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第十一章　第61练　专题强化：带电粒子在组合场中的运动
[分值：50分]
1.(15分)(2024·贵州卷·14)如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有一半径为L且与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求：
(1)(4分)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小；
(2)(5分)粒子的电荷量与质量之比；
(3)(6分)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
2.(17分)(2024·江苏苏州市调研)如图，水平虚线MN上方一半径为R的半圆区域内(包括边界)有垂直于纸面向里的匀强磁场，半圆磁场的圆心O在MN上，虚线下方有平行纸面向上的范围足够大的匀强电场。一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从O点以大小为v0的初速度垂直MN平行纸面射入磁场，恰好从半圆边界的最左端穿出磁场，不计粒子的重力。
(1)(4分)求磁感应强度的大小；
(2)(7分)若粒子射入磁场的速度v0与ON的夹角θ=60°，粒子在磁场中运动后进入电场，一段时间后又从P点进入磁场，且OP=R，求电场强度大小；
(3)(6分)在(2)中，粒子在电场和磁场中运动的总时间。
3.(18分)(2024·江苏卷·16)如图所示，两个半圆区域abcd、a'b'c'd'中有垂直纸面向里的匀强磁场，两圆的半径分别为R1和R2，ab与a'b'间有一个匀强电场，电势差为U，cd与c'd'间有一个插入体，电子每次经过插入体速度减为原来的k倍(k<1)。现有一个质量为m、电量为e的电子，从cd面射入插入体，经过磁场、电场后再次到达cd面，速度增加，多次循环运动后，电子到达cd的速度大小达到一个稳定值，忽略相对论效应，忽略电子经过电场与插入体的时间。求：
(1)(4分)电子进入插入体前后在磁场中的半径r1、r2之比；
(2)(5分)电子多次循环后到达cd的稳定速度v；
(3)(9分)若电子到达cd中点P时速度稳定，并最终到达边界上的d点，求电子从P到d的时间t。
参考解析
1.(1)　(2)　(3)60°
解析　(1)由粒子在abcd区域内的运动轨迹可知粒子带正电，带电粒子在cdef区域做直线运动，则有静电力与洛伦兹力平衡，经过cd边的中点时速度水平向右，设粒子到达cd边的中点时速度大小为v0，带电荷量为q，质量为m，由平衡条件有qE＝qv0B
解得v0＝
(2)粒子从b点到cd边的中点的运动，可逆向看成从cd边的中点到b点的类平抛运动，设运动时间为t，加速度大小为a，由牛顿第二定律可得
qE＝ma
由类平抛运动规律可得v0t＝L
at2＝
联立解得粒子的电荷量与质量之比
(3)粒子从ef中点进入圆形区域后做匀速圆周运动，设粒子的运动半径为R，由洛伦兹力提供向心力可得
qv0B＝m
解得R＝L
粒子在磁场中运动轨迹如图所示，粒子沿半径方向射入，又沿半径方向射出，设粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为α，由几何关系可知α＝2θ
又tan θ＝，得θ＝30°
则有α＝60°。
2.(1)　(2)　(3)(4
解析　(1)粒子恰好从半圆边界的最左端穿出磁场，则有 r＝
根据牛顿第二定律有 qv0B＝m
解得B＝
(2)根据题意，由粒子在电场中运动时轨迹的对称性，设粒子射出磁场的位置为Q，作出粒子运动轨迹如图所示，由几何关系有
OQ＝2×Rcos 30°＝R
粒子在电场中做类斜上抛运动，根据对称性可知OQ＝v0cos θ·t1，
v0sin θ＝at1
又有qE＝ma解得E＝
(3)粒子从P点进入磁场后，根据对称性可知，粒子的运动轨迹仍刚好与磁场边界相切，并从O点射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间
t磁＝2××
粒子在电场中运动的时间
t电＝4t1＝
因此粒子在电场和磁场中运动的总时间t＝t磁＋t电＝(4。
3.(1)1∶k
(2)，方向垂直于cd向左
(3)
解析　(1)设电子进入插入体前后的速度大小分别为v1、v2，由题意可得：v2＝kv1
电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得：evB＝m
解得：r＝
可知在磁场中的运动半径r∝v，
可得：r1∶r2＝v1∶v2＝1∶k
(2)电子多次循环后到达cd的稳定速度大小为v，则经过插入体后的速度大小为kv，电子经过电场加速后速度大小为v，根据动能定理得：
Ue＝mv2－m(kv)2
解得：v＝，
方向垂直于cd向左。
(3)电子到达cd中点P时速度稳定，并最终到达边界上的d点，由P点开始相继在两个半圆区域的运动轨迹如图所示。
根据(1)(2)的结论，可得电子在右半圆区域的运动半径为：
r＝
电子在左半圆区域的运动半径为kr
图中所示的Δx＝2r－2kr
P点与d点之间的距离为：
Pd＝(R2－R1)
电子由P点多次循环后到达d点的循环次数为：n＝
电子在左、右半圆区域的运动周期均为T＝忽略电子经过电场与插入体的时间，则每一次循环的时间均等于T，可得电子从P到d的时间为：
t＝nT＝。

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