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2024-2025 学年安徽省智学联考高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.已知 2 = +1，则 =( )
A. B. C. 3 D. 3
2.某项比赛共有 7 个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是( )
A.极差 B. 45%分位数 C.平均数 D.众数
3.已知 = (2,1)， = ( , 2)，若 // ，则 + 2 =( )
A. ( 6, 3) B. (2,1) C. (6, 3) D. ( 2, 1)
4.若 ， 为空间中两条不同的直线， 、 为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
B.若 ⊥ ， // ，则 ⊥
C.若 // ， ⊥ ， ，则 ⊥
D.若 // ， // ，则 //
5.在△ ，点 为线段 的中点，点 在线段 上，且 = 2 ，若 = + ( 、 为实数).则 +
=( )
A. 53 B. 1 C.
1 3
3 D. 4
6.已知圆锥的体积为 12 ，其侧面积与底面积的比为 5：3，则该圆锥的表面积为( )
A. 9 B. 12 C. 15 D. 24
7.在一组样本数据中，0，1，2，3 出现的频数分别为 1， 2， 3， 4，则下面四种情形中，对应样本的标
准差最小的一组是( )
A. 1 = 4 = 2， 2 = 3 = 3 B. 1 = 4 = 4， 2 = 3 = 1
C. 1 = 4 = 1， 2 = 3 = 4 D. 1 = 4 = 3， 2 = 3 = 2
8.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，( + )( ) + = ， + 2 = 4，
= 3 2 ，则线段 长度的最小值为( )
A. 2 B. 2 23 C. 3 D.
2 3
3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， ， 是样本空间 中三个概率大于 0 的随机事件，则下列选项正确的是( )
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A.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
B.事件 ， 相互独立与 ， 互斥不能同时成立
C.若 ( ) = ( ) ( )成立，则事件 与 相互独立
D.若 ( ) = ( ) ( ) ( )成立，则事件 ， ， 一定两两独立
10.已知△ ，内角 ， ， 分别对应边 ， ， 则下列命题中正确的是( )
A.若sin2 + sin2 + cos2 < 1，则△ 为钝角三角形
B.若 = 3， = 1， = 30°，则△ 3的面积为 2
C.在锐角△ 中，不等式 > 恒成立
D.若 = 3， = 2 3，且△ 有两解，则 的取值范围是(3,2 3)
11.已知正方体 11 1 1 1的棱长为 3， ， ， 分别为棱 1， 1， 1上的点，且 = 3 1， =
1
3
2
1， = 3 1，若点 为正方体内部(含边界)点，满足：
= + ( , 为实数)，则下列说法正
确的是( )
A.点 的轨迹为菱形 及其内部
B. 1当 = 3， =
2
3时， 的长度为 6
C.当 = 1 时，点 的轨迹长度为 10
D. | 1 |
9 10
最小值为 10
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若向量 ， 分别表示复数 1 = 1 ， 2 = 8 + ，则| | =______．
13.在平行六面体 1 1 1 1中， 1 = = = 1，∠ 1 = ∠ 1 = ∠ = 60°， 为 1 1
的中点，则 = ______．
14.在△ ，△ 的面积为 3， = 2， = 2 ，△ 的外接圆为圆 ， 为圆
上的点，则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ， ⊥ ， // ， = = = 2， = 1，点
为棱 的中点.求证：
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(1) //平面 ；
(2)平面 ⊥平面 ．
16.(本小题 15 分)
正在重构养老模式，如北京天坛医院落地全球首个脑机接口临床病房，杭州某养老院引入“ 情感陪伴
系统”等，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出 100 人作为样本，并将这 100 人按年龄分组：第
1 组[20,30)，第 2 组[30,40)，第 3 组[40,50)，第 4 组[50,60)，第 5 组[60,70]，得到的频率分布直方图如
图所示：
(1)根据频率分布直方图求实数 的值及样本数据的平均数；
(2)若将频率视为概率，现在要从[20,30)和[60,70]两组中用分层抽样的方法抽取 6 人，分别用 ， ， ， ，
， 来表示，再从这 6 人中随机抽取 2 人进行电话采访，
( )试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
( )设 为事件“抽取的 2 人中至多有 1 人的年龄在[20,30)这一组”，求事件 发生的概率．
17.(本小题 15 分)
如图所示，四边形 是圆柱底面的内接四边形， 是圆柱的底面直径， 是圆柱的母线，直线 与平
面 所成的角为 60°， = = 2．
(1)当 ⊥ 时，求点 到平面 的距离；
(2)若 = ，点 285是线段 上一动点，平面 与平面 夹角的正弦值为 19 ，求 的长．
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18.(本小题 17 分)
如图，在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，过△ 内一点 的直线 与直线 交于 ，记
与 夹角为 ．
(1)已知sin2 + sin2 2 = sin2 ，
( )若 为△ 的垂心， = 2 2. 求 的值；
( ) 为△ 的重心， = = 1， = 30°，求| |；
(2)请用向量方法探究 与△ 的边和角之间的等量关系 = ( ) + ( + )是否成立？
19.(本小题 17 分)
已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 0，作 = ， = ，则∠ 叫做向量 ， 的夹角，记作
, ，定义 与 的“向量积”为： × 是一个向量，它与向量 ， 都垂直，它的模| × | = | | | |sin , ，
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥底面 ， = = 2，点 为线段 上一动点，
| × | = 4 5．
(1)求 的长；
(2)若 为 上一点，且满足 × = ，求| |的值；
(3)求| × ( × )|的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12. 53
13. 14
14.2
15.(1)证明：
以点 为原点建立空间直角坐标系：
有 (1,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (0,0,2)．
由 为棱 的中点， (1,1,1)．
平面 ，因此 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，因此 ⊥平面 ，
因此向量 = (1,0,0)为平面 的一个法向量，而 = 0，
因此 ⊥ ，又 平面 ，因此 //平面 ．
(2)证明：设平面 的一个法向量为 = ( , , )， = (0,2, 2), = (2,0,0)
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= 0 2 2 = 0则

