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2024-2025 学年陕西省汉中中学高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 是虚数单位，复数 满足 = 1 + ，则 =( )
A. 1 + B. 1 C. 1 + D. 1
2.已知角 终边与单位圆交于点 ( 35 ,
4
5 )，则( )
A. = 35 B. =
3
5 C. =
3 3
5 D. = 5
3.已知向量 ， 不共线， + 与 3 + 2 共线，则实数 的值为( )
A. 32 B. 2 C. 6 D.
2
3
4.已知 1 1 1 1为正方体， 、 分别为 、 1的中点，则二面角 的大小为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
5.已知单位向量 ， 满足(2 ) ⊥ ，则 与 的夹角为( )
A. B. 2 6 3 C. 2 D. 3
6.将函数 = sin(2 + ) 6 的图象向左平移12个单位长度后，所得图象对应的函数为( )
A. = sin(2 + 4 ) B. = sin(2 +

3 ) C. = sin(2

12 ) D. = 2
7.如图，已知球 是棱长为 1的正方体 1 1 1 1的内切球，则平面 1截球 的截面面积为( )
A. 66
B. 3
C. 6
D. 33
8.为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近洵江河岸的一座
“使命塔”的高度 ，如图所示，可以选取与该塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ，现测得
∠ = 15°，∠ = 135°， = 20 ，在点 测得“使命塔”塔顶 的仰角为 60°，则“使命塔”高
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=( )
A. 30
B. 20 6
C. 20 3
D. 20 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在四面体 中，点 ， ， ， 分别是棱 ， ， ， 的中
点，截面 是正方形，则下列结论正确的为( )
A. //截面
B.异面直线 与 所成的角为 60°
C. ⊥
D. ⊥平面
10.已知向量 = (2, 3), = ( 1, )，则( )
A.若 // 3，则 = 5
B.若 ⊥ ，则 = 2
C.若| | = | |，则 = 2 或 3
D.若 = 1 3 32，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为( 2 , 2 )
11.若函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，则( )
A. = 2
B. = 6
C. ( )在( 2 ,
5
6 )上单调递减
D. ( 2 ) = 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1,0)， = (1,1)，则|2 + | =______．
13.若 cos( 4 + ) =
3
5 , < <
7
4， = ______．
14.如图，点 、 分别是直角三角形 的边 、 上的点，斜边 与扇形的弧 相切，
已知 = 4， = 2，则阴影部分绕直线 旋转一周所形成的几何体的体积为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
∈ (0, 已知 2 )，且 cos( +
) = 34 5．
(1)求 的值；
cos( 2+ )+3 (

2 )(2)求 sin( ) cos( + )的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在边长为 4 的正方体 1 1 1 1中，点 在 1上.
(1)当 是 1中点时，证明： 1//平面 ；
(2)当 和 1重合时，求三棱锥 的表面积．
17.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 的底面是菱形， ⊥底面 ， 、 分别是 、 的中点， = 6， = 5，∠ =
60°．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求证：平面 ⊥平面 ．
18.(本小题 17 分)
在△ 中， ， ， 分别是三内角 ， ， 的对边，且(2 ) = 0．
(1)求角 的值；
(2)若 = 3，设角 的大小为 ，△ 的周长为 ，求 = ( )的最大值．
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19.(本小题 17 分)

我们把由平面内夹角成3的两条数轴 ， 构成的坐标系称为“广义坐标系”.如图 1， 1, 2分别为 ，
正方向上的单位向量.若向量 = 1+ 2，则把实数对( , )叫作向量 的“广义坐标”，记 = ( , ).
已知向量 , 的“广义坐标”分别为(2,1)，( 1,2)．
(1)求 2 + 的“广义坐标”；
(2)求向量 与 的夹角的余弦值；
(3)以 为原点，建立如图 2 所示的平面直角坐标系 ′，若向量 在平面直角坐标系中的坐标为(4,2 3)，
求向量 的“广义坐标”．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 10
13. 210
14.2 33
15.(1)因为 ∈ (0, 3 2 )，所以 + 4 ∈ ( 4 , 4 )，
因为 cos( + ) = 3 3 44 5，所以 sin( +
2
4 ) = 1 ( 5 ) = 5，

