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【中考专项特训】2026年中考数学专项提优练习：代数式
一、填空题
1．若，则　 　．
2．已知，则分式为　 　．
3．把多项式因式分解得(x+3)(x+2)，则m＝　 　．
4．已知实数x，y满足，则　 　．
5．把四张完全相同的长方形纸片（阴影）和两本完全相同的长方形课本（空白）按如图方式摆放．根据图中标注尺寸，可得长方形纸片的长与宽之差为　 　.
6．如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为　 　．
7． 转化是解决数学问题的一种重要策略，可将不规则的图形转化为规则图形，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的.如图，是两个部分重合的等腰直角三角形，腰长分别为a，b(a>b)，a+b=7，a-b=2，阴影部分面积分别为，，则=　 　.
二、选择题
8．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9． 若的乘积中不含项，则常数a的值为（　　）
A．3 B． C． D．－3
10． 下列因式分解正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
11．科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为0.0000061米，将数据0.0000061用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（　　）
A．x2-y2=(x+y)(x-y) B．x2+y2=(x+y) (x-y)
C．(x+y) (х-y)=x2-y2 D．(x+y)(x-y)=x2+y2
13． 分式的值为0的条件是（　　）
A．x=-2 B．x=-1 C．x=1 D．x=2
14． 在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（　　）
A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4
15． 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．6x＝2 3x
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．﹣a2+6a﹣9＝﹣（a﹣3）2
16． 先阅读：
①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：32＝____．填9．
②如果正数m的平方等于a，则m是a算术平方根，如求9的算术平方根：＝____．填3．
③在底数、指数、幂中，知道底数和幂，通过逆运算可以求指数．如：2x＝4，x＝____．填2；
再比如：2x＝8，x＝____．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”：2x＝4，求x，记作：log24＝2．理解以上内容后计算log464﹣log55＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
三、计算题
17．
（1）解方程：；
（2）解方程组：；
（3）若 x， y>0，解方程组：；
（4）因式分解：.
四、解答题
18． 先化简 再从-2，0，1中选一个合适的数代入求值.
19． 若 4a+1的算术平方根是7，3b—2的立方根是-5，c是 的整数部分，求4a+b+3c的平方根.
20．老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有已化为最简的代数式的卡片，规则是若两名同学的代数式相减等于第三名同学的代数式，则实验成功.甲、乙、丙的卡片如图，丙的卡片有一部分看不清楚了.
（1）计算出甲减乙的结果，并判断甲减乙能否使实验成功；
（2）嘉琪发现丙减甲可以使实验成功，请求出丙的代数式.
21．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化.
（1） 观察图 1，它所对应的公式为　 　.（填写对应公式的序号）
①；
②；
③.
（2） 如图 2，边长为 a， b 的长方形，它的周长为 12，面积为 5，求 的值；
（3） 将正方形 ABCD 与正方形 AEFG 如图 3 摆放，当正方形 ABCD 与正方形 AEFG 面积和为 74，，求图中阴影部分面积和.
22．一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：
①；
②；
③
（1）仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（2）仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（3）已知x、y均为正整数，，且M、N均为正数．若M+N＝3，请求出x、y的值．
23．对于多项式x2+2x-3，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+2x-3=0，这是可以确定多项式中有因式（x-1）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x-a），于是我们可以把多项式写成：x2+2x-3=（x-1）（mx+n）.
（1） 求式子中m， n的值：
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式2x2+5x+3：
（3）小东猜想：如果将x=a代入多项式x3-8能使x3-8=0，那么x3-8就一定能分解成如下形式（x-a）（bx+cx+d）.你认为小东的猜想是否正确？若正确，请直接写出a、b、c、d的值：若不正确，请说明理由，
答案解析部分
1．【答案】
2．【答案】
3．【答案】5
4．【答案】
5．【答案】5
6．【答案】220
7．【答案】7
8．【答案】D
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】C
12．【答案】A
13．【答案】C
14．【答案】B
15．【答案】D
16．【答案】A
17．【答案】（1）解：x=3
（2）解：
（3）解：
（4）解：(x-1)(x+2)(x2+x+5)
18．【答案】化简：解：
·2分
=a-2
求值：情况①：把a=0代入
原式=0-2
=-2
情况②：把a=1 代入
原式=1-2
=-1
19．【答案】解：∵4a+1的算术平方根是7， 3b-2的立方根是-5，
∴4a+1=49， 3b-2=-125，
解得： a=12， b=-41，
∵9<10 <16，
的整数部分是3，
∴c=3，
∴4a+b+3c=4×12+(-41)+3×3=48-41+9=16，
∴4a+b+3c的平方根是±4.
20．【答案】（1）根据题意，得
∵丙的代数式的常数项为2，2≠-4，
∴甲减乙不能使实验成功.
（2）
21．【答案】（1）①
（2）解：∵边长为 a， b 的长方形，它的周长为 12，面积为 5
∴2(a+b)=12，ab=5
∴a+b=6
∴(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=12
（3）解：延长GF交BC于点M
设AE=a，则正方形AEFG的面积为a2，正方形ABCD的面积为为(a+2)2
∵正方形ABCD与正方形AEFG面积和为74
∴(a+2)2+a2=74
∴a2+2a+1=36
∴(a+1)2=36
∴a+1=6（负号舍去）
∴a=5
∵
=2a+2
=12
22．【答案】（1）解：1；
2（x﹣1）；
（2）解：
＝x2
＝x2﹣3x+9；
（3）解：∵1，
1，
因为M+N＝3，
所以113，
即1，
令x﹣5＝a，7y﹣5＝b，
∴，
∴ab﹣5a﹣5b＝0，
∴ab﹣5a﹣5b+25＝25，
∴（ab﹣5a）﹣（5b﹣25）＝25，
∴a（b﹣5）﹣5（b﹣5）＝25，
∴（a﹣5）（b﹣5）＝25，
∵M、N均为正数，x、y均为正整数，
∴a，b为正整数，
∴或或，
∴或（此时y，舍去）或（此时y，舍去），
∴a＝6，b＝30，
∴x＝11，y＝5，
经检验，符合题意，
∴x＝11，y＝5．
23．【答案】（1）解：∵(x-1)(mx+n)=mx2+(n-m)x-n=x2+2x-3，
∴m=1， n=3；
（2）解：把x=-1代入多项式2x2+5x+3=0，
则(x+1)(ax+b)=ax2+(a+b)x+b=2x2+5x+3，
a=2，b=3，
因此 2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)
（3）解：∵将x=2代入多项式x3-8能使x3-8=0，
∴(x-2)(bx2+cx+d)=bx3+(c-2b)x2+(d-2c)x-2d= x3-8，
∴b=1， c=2， d=4，
∴a=2， b=1，c=2， d=4.
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