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第十一章　第64练　专题强化：带电粒子在立体空间中的运动
[分值：50分]
1题7分，2题13分，3、4题每小题15分，共50分
1.(2024·江苏苏州市模拟)用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方向，射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为Δx，则下列说法中正确的是(　　)
A.匀强磁场的方向为沿x轴负方向
B.若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距Δx不变
C.若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D增大，而螺距Δx将减小
D.若仅增大α角(α<90°)，则直径D增大，而螺距Δx将减小，且当α=90°时“轨迹”为闭合的整圆
2.(13分)(2025·江苏南京市期中)亥姆霍兹线圈是一对平行的完全相同的圆形线圈。如图所示，通电后线圈间形成平行于中心轴线O1O2的匀强磁场，磁感应强度大小为B。沿O1O2建立x轴，一足够大的圆形探测屏垂直于x轴放置，其圆心P点位于x轴上。粒子源从x轴上的O点以垂直于x轴的方向竖直向上持续发射初速度大小为v0的粒子。已知粒子带正电，比荷为k，不计粒子重力和粒子间相互作用，整个运动过程中，粒子未离开磁场或电场。
(1)(3分)求粒子做圆周运动的半径r；
(2)(3分)若在线圈间再加上沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E，沿x轴方向左右调节探测屏，求粒子打在探测屏上的点距探测屏圆心P点的最远距离D；
(3)(7分)在第(2)问情境下，沿x轴方向左右调节探测屏，若粒子恰好打在探测屏的圆心P点，求粒子到达P点时的速度大小v。
3.(15分)(2023·江苏南通市三模)某质谱仪部分结构的原理图如图甲所示。在空间直角坐标系Oxyz的y>0区域有沿-z方向的匀强电场，电场强度大小为E，在y<0区域有沿-z方向的匀强磁场，在x=-2d处有一足够大的屏，俯视图如图乙。质量为m、电荷量为q的粒子从y轴上P(0，-d，0)点以初速度v0沿+y方向射出，粒子第一次经过x轴时速度方向与-x方向的夹角θ=60°。不计粒子的重力，粒子打到屏上立即被吸收。求：
(1)(3分)粒子的电性；
(2)(5分)磁感应强度大小B；
(3)(7分)粒子打到屏上位置的z轴坐标z1。
4.(15分)(2024·湖南卷·14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。
(1)(7分)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
(2)(4分)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值；
(3)(4分)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
参考解析
1.D　[将电子的初速度沿x轴及y轴方向分解，沿x轴方向，速度与磁场方向平行，做匀速直线运动且x＝v0cos α·t，沿y轴方向，速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由左手定则可知，磁场方向沿x轴正方向，故A错误；
根据evyB＝m，T＝，且vy＝v0sin α，解得D＝2R＝，T＝，所以Δx＝vxT＝，所以，若仅增大磁感应强度B，则D、Δx均减小，故B错误；若仅增大v0，则D、Δx皆按比例增大，故C错误；若仅增大α，则D增大而Δx减小，且α＝90°时Δx＝0，故D正确。]
2.(1)　(2)
(3)(n＝1，2，3…)
解析　(1)粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝
根据题意可得＝k
解得轨道半径为r＝
(2)粒子在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，在x轴方向上做匀加速运动。若粒子在垂直于x轴的平面内转过奇数个半圈，此时打到探测屏上的位置距离P点最远；根据几何关系得D＝2r＝
(3)垂直于x轴的平面内，粒子在磁场中运动的周期T＝
则粒子回到x轴时间为
t＝nT＝n(n＝1，2，3…)
沿x轴方向粒子的速度v1＝at
沿x轴方向，根据牛顿第二定律qE＝ma
粒子到达P点时的速度大小v＝
联立解得v＝(n＝1，2，3…)。
3.(1)正电　(2)　(3)－
解析　(1)粒子在磁场中的运动轨迹如图
由左手定则知粒子带正电；
(2)设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系有rcos θ＝d，根据洛伦兹力提供向心力
qv0B＝m，
解得B＝
(3)设粒子经过x轴时的坐标为－x1，则x1＋rsin θ＝2d
粒子在y>0区域电场中做类平抛运动，在xOy平面内沿v0方向做匀速直线运动，设粒子碰到屏前做类平抛运动的时间为t1，
则v0cos θ·t1＝2d－x1，
粒子运动的加速度a＝
在z轴负方向运动的距离
z1'＝a
解得t1＝，z1'＝
所以打到屏上位置的z轴坐标
z1＝－。
4.(1)　(2)　(3)
解析　(1)电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L＝v0t
在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，
由牛顿第二定律知Bevy＝m
可得R＝
T＝
若所有电子均能经过O进入电场，则有t＝nT(n＝1，2，3，…)
联立得B＝
当n＝1时，B有最小值，可得
Bmin＝
(2)将电子的速度分解，有tan θ＝
θ最大时，tan θ有最大值，即vy最大，
此时Rmax＝＝r，
联立可得vym＝，tan θ＝
(3)当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym，
根据匀变速直线运动规律有
ym＝
由牛顿第二定律知a＝
联立得ym＝

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