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广东省东营市广饶县2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试题
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出答案超过一个均记零分．
1．（2025七下·广东期末）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、方程是三元一次方程，不是二元一次方程，故A不符合题意；
B、方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故B不符合题意；
C、方程不是整式方程，不是二元一次方程，故C不符合题意；
D、方程是二元一次方程，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】
根据二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程；逐一判断即可解答．
2．（2025七下·广东期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、右边为多项式，不是因式分解，A错误；
B、，是因式分解，B正确；
C、右边为多项式，不是因式分解，C错误；
D、，因式分解错误，D错误．
故答案为：B．
【分析】要判断一个等式变形是否为因式分解，得先明确因式分解的核心：把一个多项式，通过变形转化成几个整式乘积的形式，所以解题时，就逐个看选项，检查左边是不是多项式，右边是不是整式乘积 .
3．（2025七下·广东期末）下列所学过的真命题中，是基本事实的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．三角形两边之和大于第三边 D．同角的余角相等
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；同位角的概念；余角；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
4．（2025七下·广东期末）已知关于x与y的方程组的解满足，则m应满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
由②①得到：，
∵，
∴，
∴．
故答案为·：A．
【分析】本题要解决的是根据二元一次方程组的解满足的条件，求参数m的取值范围，关键思路是利用方程组中两个方程的系数特点，通过相减消元，直接得到x + y关于m的表达式，再结合x + y>0这个条件，解关于m的不等式即可.
5．（2025七下·广东期末）如图，若直线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；两直线平行，同位角相等；三角形的外角和
【解析】【解答】解：如图所示，
，，
，
，
故答案为：D．
【分析】
根据平行线的性质得，再根据三角形外角的性质可得，计算即可解答．
6．（2025七下·广东期末）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；余角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：由图可得，∠CDE=40° ，∠C=90°，
∴∠CED=50°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF=50°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60° 50°=10°，
故答案为：A.
【分析】
先根据角度的和差运算得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小，解答即可．
7．（2025七下·广东期末）如图，的度数（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
又∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】本题目标是求五角星中∠A + ∠B +∠C +∠D +∠E的度数，关键在于利用三角形外角性质，把分散的角转化到同一个三角形里，再结合三角形内角和定理求解，也就是找能把∠B、∠C、∠ D、∠E转化成与∠A共三角形内角的外角即可求解．
8．（2025七下·广东期末）甲、乙两人匀速在400米环形跑道上跑步，同时同地出发，如果相向而行，每隔1分钟相遇一次；如果同向而行，每隔5分钟相遇一次，已知甲比乙的速度快．设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米，根据题意，列出方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故答案为：B．
【分析】
先设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米， 由信息相向而行，每隔1分钟相遇一次，可列方程x+y=400；由信息同向而行，每隔5分钟相遇一次， 甲比乙的速度快 ，列方程5x-5y=400；由此即可解答.
9．（2025七下·广东期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（　　）
A．如图①，过点作
B．如图②，延长到，过点作
C．如图③，过上一点作，
D．如图④，过点作
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，故A选项不符合题意，
∵，
∴，
∵，
∴，故B选项不符合题意，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，故C选项不符合题意，
∵，
∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】要判断哪种辅助线不能证明 “三角形内角和为180°”，关键思路是：利用平行线的性质（如内错角相等、同位角相等 ），把三角形的三个内角转化到同一条直线上，形成平角(平角为180°)，若能转化则可证明，反之则不能 .
10．（2025七下·广东期末）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①∵和的平分线相交于点，
，，
∴，故①符合题意；
②过作于点，于点，如图：
和的平分线相交于点，
∴点在的平分线上，
，
，故②符合题意；
③∵，
∴，
∵分别是与的平分线，
，
∴，
∴，
∴，
如图，在上取一点，使，连接，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题需逐一验证三个结论，解题思路围绕角平分线性质、三角形内角和定理、全等三角形判定与性质以及三角形面积公式展开： 对于结论①，利用角平分线定义将、用、表示，再结合三角形内角和定理推导与的关系；对于结论②，依据角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ），得出，再用三角形面积公式，将面积拆分为三个小三角形面积和进行验证；对于结论③，通过作辅助线构造全等三角形，先证，再证，利用全等性质得到线段等量关系，结合时的角度推导，验证即可.