，因此
= 0 2 = 0
，
不妨令 = 1，可得 = (0,1,1)为平面 的一个法向量．
设平面 的法向量 = ( , , )， = (1,0, 2)， = (1,2,0)，
则 = 0 2 = 0

，因此 + 2 = 0， = 0
令 = 2，可得 = (2, 1,1)为平面 的一个法向量．
因为 = 0，因此 ⊥ ．
因此平面 ⊥平面 ．
16.(1)(0.01 × 2 + 0.02 × 2 + ) × 10 = 1，解得 = 0.04，
样本数据的平均数为 25 × 0.1 + 35 × 0.1 + 0.2 × 45 + 0.4 × 55 + 0.2 × 65 = 50；
(2)[20,30)与[60,70]两组的频率之比为 1：2，
现从[20,30)和[60,70]两组中用分层抽样的方法抽取 6 人，
则[20,30)组抽取 2 人，记为 ， ，[60,70]组抽取 4 人，记为 ， ， ， ，
( )所有可能的情况为( , )，( , )， ， )，( , )，( , )，( , )，( , )，
( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，共 15 种，
( ) 1事件 发生的概率 ( ) = 1 15 =
14
15．
17.(1) ∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
又∵ ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
又 是圆柱的底面直径，则 ⊥ ，
∴ // ，
∴ ⊥平面 ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
∴点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，过点 作 ⊥ 于点 ，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， ， 平面 ，
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∴ ⊥平面 ，
∵ ⊥平面 ，
∴ 就是直线 在平面 内的射影，
∴ ∠ 就是直线 与平面 所成的角，
∴ ∠ = 60°，
∵ = = 2，
∴ = 1， = 5，
∴ = 2×1 = 2 5，5 5
∴点 到平面 的距离为2 5．
5
(2)由已知 ⊥ ，以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴，
过点 且与 平行的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
由 = = 1，得 (1,0,2)， (0, 3, 0)， (1,0,0)， (0,0,0)，
= (1,0,0)， = (1, 3, 0)， = (0,0,2)， = ( 1, 3, 2)，
设 = (0 ≤ ≤ 1)， = ( , 3 , 2 )，
∴ (1 , 3 , 2 2 )， = (1 , 3 , 2 2 )，
设平面 的一个法向量为 = ( 1, 1, 1)，
则 = 0 1 3 1 = 0

，即 ，
= 0 2 1 = 0
令 1 = 3，则 1 = 1， 1 = 0，
∴ = ( 3, 1,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( 2, 2, 2)，
= 0 2 = 0则

