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2024-2025学年广东省汕尾市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.若，，若，则的值是( )
A. B. C. D.
3.已知复数与互为共轭复数，则的值是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，是上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是( )
A. 若，，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
6.已知，是第四象限角，则的值是( )
A. B. C. D.
7.已知集合，若，则符合条件的一个集合是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则的值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数满足，则下列结论正确的是( )
A. 的虚部为 B.
C. D. 若为虚数，则
10.声音是由于物体的振动产生，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数已知某个音是由三个纯音合成的，该音的数学模型为函数，下列说法正确的是( )
A. 该函数是偶函数 B. 该函数的最小正周期为
C. 该函数的最大值为 D. 该函数的图象关于对称
11.如图，在棱长为的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则( )
A. 动点的轨迹是一条线段，线段长度为
B. 直线与的夹角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在半径为的半圆中，挖去一个三角形，其中，再将所得平面图形如图以线段为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为______．
13.已知平行四边形，对角线，，，则边 ____．
14.已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且当时，存在点，关于轴对称的情况，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点．
证明：平面；
证明：．
16.本小题分
已知，，，．
分别求，，的值；
求的值．
17.本小题分
如图，一艘巡逻船从小岛出发，沿北偏东的方向航行海里后到达小岛，然后从小岛出发，继续沿某一方向航行海里后到达小岛小岛与小岛相距海里三个小岛构成其中，，分别为三角形在顶点，，处的内角．
若满足关系式：，求巡逻船从小岛直接航行到小岛时应采用的方向以北偏东角度表示；
巡逻船从小岛向小岛直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在点抛锚若从小岛直接前往救援，需行驶海里到达点若满足关系式：，求的最大值．
18.本小题分
已知圆为单位圆，正方形的边长为．
如图，求正方形中不与圆重叠部分的面积；
将圆沿边所在的直线向上翻折以为轴动点，位于翻折后的两个不同的半圆上如图所示，动点在边上，动点在边上，且四边形始终为矩形，求四棱锥的最大体积．
19.本小题分
通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记作，称为复向量类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们定义复向量运算法则：加法：；减法：；数乘：；数量积：；模：．
设，，求和；
验证复向量结合律：是否成立；
设，集合，，求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的，．
参考答案
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13.
14.
15.证明：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，所以，，
又因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为为的中点，的中点为，所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
连接，
因为为正方体，所以，
故为等腰三角形．
因为为的中点，
所以．
16.因为，
，
由组成方程组，解得，，
所以；
由，，可得，
因为，所以，
所以，
原式．
17.因为，
所以，
可得，
因为，解得，
由于，可得，
故巡逻船从小岛直接航行到小岛时应采用北偏东的方向航行；
依题意，，由正弦定理及余弦定理，有，解得，
又因为，
化简得，
因为，
即，故，当且仅当时取等号，
所以的最大值为．
18.法一：因为正方形中的顶点为圆的圆心，
故正方形中与圆重叠部分的面积为，
得到正方形中不与圆重叠部分的面积．
法二：正方形的面积为，
而圆的面积为，由，故重叠部分的面积为，
则正方形中不与圆重叠部分的面积．
记四棱锥的高为，底面积为．
现要使四棱锥的体积达到最大，则需要与均达到最大值．
单位圆沿边所在的直线向上翻折以为轴，
当翻折后的两个半圆所在的两个平面相互垂直，
且点在点的正上方，此时达到最大值，，
如图，连接，设，
因为四边形为矩形，所以，
则，，
因为，，所以，，
则，
因为，所以令，
因为，所以结合辅助角公式得，
得到，，
结合二次函数性质可得，当时，取到最大值，
此时，且或，
故四棱锥的最大体积．
19.因为，，
所以，
，
．
法一设，，，，，，，，
，，
故．
又因为，
故，
所以有成立，即复向量结合律成立．
法二设，，，，，，
所以，
故，
因为，，
所以，则复向量结合律成立．
证明：由，，不妨设，
则，
．
所以，
当且仅当时，等号成立．即的最小值为．
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