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动能定理和机械能守恒（一）
1．人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实。某次打夯过程简化为以下模型：两人同时通过绳子对重物各施加一个大小为，方向与竖直方向成的恒力作用，使重物离开水平地面后即停止施力，最后重物自由下落把地面砸深。已知重物的质量为，取重力加速度，，，忽略空气阻力，求：
(1)两人对绳子的合力大小；
(2)重物刚落地时的速度大小；
(3)地面对重物的平均阻力。
2．如图所示，运动员以一定速度从P点沿水平方向离开平台，恰能从A点与轨道相切进入粗糙圆弧轨道AC，沿圆弧轨道在竖直平面做圆周运动。已知运动员（含装备）质量m=50kg，运动员进入圆弧轨道时的速度大小vA=10m/s，圆弧轨道的半径R=4m，圆弧轨道AB对应的圆心角∠。测得运动员在轨道最低点B时对轨道的压力是其总重力的3.8倍。取重力加速度， ，。将运动员视为质点，忽略空气阻力。求：
(1)运动员从P点到A点运动过程所用时间t；
(2)运动员在B点时的动能；
(3)在圆弧轨道AB段运动过程中，摩擦力对运动员所做的功W。
3．如图所示，动摩擦因数为μ的粗糙水平地面AB与半径R＝0.4m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上。质量m＝2kg的小物块在9N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动，当小物块运动到B点时撤去力F。已知小物块到达D点时与轨道之间作用力为80N，AB＝9m，重力加速度，不计空气阻力，求：
(1)小物块到达B点时速度的大小；
(2)摩擦因数μ的大小；
(3)小物块从离开D点到落到水平地面上需要的时间。
4．如图所示，半径的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一质量可以看成质点的物体从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动恰好能通过B点飞出，最后落在水平地面上的C点（图上未画），g取10m/s2。求：
(1)物体通过B点时速度的大小；
(2)A与C之间距离x的大小；
(3)物体刚进入圆轨道A点时轨道对物体支持力的大小。
5．如图所示，足够长的水平轨道和半径R为2.5m的半圆轨道位于同一竖直平面内，两轨道相切于B点。水平轨道左端有一固定墙面，轻弹簧左端固定在墙面上，右端与一质量的小物块（可视为质点）接触，小物块在A点时，弹簧处于自然状态，C点是半圆轨道最高点，O点为圆心，D在半圆轨道上，OD与水平线的夹角为，不计一切摩擦阻力。使小物块压缩弹簧至某点（未超出弹性限度）后释放，小物块从C点离开半圆轨道落在水平轨道上，落点与B点相距5m，重力加速度g取，求：
(1)小物块离开C点时的速度大小；
(2)小物块释放瞬间弹簧弹性势能；
(3)小物块在D点对半圆轨道的压力大小。
6．如图所示，一半径为的竖直圆弧轨道（其中BC段光滑，CD段粗糙）与水平地面相接于B点，C、D两点分别位于轨道的最低点和最高点。距地面高度为的水平台面上有一质量为可看作质点的物块，物块在水平向右的恒力的作用下，由静止开始运动，经过时间到达平台边缘上的A点，此时撤去恒力F，物块在空中运动至B点时，恰好沿圆弧轨道切线方向滑入轨道，物块运动到圆弧轨道最高点D时对轨道恰好无作用力。物块与平台间的动摩擦因数，空气阻力不计，取；.求：
(1)物块到达A点时的速度大小；
(2)物块到达B点时的速度大小；
(3)物块通过圆弧C点时受轨道的支持力大小；
(4)物块从C点运动到D点过程中克服摩擦力所做的功。
7．如图所示，质量为的滑块（可视为质点）放在光滑平台上，向左缓慢推动滑块压缩轻弹簧至点，释放后滑块以一定速度从点水平飞出后，恰好从点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道，然后从点进入与圆弧轨道相切于点的水平面，同一竖直平面内的光滑半圆轨道与水平面相切于点。已知圆弧轨道的半径，两点的高度差，光滑圆对应的圆心角为，滑块与部分的动摩擦因数，，重力加速度。求：
(1)弹簧对滑块做的功；
(2)滑块到达圆弧末端时对轨道的压力；
(3)滑块冲上半圆轨道后中途不会脱离半圆轨道，轨道的半径满足的条件。
