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第十二章　第69练　专题强化：电磁感应中的动量问题
[分值：60分]
1~3题每小题5分，共15分
1.如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上，t=0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是(　　)
2.(2024·江苏省锡中、省常中、溧阳中学期初调研)2023年11月，我国第三艘国产航母福建舰在长兴岛成功进行了首次电磁弹射测试。电磁弹射的原理可简化为如图所示结构，电容为C的电容器充满电后板间电压为U0，导体轨道abcd处存在磁感应强度为B的匀强磁场，装置置于水平面内，匀强磁场方向竖直向下，金属牵引杆开始时静止在ac处，接通电路，电容器通过轨道和金属杆放电。金属杆和轨道电阻可忽略不计，金属杆在安培力作用下开始加速，已知ac=L。金属杆的质量为m，所受阻力忽略不计，金属杆在运动到bd之前已经匀速，速度大小为v，则(　　)
A.整个过程电容器放出的电荷量为CU0
B.整个过程电容器放出的电荷量为CBLv
C.金属杆匀速运动的速度可表示为v=
D.金属杆匀速运动的速度可表示为v=
3.(2025·江苏省开学考)如图所示，光滑绝缘水平桌面上有一均质正方形金属线框abcd，线框以速度v进入一个有明显边界的匀强磁场(磁场的宽度大于线框的边长)，当线框全部进入磁场区域时，速度减小到。下列说法中正确的是(　　)
A.线框进入磁场时与离开磁场时均做匀减速直线运动
B.线框能全部穿出磁场
C.线框进入磁场时与离开磁场时产生的热量之比为8∶1
D.线框进入磁场时与离开磁场时通过线框某横截面的电荷量之比为1∶2
4题7分，5题12分，6题16分，共35分
4.(2024·江苏南京市模拟)在甲、乙两图中，足够长的光滑平行金属导轨在同一水平面内固定放置在方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端分别接有电荷量为零且电容足够大的电容器和阻值为R的定值电阻，金属杆ab、cd垂直导轨静止放置，除了电阻R以外不计其他电阻。若给棒ab施加水平向右的恒力F，棒cd瞬间获得水平向右的初速度v0，则下列关于两棒在运动过程中所受安培力F安和棒两端电压U随棒的位移x变化的图像中正确的是(两棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好)(　　)
5.(12分)(2023·江苏省南通市质检)如图所示，光滑平行导轨MNPQ固定在水平面上，导轨宽度为d，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨足够长，将质量分别为2m、m，有效电阻均为R的金属棒J和K分别置于轨道上，棒始终与轨道垂直并接触良好，导轨电阻不计。现使J棒获得水平向右的初速度2v0，K棒获得水平向左的初速度v0，两棒不会相碰，求：
(1)(5分)全过程中系统产生的焦耳热Q；
(2)(7分)从开始运动到稳定状态过程中两棒间距离的改变量Δx。
6.(16分)(2024·湖北卷·15)如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放，求：
(1)(3分)ab刚越过MP时产生的感应电动势大小；
(2)(5分)金属环刚开始运动时的加速度大小；
(3)(8分)为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。
　(10分)
7.(2025·江苏南京市开学考)某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内，平行金属导轨间距为L，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨BC段与B1C1段粗糙，其余部分光滑，AA1右侧处于竖直向下的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度v0沿导轨向右经过AA1进入磁场，最终恰好停在CC1处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的动摩擦因数为μ，AB=BC=d。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.金属杆经过BB1的速度为
B.在整个过程中，定值电阻R产生的热量为m-μmgd
C.金属杆经过AA1B1B区域过程，其所受安培力的冲量大小为
D.若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离等于原来的2倍
参考解析
1.A　[棒ab以初速度v0向右滑动，切割磁感线产生感应电动势，使整个回路中产生感应电流，判断可知棒ab受到与v0方向相反的安培力的作用而做变减速运动，棒cd受到与v0方向相同的安培力的作用而做变加速运动，它们之间的速度差Δv＝v1－v2逐渐减小，整个系统产生的感应电动势逐渐减小，回路中感应电流逐渐减小，最后变为零，即最终棒ab和棒cd的速度相同，v1＝v2，这时两相同的光滑导体棒ab、cd组成的系统在足够长的平行金属导轨上运动，水平方向上不受外力作用，由动量守恒定律有mv0＝mv1＋mv2，解得v1＝v2＝，选项A正确，B、C、D错误。]
