3， 4，( 1, 2)( 1, 2 ∈ )，

= ( 1, 2) = (( ) 1, ( ) 2)， = ( 3, 4) = (( ) 3, ( ) 4)，
故 + = (( ) 1 ( ) 3, ( ) 2 ( ) 4) = (( )( 1 3), (
)( 2 4))．
又因为 + = ( 1 3, 2 4)，

故 ( + ) = ( ( 1 3), ( 2 4)) = (( )( 1 3), ( )( 2 4))，
所以有 ( + ) = + 成立，即复向量结合律成立．
(法二)设 = ( 1, 2)， = ( 3, 4)， 1， 2， 3，( 1, 2)( 1, 2 ∈ )，
所以 + = ( 1 3, 2 4)，

故 ( + ) = ( ( 1 3), ( 2 4)) = ( 1 3, 2 4)，

因为 = ( 1, 2)， = ( 3, 4)，

所以 + = ( 1 3, 2 4)，则复向量结合律成立．
(3)证明：由 = (2 + 2 , 2 )， ∈ ，不妨设 = ( + , + + 2 )，
则 + = (2 + 2 , 2 2 ) = (2 + (2 ) , )，
| + | = (2 + (2 ) )(2 (2 ) ) + ( )( + )
= (2 )2 + ( 2)2 + 2 + 2 = 2( 2 + 2) 4( + ) + 8．
所以| + | = 2( 1)2 + 2( 1)2 + 4 ≥ 2，
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当且仅当 = = 1 时，等号成立．即| + |的最小值为 2．
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