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第二章一元二次函数、方程和不等式常考易错检测卷-高中数学人教A版（2019）必修第一册
一、选择题
1．若，，，，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知为正实数且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．已知集合 ，则 =（　　）
A． B．
C． D．
5．已知关于的不等式的解集是，则的值是（　　）
A． B．2 C．22 D．
6．2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（　　）
A． B． C． D．
7．下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．下列说法正确的有（　　）
A．若，则的最小值为
B．若，则的最小值为6
C．若，则的最小值为
D．已知，都是正数，且，则
10．下列命题正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（　　）
A．当时，的最大值为18
B．当时，的最小值为
C．当时，ab的最小值为
D．当时，的最小值为
三、填空题
12．不等式 的解集是　 　.
13．已知，则在　 　时，取得最小值为　 　．
14．某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是　 　．
四、解答题
15．（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值.
16．已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A．
（1）求集合A；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17．已知，且．
（1）证明：；
（2）求的最小值．
18．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
19．去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销.经市场调研发现，若广告费用为（万元），则该品牌服装的年销售量将增长.请你预算该品牌服装的净利润（净利润为销售利润减去广告费用）
（1）若使得今年净利润比去年至少增长，请你预算广告费用的范围
（2）当广告费用多少万元时，品牌服装的净利润最大
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,C
11．【答案】A,B,D
12．【答案】[1，3]
13．【答案】3；6
14．【答案】
15．【答案】解：（1）因为，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7；
（2）因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
16．【答案】（1）解：因为为真命题，所以方程有解，即，
所以，即；
（2）解：因为是的必要不充分条件，所以且，
i）当时，，解得；
ii）当时，，且等号不会同时取得，
解得，
综上，.
17．【答案】（1）证明：已知，且，
由基本不等式得，
即，解得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
（2）解：因为，且，
所以，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
18．【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.
（1）由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为
（2）（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是
19．【答案】（1）
（2）当投入广告费用为8万元时，品牌服装的净利润最大
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