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第五章一元函数的导数及其应用常考易错检测卷-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册
一、选择题
1．函数的极大值为（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图是某函数的部分图象，则该函数最有可能的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，取得极小值1
B．当时，取得极大值1
C．当时，取得极大值33
D．当时，取得极大值
6．曲线与曲线和分别交于，两点，设在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，则（　　）
A． B． C．3ln2 D．
7．已知函数的图象在点处的切线的倾斜角为，则曲线在点处的切线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．定义分段函数，其中、为实数．已知函数在区间内恰好有个零点，则满足条件的组合可能是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知函数在处取得极小值，则下列结论正确的是（　　）
A．或
B．函数有且仅有一个零点
C．函数恰有两个极值点
D．函数在有最小值，无最大值
10．设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（　　）
A．
B．函数的对称中心为
C．过引曲线的切线，有且仅有1条
D．若成等差数列，则
11．已知函数有两个不同零点，且，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．在中，若，则的最大值为　 　.
13．在正方体中，，点E，F，G分别为，，的中点，点在线段上运动（不包括端点），过G，P，的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是　 　.
14．设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是　 　．
四、解答题
15．已知函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）求函数在上的值域．
16．已知函数在点处的切线方程为．
（1）求实数a，b的值：
（2）求函数在上的最大值．
17．设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）若在定义域内恰有2个零点，求的取值范围；
（3）记点，当时，曲线在点处的切线与轴交于点，求三角形面积的最大值.
18．已知，．
（1）若是函数的驻点，求的值；
（2）当时，求函数的单调增区间；
（3）当时，对于任意的，是否存在，且，使得成立，若存在，求的取值范围？若不存在，请说明理由．
19．已知函数（）．
（1）设，当时，，求的取值范围．
（2）当时，
①写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由；
②设，数列满足，，证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】B,C
10．【答案】A,B,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）
16．【答案】（1）
（2）最大值为19
17．【答案】（1）
（2）
（3）
18．【答案】（1）
（2）当时，单调增区间是；当时，单调增区间是和.
（3）存在，
19．【答案】（1）解：令，
即当时，恒成立，
，
若，即，此时恒成立，
函数在上单调递减，，则，解得，
当，即时，，
，
函数在单调递增，在上单调递减，
故，即，该方程组无解，
综上所述，所求为；
（2）解：①、当时，函数定义域为，
，因为函数的值域是，
所以函数的值域是，函数的值域是，
函数的值域是，
而与的交集是，
所以当的某一条切线斜率时，与该切线垂直的直线的斜率也满足，
不妨取，则，
解得，，
故曲线的两条相互垂直的切线方程可以为，即；
②、当时，，（因为）
现在利用数学归纳法证明，设当时，命题成立，
即，
现在来证明两个不等式：
第一个不等式为：.
证明过程如下：设，求导得，
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，从而不等式成立，
第二个不等式为：，令，
求导得，
所以在上单调递增，所以，
从而不等式成立，
现在来证明，显然，
现在设时，，
则，
所以，从而，
所以由不等式可知，，
另一方面，
想要证明，只需证明，
而由假设有，
所以，
所以只需证明，即只需证明，
即只需证明，而，故前者恒成立，
综上所述，命题得证.
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