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．
11．（2025七下·广东期末）小明把一副扑克中带数字7的扑克牌全部拿出给小龙抽，则小龙抽到黑桃7概率为 　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从4张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有4种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到黑桃7的结果有1种．
∴抽到黑桃7的概率为．
故答案为：．
【分析】
从4张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有4种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到黑桃7的结果有1种，再根据概率公式计算即可解答．
12．（2025七下·广东期末）关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，得：，
∵不等式组有4个整数解，
∴，整数解为：，
∴，
解得：；
故答案为：．
【分析】
先解不等式求出不等式组的解集，找到不等式组的整数解整数解为：，可得到参数的范围，计算进行求解即可解答．
13．（2025七下·广东期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线与相交于点，若，则　 　．
【答案】126°
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；内错角的概念；两直线平行，内错角相等
14．（2025七下·广东期末）如图所示，，，，，，则　 　
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
15．（2025七下·广东期末）已知为三边的长，若，则的形状为　 　 ．
【答案】等边三角形
【知识点】完全平方公式及运用；等边三角形的判定；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：因为，
即，
即，
得：，
所以，
所以，
所以的形状为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【分析】本题要判断三角形的形状，关键在于对给定等式进行变形，利用完全平方公式的非负性，思路是把等式整理成几个平方和为0的形式，因为平方数具有非负性，当几个非负的平方和为0时，每个平方都为0，从而得到三边的关系，进而确定三角形形状 .
16．（2025七下·广东期末）10年前，小明的爸爸的年龄是小明的6倍；10年后，小明爸爸的年龄是小明的2倍，则小明现在的年龄是　 　
【答案】15岁
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设小明今年的年龄为，则年前小明的年龄为，爸爸的年龄为；
]年后小明的年龄为，爸爸的年龄为；
由题意有，即
整理得，解得.
故答案为：15岁.
【分析】 本题是年龄问题，考查一元一次方程.关键在于抓住年龄差始终不变这一特性，通过设小明现在年龄为未知数，分别表示出 10 年前、10 年后小明和爸爸的年龄，再根据年龄差不变建立方程求解即可 .
17．（2025七下·广东期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为1，设点运动时间为秒，当是以为腰的等腰三角形时，的值为　 　．
【答案】4或
【知识点】坐标与图形性质；坐标系中的两点距离公式；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
根据题意，动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为1，点运动时间为，
则可设，
∵是以为腰的等腰三角形
∴当时，可有，
解得，
当时，可有，
解得或（舍去）．
综上所述，的值为4或．
故答案为：4或．
【分析】
根据两点之间的距离公式可得，设，根据等腰三角形的定义分和两种情况，分别利用两点之间的距离公式计算出线段的长度建立方程求解即可解答．
18．（2025七下·广东期末）已知：；；；；…；．
请你根据上式中包含的规律，则不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；探索数与式的规律；有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：
，
∴原不等式化为：，
∴；
故答案为：.
【分析】本题是数字规律与不等式求解的结合，关键思路是先观察已知的分数拆分规律，把不等式左边的每一项按照规律拆成两个分数相减的形式，然后通过抵消（裂项相消法 ）简化式子，最后解简化后的不等式 即可.
三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2025七下·广东期末）（）解方程组．
（）解不等式组．
【答案】解：（）方程组整理得，，②①得，，
∴，
把代入②得，，
∴，
∴方程组的解为；
（），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）对于二元一次方程组，思路是先将含分母的方程去分母化为整式方程，再用消元法（这里可用加减消元），消去一个未知数，求解另一个未知数，最后回代求剩余未知数 .（2）解不等式组需分别求解每个不等式，再取它们的解集的公共部分，解不等式时，依据不等式基本性质，通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解.
