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2024-2025学年山东省烟台市芝罘区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是
A. B. C. D.
2.下列各式中，化简正确的是( )
A. B. C. D.
3.关于反比例函数的图象，下列说法正确的是( )
A. 该反比例函数图象经过点 B. 随的增大而增大
C. 该反比例函数图象关于原点成中心对称 D. 该反比例函数图象在第一、第三象限
4.如图，在与中，，添加下列一个条件不能使∽的是( )
A.
B.
C.
D.
5.若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为( )
A. B. C. D. 或
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.如图，一棵树的顶梢点的影子落在台阶的点处若台阶，，台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则这棵树的高度为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙墙长的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门由其它材料制成，则长为( )
A. 或 B. 或 C. D.
9.如图，菱形的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心若菱形的边长是，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在矩形中，是上一点，于点，连接，，下列结论：∽；平分；；若是中点，则其中所有正确结论的序号是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若，则的值为______．
12.计算的结果为______．
13.如图，在中，是中点，延长到，使，交于点，若，则的长度为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点的坐标是，是等腰直角三角形，反比例函数的图象分别与，交于，两点，若，则的值为______．
15.如图，中，，，，以为直角边作，，且，连接，则的长度为______．
16.定义一种运算“”，规定：，如，若，则的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
解方程：．
19.本小题分
如图，的三个顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，在第一象限内将的面积放大为原来的倍得到请作出，并写出，，的坐标．
20.本小题分
如图，中，请按下列要求解答问题：
用尺规在线段的延长线上确定一点，使，连接保留作图痕迹，不写作法；
若，，求的长度．
21.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根．
求实数的取值范围；
若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
22.本小题分
某饰品店将进价为元个的钥匙扣以元个的零售价出售，平均每天能售出个该饰品店通过调查发现，这种钥匙扣的零售价每降价元，其每天的销量就增多个，而每涨价元，其每天的销售量就减少个．
店主设计了如下表格，请直接写出，，的值，并帮店主做出降价或涨价的决策，以使饰品店每天获得更大的利润．
零售价元
每天销量个
每天利润元
列方程解应用题：要使每天销售这种钥匙扣的利润为元，这种钥匙扣的零售价应定为多少元？
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点．
求反比例函数的关系式及点的坐标；
请直接写出不等式的解集______；
点在轴上，且，连接，求的面积．
24.本小题分
数学实践：
学习了相似三角形的知识后，小明利用周末来到河边，准备利用所学知识测量河对岸一根旗杆的高度以下是他的实践报告，请根据报告内容，写出任务解决的求解过程．
实践任务 测量河对岸旗杆的高度
实践工具 带刻度的标杆、皮尺
实践过程 小明直立于地面，眼睛到地面的距离为，在他和旗杆之间直立一根带刻度的标杆；
眼睛看向旗杆顶部，标记视线落在标杆上的点；
向旗杆方向前进一定的距离，眼睛再次看向旗杆顶部，标记视线落在标杆上的点；
画出几何示意图如图，测量相关数据，并利用相似三角形的知识求旗杆的高度．
测量数据 米；
米；
米；米；
米．
任务解决
25.本小题分
我们知道，平角的度数和三角形的内角和都是，借助这一特征，我们可以证明两角的等量关系．
如图，，是边上一点，，则，，故．
如图，是上一点，，则图中另一组等角是______；
如图，正方形中，在延长线上，是上一点，于点，且，连接，求证：平分；
平行四边形中，，，．
如图，点，分别在边和上，若，求的长度；
如图，点，分别在边和延长线上，若，请直接写出的长度为______．
答案和解析
1.
解：、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、不是整式方程，故此选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：．
2.
解：．，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.与不能合并，所以选项不符合题意；
D.，所以选项符合题意；
故选：．
3.
解：根据反比例函数性质逐项分析判断如下：
反比例函数的，
图象经过第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，反比例函数图象关于原点对称，
故B、选项错误，不符合题意；
选项正确，符合题意；
当时，，故A选项错误，不符合题意；
故选：．
4.