8．如图所示，某装置处于竖直平面内，该装置由弧形轨道、竖直螺旋圆形轨道，水平直轨道AF和传送带FG组成，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与弧形轨道相切于A点，螺旋圆形轨道半径R=0.3m，AF长度L=0.8m，传送带长度足够长。现将质量m=0.3kg的小滑块从弧形轨道距AF高H=1.0m的M处由静止释放。滑块与轨道AF间的动摩擦因数μ=0.25，与传送带间的动摩擦因数未知，传送带始终以3m/s的速度逆时针匀速转动。不计空气阻力，弧形轨道和圆形轨道均可视为光滑，重力加速度g取10m/s2，求：
(1)小滑块第一次运动到A点时的速度大小；
(2)滑块运动至圆轨道最高点 D点对轨道压力大小；
(3)滑块最终停在距A点多远处。
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
1．(1) (2) (3)，方向竖直向上
【详解】（1）根据力的合成可知两人对绳子的合力为
（2）两人通过绳子对重物做功为
根据动能定理有
解得重物刚落地时速度大小为
（3）对重物先上升后下降的全过程，由动能定理有
解得地面对重物的平均阻力为
方向竖直向上。
2．(1)0.6s (2)2800J (3)-100J
【详解】（1）由于运动员从P到A的运动过程为平抛运动，且vA=10m/s，故运动员在A点竖直方向速度
解得
（2）在B点由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律可知
运动员在B点的动能
解得
（3）运动员从A到B过程，由动能定理得
解得
所以在圆弧轨道AB段运动过程中，摩擦力对运动员所做的功为-100J。
3．(1) (2)0.25 (3)0.4s
【详解】（1）小物块到达D点时，根据牛顿第二定律可得
解得
从B到D，根据动能定理可得
解得
（2）小物块从A到B，由动能定理可得
解得μ＝0.25
（3）从D点离开后，小物块做平抛运动，在竖直方向上则有
解得t＝0.4s
4．(1)2.0m/s (2)0.8m (3)30N
【详解】（1）物体恰好通过B点时，根据牛顿第二定律可得
可得
（2）物体从B点飞出做平抛运动，根据
A与C之间的距离为
可得
（3）物体经A点时受力分析如图所示
根据动能定理，物体由A点运动到B点的过程中，有
根据牛顿第二定律可得
可得
5．(1) (2) (3)
【详解】（1）小球离开C点做平抛运动，有，
解得
（2）小球从释放到C点，由能量守恒定律得
解得
（3）设小球在D点的速率为，小球从D点运动至C点由动能定理有
在D点，根据牛顿第二定律可得
联立解得
根据牛顿第三定律可知，小物块在D点对半圆轨道的压力大小为
6．(1) (2) (3) (4)
【详解】（1）物体在平台上运动时，由牛顿第二定律得，
代入数据解得
（2）从A点到B点，由动能定理得
代入数据解得
（3）设OB与OC的夹角为，则
从B点到C点，由动能定理得
在C点
解得
（4）轨道最高点D时，重力提供向心力，则
从C点到D点，由动能定理得
解得
7．(1)18J (2)，方向竖直向下 (3)或
【详解】（1）根据能量守恒有
由题意知，
解得
（2）滑块由点到点由动能定理得
又
根据牛顿第二定律
解得
由牛顿第三定律可得，滑块到达圆弧未端时对轨道的压力大小为，方向竖直向下。
（3）滑块冲上半圆轨道后不会脱离轨道运动，分两种情况：一是到达与圆心等高处时速度恰好为零；二是到达半圆弧轨道最高点。
①到达与圆心等高处时速度恰好为零
由动能定理得
解得
②滑块能够到达半圆弧轨道最高点
由动能定理得
在最高点，重力恰好提供向心力
解得
综上，若滑块冲上半圆轨道后不会脱离轨道运动，则满足或
8．(1) (2) (3)0.6m
【详解】（1）小滑块第一次运动到A点过程，根据动能定理有
解得
（2）滑块运动至圆轨道最高点 D点过程，根据动能定理有
解得
滑块正最高点 D点，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律可知，滑块对轨道压力大小为5N。
（3）滑块第一次通过AF到达F点过程，根据动能定理有
解得
由于
可知，滑块在传送带上先向右减速，后向左加速，最后以3m/s速度向左匀速运动，则有
滑块向左运动至A点过程，根据动能定理有
解得
滑块在圆弧轨道上下半圆摆动时，最低点A的最大速度为，则有
解得
由于
可知，滑块不脱离圆轨道，在圆轨道下侧摆动，根据动能定理有
解得
可知，滑块再次减速到达F后以小于皮带的速度冲上皮带，滑块在传送带上先向右减速，后向左加速，最后以小于3m/s速度向左滑离皮带，在AF之间减为0，最终停止在离A点距离为
答案第1页，共2页
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