20．（2025七下·广东期末）分解因式．
（1）；
（2）
【答案】（1）解：

（2）解：

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】
（1）先提公因式-2x，再利用完全平方公式因式分解即可解答；
（2）先提公因式3x-2，再利用平方差公式因式分解即可解答．
（1）解：
（2）
21．（2025七下·广东期末）如图，已知锐角，．请用尺规作图法，在内部求作一点P，使，且 （保留作图痕迹，不写做法）．
【答案】解：如图，点即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题要在锐角内部找一点，满足且 。解题关键是拆解条件，转化为基本作图：
由，根据线段垂直平分线性质（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 ），可知在的垂直平分线上，由，且已知，可知是的角平分线（因为 ），所以，通过作的垂直平分线和的角平分线，它们的交点就是满足条件的点 .
22．（2025七下·广东期末）【项目背景】《中华人民共和国保守国家秘密法》是规范围家秘密保护的基础性法律，首次颁布于年，历经了年和年两次重大修订，最新修订版本于年月日起实施，今年月日是该部法律实施一周年纪念日，某校为了解同学们对该部法律的了解情况，选取了部分同学进行调查．
【数据的收集与整理】
该校道德与法治老师从七、八年级中各随机抽取了相同人数的学生进行答卷测评将抽查学生的成绩进行如下分组：
组别
并将抽查学生的成绩制成如下的统计图表：
八年级学生测试成绩频数分布表
组别 频数 频率
—
七年级组学生成绩（单位：分）为．
【数据分析与应用】
任务：本次抽查的七、八年级学生共多少人？的值是多少？
任务：该校七年级共人，请估计七年级全体学生对法律了解情况是组别的学生数量；
任务：从七年级组学生中选取名男生和名女生，从八年级组学生中选取名男生和名女生组成《中华人民共和国保守国家秘密法》宣讲团，某天该校从宣讲团中任选一名同学到六年级宣讲该法律，求抽到的同学是女生的概率．
【答案】解：任务：∵，∴八年级学生抽查了人，
∴，
∵抽查的七、八年级学生人数相同，
∴本次抽查的七、八年级学生共人；
任务：∵，
∴估计七年级全体学生对法律了解情况是组别的学生为人；
任务：由题意可知，宣讲团共有名同学，其中女生名，
∴选一名同学到六年级宣讲该法律，抽到的同学是女生的概率是．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；条形统计图；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】任务 1：利用八年级B组的频数与频率求出八年级抽样人数，再根据七、八年级抽样人数相同，结合八年级频数分布表求出a，进而得到总人数；
任务 2：先算出七年级B组抽样人数占七年级抽样总人数的比例，再用七年级总人数乘以该比例，估计B组别的学生数量；
任务 3：先确定宣讲团的总人数和女生人数，再根据概率公式P =女生人数÷总人数，计算抽到女生的概率即可.
23．（2025七下·广东期末）如图，直线与直线相交于点，与轴分别交于两点．
（1）求的值，并结合图象写出关于的方程组的解；
（2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：把代入，得，∴，
把代入，得，
∴，
∴直线的解析式为，
由函数图象可知，方程组的解即为直线和直线的交点的坐标，
∴方程组的解为；
（2）解：由函数图象可得，当时，，∴不等式的解集为；
（3）解：把代入，得，∴，
把代入，得，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）利用点在函数图象上时，坐标满足函数解析式，先将代入求出b，得到P点坐标后，再代入求出m；而方程组的解就是两直线交点P的坐标；
（2）根据函数图象，找L1图象在L2图象上方（包括重合）时x的取值范围；
（3）先求出A、B两点坐标（函数与x轴交点，即y = 0时x的值 ），算出AB的长度，再结合P点纵坐标（三角形的高 ），用三角形面积公式求解 即可.
