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第三章圆锥曲线的方程常考易错检测卷-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
一、选择题
1．已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（　　）
A． B． C． D．
3．已知椭圆 的左右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
5．已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为（　　）
A．1 B． C． D．
6．已知抛物线 ： 和圆 ： ，过 点作直线 与上述两曲线自左而右依次交于点 ， ， ， ，则 的最小值为（　　）
A． B．2 C．3 D．
7．已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能为一体的廊桥．该桥始修于明成化乙巳年（年），南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大一桥孔（如图所示），当孔顶到水面距离为时，跨度达到了．若水面从图中示意位置上升，则水面宽变为（　　）．
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知椭圆，，则（为椭圆上的点到两焦点的距离之和，为两焦点之间的距离）为（　　）
A． B． C． D．
10．已知双曲线C：，则（　　）
A．双曲线C的离心率为
B．双曲线C的虚轴长为
C．双曲线C的焦点坐标为
D．双曲线C的渐近线方程为
11．已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于不同的两点，，则（　　）
A．
B．若，则直线的斜率为
C．若的面积为16，则直线的倾斜角为或
D．若线段的中点为P，点P在C的准线上的射影为，则
三、填空题
12．已知 为椭圆 的右焦点.直线 与椭圆C相交于A，B两点，A，B的中点为P，且直线OP的斜率 ，则椭圆C的方程为　 　.
13．已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M：，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为　 　.
14．双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点P，若，则双曲线的离心率为　 　．
四、解答题
15．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率；
（2）渐近线方程为，经过点．
16．已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为12，点到轴的距离为9．
（1）求的值；
（2）若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点．求线段的长．
17．已知椭圆C：（）的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形的面积.
18．在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为.
（1）求，的方程：
（2）设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明；
（3）过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值.
19．给定椭圆：，我们称椭圆为椭圆的“伴随椭圆”.已知，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，等腰的面积为，且顶角的余弦值为
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上一点（非顶点），直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，证明：为定值．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】B,C
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】4
14．【答案】
15．【答案】（1）解：设双曲线的标准方程为：，由题知：
，双曲线方程为：.
（2）解：设双曲线方程为：，
将代入，解得，
所以双曲线方程为：.
16．【答案】（1）解：设，且，
则．
（2）解：由（1）知抛物线，焦点，直线，．
联立，得，
设，
则，
．
17．【答案】（1）解：因为离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，
所以，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）解：因为椭圆C的方程为，
所以，，
设（，），
则，即，
则直线的方程为，
令，得，同理，直线AM的方程为，
令，得，则
，
所以四边形的面积为定值2．
18．【答案】（1）解：由题，双曲线的顶点为，所以双曲线焦点在轴上，
设双曲线方程为，
因为的一条渐近线为
所以，，解得，
所以双曲线方程为
又因为椭圆的短轴长为2，
所以椭圆焦点在轴上，
设椭圆方程为，
所以，，.即椭圆方程为.
（2）解：根据题意，联立方程得
又因为，所以，，
所以，变形为，解得.
所以，方程组只有一解
所以，直线与椭圆只有一个公共点.
（3）解：设，
由（2）知，直线与椭圆只有一个公共点.
所以，直线是过点的椭圆的切线方程.
所以，直线方程为，点在直线上，故
直线方程为，点在直线上，故
所以，直线的方程为，即.
由得
由得
所以
又点到直线的距离
又
所以，所围三角形面积为定值.
19．【答案】（1）解：由，解得，
因为的面积为，所以，解得，
故椭圆的方程为；
（2）证明：由（1）知，设，直线的斜率为，直线的方程为，
直线的斜率为，直线的方程为，
所以，
由，得，
椭圆的“伴随椭圆”的方程为，
联立，可得，
设，则，
，
同理，
所以．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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