2.D　[金属杆在运动到bd之前已经匀速，速度大小为v，设此时电容器两端电压为U，则有U＝BLv
可知整个过程电容器放出的电荷量为
Δq＝CΔU＝C(U0－BLv)
对金属杆根据动量定理可得
BLΔt＝BLΔq＝mv－0
则有BLC(U0－BLv)＝mv
解得金属杆匀速运动的速度可表示为
v＝，故选D。]
3.C　[线框进入磁场时与离开磁场时受安培力大小为
F＝BIL＝BL＝＝ma
随着速度减小，安培力逐渐减小，加速度减小，所以线框进入磁场时与离开磁场时做变减速直线运动，故A错误；假设线框能全部穿出磁场，线框刚全部进入磁场时速度为，刚全部离开磁场时速度设为v'，线框进入磁场的过程，取向右为正方向，由动量定理得－BI1L·t1＝m－mv
通过线框的电荷量
q1＝I1t1＝
线框离开磁场的过程，取向右为正方向，由动量定理得
－BI2L·t2＝mv'－m
通过线框的电荷量
q2＝I2t2＝
联立解得v'＝－
所以线框不能全部穿出磁场，则v'＝0，代入上式可知，故B、D错误；线框进入磁场的过程，根据能量守恒定律有Q1＝mv2－m(v)2
线框离开磁场的过程，根据能量守恒定律有Q2＝m(v)2
解得，故C正确。]
4.B　[对棒ab分析，某一时刻t，根据牛顿第二定律有F－F安ab＝ma，设该时刻电流大小为i，则F安ab＝BiL，F－BiL＝ma，在很短时间间隔内ΔQ＝i·Δt，ΔQ＝C·ΔU，ΔU＝BL·Δv，联立可得i＝BLC＝BLCa，结合前式可得F－B2L2Ca＝ma，可得a＝，可知导体棒ab做匀加速直线运动，根据运动学公式v2＝2ax，可得v＝，通过导体棒ab的电流不变，导体棒ab所受安培力始终不变；导体棒ab两端的电压Uab＝BL·v＝BL·，故A、C错误；导体棒cd所受的安培力F安cd＝＝ma'＝m，则v·Δt＝m·Δv，两边求和∑v·Δt＝m·∑Δv，得x＝m(v0－v)，整理可得v＝v0－x，则F安cd＝·v＝·x，Ucd＝BLv＝BLv0－·x，可知F安cd、Ucd与x是一次函数，故B正确，D错误。]
5.(1)3m　(2)
解析　(1)两棒组成的系统动量守恒，取向右为正方向，则2m·2v0－mv0＝(2m＋m)v
根据能量守恒可得产生的焦耳热为Q＝×2m(2v0)2＋m(2m＋m)v2
联立解得v＝v0，Q＝3m
(2)取J棒研究，设运动过程中平均电流为，经历时间为Δt，取向右为正方向，根据动量定理得－Bd·Δt＝2mv0－2m·2v0
而
解得Δx＝
6.(1)BL　(2)
(3)
解析　(1)根据题意可知，对金属棒ab由静止释放到刚越过MP过程中，
由动能定理有mgL＝m
解得v0＝
则金属棒ab刚越过MP时产生的感应电动势大小为E＝BLv0＝BL
(2)根据题意可知，金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路中，轨道外侧的两段圆弧被短路，由几何关系可得，每段圆弧的电阻为R0＝R
可知，整个回路的总电阻为
R总＝R＋R
ab刚越过MP时，通过金属棒ab的感应电流为I＝
对金属环由牛顿第二定律有
2BL·＝2ma
解得a＝
(3)根据题意，结合上述分析可知，金属环和金属棒ab所受的安培力等大反向，则系统的动量守恒，由于金属环做加速运动，金属棒做减速运动，为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，则有当金属棒ab和金属环速度相等时，金属棒ab恰好追上金属环，设此时速度为v，
由动量守恒定律有mv0＝mv＋2mv
解得v＝v0
设经过时间t，金属棒ab与金属环共速，对金属棒ab，由动量定理有
－BLt＝m·－mv0
则有BLq＝mv0
设金属棒运动距离为x1，金属环运动的距离为x2，
则有q＝
联立解得Δx＝x1－x2＝
则金属环圆心初始位置到MP的最小距离d＝L＋Δx＝。
7.B　[金属杆在AA1B1B区域向右运动的过程中切割磁感线有
E＝BLv，I＝
金属杆在AA1B1B区域运动的过程中根据动量定理有－BILΔt＝mΔv
则－Δt＝mΔv
由于d＝∑vtΔt，
则上面方程左右两边累计求和，可得
－＝mvB－mv0
则vB＝v0－
设金属杆在BB1C1C区域运动的时间为t0，同理可得，则金属杆在BB1C1C区域运动的过程中有
－－μmgt0＝－mvB
联立解得vB＝>
则金属杆经过BB1的速度大于，故A错误；在整个过程中，根据能量守恒有m＝μmgd＋Q
则在整个过程中，定值电阻R产生的热量为QR＝Q＝mμmgd，故B正确；金属杆经过AA1B1B区域所受安培力的冲量为－∑BILΔt＝－∑vtΔt＝－，负号表示方向与运动方向相反，故C错误；
金属杆以初速度v0在磁场中运动全过程有－－μmgt0＝－mv0
若金属杆的初速度加倍，
则有－－μmgt0'＝－2mv0
得2d＝
x＝2(mv0－μmgt0')·
当初速度为2v0时，由A项可知，金属杆到达BB1时速度变大，所以经过BCC1B1区域时间变短，即有t0'4d，D错误。]

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