所以 = cos[( + 4 ) 4 ] = cos( + 4 )cos 4 + sin( + 4 )sin 4
= 35 ×
2 4 2 7 2
2 + 5 × 2 = 10 ；
(2) = 7 2 因为 10 ， ∈ (0, 2 )，
所以 = 1 ( 7 2 2 210 ) = 10，
2
所以 = 10 1cos = 7 2 = 7，
10
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cos( 2 + )+ 3 (

2 ) + 3
sin( ) cos( + ) = sin + cos
+ 3
= tan + 1
17+3= 51 =+1 2
．
7
16.(1)如图，连结 交 于点 ，因为 是 1中点，
所以 1// ，
又因为 平面 ， 1 平面 ，
所以 1//平面 ．
(2)当 与 1重合时，三棱锥 即三棱锥 1，
则在边长为 4 的正方体 1 1 1 1中，
△ 1是边长为 4 2的正三角形，
所以三棱锥 表面积为：
= △ 1 + △ + △ 1 + △ 1
= 34 × (4 2)
2 + 4×42 +
4×4
2 +
4×4 ．
2 = 24 + 8 3
17.证明：(1) ∵底面 是菱形，连接 ， ，
∵ ∠ = 60°，
∴△ 是正三角形，∵ ⊥底面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，又∵ 是 的中点，∴ ⊥ ，
而 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(2)连接 ，由菱形 ，得 ⊥ ，由 是 的中点，
得 // ，则 ⊥ ，
∴ ⊥底面 ， 底面 ，
得 ⊥ ，
又∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ．
18.(1)由(2 ) = 0，得(2 ) = 0．
1
化简： = 2，∴ = 3．
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(2) 3 2 由正弦定理 = = 3 = 2得 = 2 ， = 2 ( 3 )，
2
= ( ) = + + = 2 + 2 ( 2 3 ) + 3 = 2 3sin( +

6 ) + 3，故 = ( )的最大值为 2 3 +
3 = 3 3．
19.(1)根据题意，向量 , 的“广义坐标”分别为(2,1)，( 1,2)．
则 = 2 1 + 2, = 1+ 2 2，
故 2 + = 2(2 1 + 2) + ( 1 + 2 2) = 3 1+ 4 2，
故 2 + 的“广义坐标”为(3,4)；
(2)根据题意， 1, 2分别为 ， 正方向上的单位向量，数轴 ， 的夹角成3，
则| 1| = | 2| = 1, 1, 2 =

3，
= | | | |cos 1则有 1 2 1 2 3 = 2，
故 = (2 1 +
2 2 2 2
2) ( 1 + 2 2) = 2 1 + 4 1 2 1 2 + 2 2 = 2 1 + 3 1 2 + 2 2 = 2+
3 3
2 + 2 = 2，
| |2 = 2 = (2 1 + 22) = 4
2
1 + 4 1 2+
2
2 = 4 + 2 + 1 = 7，故| | = 7，
| |2
2
= = ( 1+ 2 2)2 = 1
2 4 1 2 + 4 2
2 = 1 2+ 4 = 3，故| | = 3，
3
cos , =

故 = 2 21
| | | | 7× 3
= 14 ；
(3)根据题意， 1, 2分别为

， 正方向上的单位向量，数轴 ， 的夹角成3，
1 3
则在平面直角坐标系中， 1 = (1,0), 2 = ( 2 , 2 )，
设 = 1 + 2，向量 在平面直角坐标系中的坐标为(4,2 3)，
所以 (1,0) + ( 12 ,
3
2 ) = (4,2 3)，
+ 12 = 4 = 2
所以 3 ，解得 ，
2 = 2 3
= 4
故向量 的“广义坐标”为(2,4)．
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