解：、，
，
又，
∽，不合题意；
B、，，
∽，不合题意；
C、，，
∽，不合题意；
D、无法得出与相似，符合题意．
故选：．
5.
解：把代入一元二次方程，
得．
．
或．
当时，方程不再是关于的一元二次方程，不合题意舍去．
．
故选：．
6.
解：分两种情况进行讨论：
当时，一次函数经过第一、二、三象限；反比例函数的图象在第一、三象限；
当时，一次函数经过第二、三、四象限；反比例函数的图象在第二、四象限；
一次函数与反比例函数的图象可能是．
故选：．
7.
解：作，，则四边形是矩形，
，，
，
，
由题意得∽，
，即，
，
，
故选：．
8.
解：设长为，则的长为，
根据题意得，，
解得或舍去，
答：长为，
故选：．
9.
解：如图，作轴，垂足为，
设，则，
点、都在反比例函数图象上，
，
解得，即，
在中，由勾股定理得，
，
．
故选：．
10.
解：如图，过作交于，
四边形是矩形，
，，，
于点，
，，
∽，故正确；
假设平分，
，
，
，
，
垂直平分线段，
，与题目条件矛盾，故错误；
，，
∽，
，
，
∽，
，故正确；
设，，则，
由∽，有，即，
，故错误．
故选：．
11.
解：，
．
故答案为：．
12.
解：原式
．
故答案为：．
13.
解：取的中点，连接，
，
是的中位线，
，，
是中点，
，
，
，
∽，
：：：，
．
故答案为：．
14.
解：如图，作，垂足为，
由条件设，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
解得，
，
．
故答案为：．
15.
解：过作交的延长线于，
，
，
，
，
∽，
：：：，
，
：：，
：：：，
，，
，
．
故答案为：．
16.或
解：令，
解得：，
当时，，
则，
整理得：，
因式分解得：，
解得：舍去或，
当时，，
则，
整理得：，
解得：，
综上，的值为或，
故答案为：或．
17.．
解：原式
．
18.，．
解：原方程化为：，
，，，
，
，．
19.图形见解析；
，，．
解：如图，连接、、并延长；
根据放大为倍，确定、、；
顺次连接、、，得到放大后的图形；即为所求作；
由题意得：以原点为位似中心，放大为原来的倍，即相似比为，
那么、、的对应点、、的坐标即为，，
20.见解析； ．
图形如图所示：
设．
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
解得．
．
21.；
．
解：由条件可知，
解得：；
，是该方程的两个根，
，，
，
解得：或；
由可知：，
．
22.，，，决策：降价元，零售价定为元；
这种钥匙扣的零售价应定为元．
由题意可知，，
，
，
综上所述，使饰品店每天获得更大的利润，决策：降价元，零售价定为元；
设这种钥匙扣的零售价应定为元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
答：这种钥匙扣的零售价应定为元．
23.反比例函数解析式为；；
或；
或．
直线与反比例函数的图象交于，
，
，
，
反比例函数解析式为；
联立方程组得，解得，，
；
如图，根据函数图象可知不等式的解集为：或．
故答案为：或；
由一次函数可知，
由勾股定理可得，
当在轴正半轴时，
，，
；
当点在轴负半轴时，，
．
综上分析，的面积为或．
24.米．
解：延长交于点，交于点，如图，
米，，，
，
米，米，米，
米，
米；米，
米，米，
，
∽，
，即，
，
∽，
，即，
得，
解得米，
，
解得米，
米
答：求旗杆的高度为米．
25.；
证明过程详见解答；
；
．
解：，，，
，
故答案为：；
证明：如图，
作于，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
由知：，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
平分；
解：如图，
在上截取，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
由知：，
∽，
，
，，
，
，
；
如图，
延长至，使，作，交的延长线于，在上截取，连接，
可得，，
，
≌，
，
设，
由知，
∽，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．

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