，即 ，
= 0 (1 ) 2 + 3 2 (2 2 ) 2 = 0
令 = 3 .则 = 2 2，
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∴ = (0,2 2, 3 )，
∵平面 与平面 夹角的正弦值为 285，
19
∴平面 与平面 夹角的余弦值为2 19，
19
> | = | | |( 3,1,0) (0,2 2, 3 )| 2 19∴ |cos < ， | || | = = ( 3)2 ，+12 (2 2)2+( 3 )2 19
1
整理得 3 2 + 2 1 = 0，解得 = 3或 = 1(舍)．
∴ = ( 2 , 3 4 ，3 3 , 3 )
∴ = 4 1 16 23．9+ 3 + 9 = 3
18.(1)( )由sin2 + sin2 2 = sin2 ，
结合正弦定理角化边可得： 2 + 2 2 = 2，
2
所以 = +
2 2 2，
2 = 2

由 为三角形内角，所以 = 4，
又 为△ 的垂心，所以 = 0，
所以 = ( + ) = = 22 = 2
2，

所以 = 2 2；
( )因为 = = 1 ，由( )可知 = = 4 , =

2，
1由 为△ 的重心，得 = ( + 3 )，
则| | = 1 ( + )2 = 1 2 + 2 = 2 cos ，3 3 3 2
△ | | | | | 在 中，由正弦定理 ，得 |sin∠ ，
sin∠ = sin | | = sin
由 = = 1，得 平分∠ ，又 = 30°，
所以|
| | = | 1 sin( 2 + 30°) = 2| |sin(

2 + 30°)
2
4 4 3 1
= 3 cos 2 sin( 2 + 30°) = 3 cos 2 ( 2 sin 2 + 2 cos 2 )
2 3 2 3 1 1
= 3 ( 2 × 2
2
2 cos 2 + cos 2 ) = 3 ( 2 + 2 + 2 )
= 23 (
3
2 +
1
2 ) =
2 3+2 = 1+ 3；6 3
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(2)直线 与△ 的边 相交于点 ，如图，
由 = + ，得 = ( + )，即 = + ，
又 = | || |cos∠ = | | ，
= | || |cos( ) = | |cos( )，
= | || |cos( + ) = | |cos( + )，
因此 | | = | |cos( ) + | |cos( + )，
所以 = ( ) + ( + )．
19.(1)因为底面 为矩形， ⊥底面 ，
所以 // ， ⊥ ，
又 底面 ，
所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，
所以 ⊥ ，
所以∠ 为直线 与 所成的角，
即< , >= ∠ ，
设 = ( > 0)，
则 = 2 + 4， = 2 + 4 + 22 = 2 + 8，
△ sin∠ =
2
在 中 =
+4
，
2+8
又| × | = 4 5，
2+4
所以 2 2 + 8 = 4 5，
2+8
解得 = 4(负值已舍去)，
所以 = 4．
(2)依题意( × ) ⊥ ，( × ) ⊥ ，
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又 × = ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
又 // ，
所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
在平面 内过点 作 ⊥ ，垂足为 ，
由 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
在平面 内过点 作 // 交 于点 ，在 上取点 ，使得 = ，连接 ，
所以 // 且 = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 = ，
又| | = 2×4 = 4 5，
22+42 5
即| | = 4 55 ，
| × | 4 5
所以| | =
|
= = 5．
| 4 5
5
(3)由(2)知，| × ( × )| = | × (5 )| = 5| × |，
建立以 方向为 轴正方向，以 方向为 轴正方向，以 方向为 轴正方向的空间直角坐标系 ，
则 (2,4,0)，
令 ( , 0,0)， ∈ [0,2]，
可得 = ( 2, 4,0)，
又| | = 4 55 ，
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得 (0, 4 , 85 5 )，
从而有 = (0, 45 ,
8
5 )，
所以 cos < , >= 4 ，
5× ( 2)2+16
5( 2)2+64
则 sin < , >= ，
5× ( 2)2+16
64
所以 5| × | = 4 5 ( 2)2 + 5， ∈ [0,2]，
所以| × ( × )| ∈ [32,8 21]，
即| × ( × )|的取值范围为[32,8 21]．
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