（1）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴，
∴直线的解析式为，
由函数图象可知，方程组的解即为直线和直线的交点的坐标，
∴方程组的解为；
（2）解：由函数图象可得，当时，，
∴不等式的解集为；
（3）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴，
∴，
∴．
24．（2025七下·广东期末）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题．
应用题：小东在某商场中看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元．由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售， ，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台．空调两台，共花费7200元．求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？
解：设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意，得
【答案】解：被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，设“五一”前同样的电视每合x元，空调每台y元，根据题意，得
解得
答：“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题是二元一次方程组在实际销售问题中的应用，解题关键在于根据已知方程组和题目背景，分析出被污染的条件（即空调的优惠信息 ），再通过建立方程组求解电视和空调 “五一” 前的价格。思路是先补全被污染的条件，再利用 “五一” 前总价和促销期花费这两个等量关系列方程组求解.
25．（2025七下·广东期末）利用三角形全等测距离．
任务1 目测出操场上与你距离相等的两个点
方案 第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点．
示意图
原理 ∵，，∴______， 又∵，，∴（______），∴______．
任务2 测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图．
方案 第一步：______； 第二步：______； （可适当添加步骤）……
示意图（请按方案补充完整）
【答案】解：任务一：∠DEF；ASA；EF.
任务二：
方案：
第一步：在平地上取一个可以到达的点；
第二步：连接，并延长，使，，连接；
如图，则的长度即为的长度；
理由：∵，，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；全等三角形的实际应用
【解析】【解答】任务一：解：∵，，
∴，
又∵，，
∴（），
∴．
故填：∠DEF；ASA；EF.
【分析】任务一：根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可；
任务二：根据全等三角形的性质设计方案，利用全等的性质将不能直接测量的线段进行转换：即先再全等草图，最后证明即可；
26．（2025七下·广东期末）问题情境：如图①，，，，求度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求的度数．
（1）按小明的思路，易求得的度数为______度；
（2）问题迁移：如图②，，点P在射线上运动，记，．
①当点P在B、D两点之间运动时，请直接写出与α，β之间的数量关系；
②如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系；
（3）问题解决：
如图③是北斗七星的位置图，将其抽象成图④，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且，，，那么与有什么关系？请说明．
【答案】（1）110
（2）①．②或
（3）解：∵，，由（2）得：，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：（1）过点P作，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：；
（2）．
理由：如图，过点P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
②如图，当点P在的延长线上时，，
过点P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图，当点P在线段上时，，
过点P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【分析】
（1）过点P作，利用平行线的性质分别求出，，再求出它们的和即可得，由此解答即可；
（2）①过点P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可解答；
②分两种情况：当P在的延长线上时；当点P在线段上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可解答；
（3）根据（2）的结论得，即可解答．
（1）解：过点P作，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：；
（2）．
理由：如图，过点P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
②如图，当点P在的延长线上时，，
过点P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图，当点P在线段上时，，
过点P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）∵，，
由（2）得：，
∵，
∴，
∴．
1 / 1广东省东营市广饶县2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试题
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出答案超过一个均记零分．
1．（2025七下·广东期末）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·广东期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·广东期末）下列所学过的真命题中，是基本事实的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．三角形两边之和大于第三边 D．同角的余角相等
4．（2025七下·广东期末）已知关于x与y的方程组的解满足，则m应满足（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·广东期末）如图，若直线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·广东期末）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
7．（2025七下·广东期末）如图，的度数（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·广东期末）甲、乙两人匀速在400米环形跑道上跑步，同时同地出发，如果相向而行，每隔1分钟相遇一次；如果同向而行，每隔5分钟相遇一次，已知甲比乙的速度快．设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米，根据题意，列出方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·广东期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（　　）
A．如图①，过点作
B．如图②，延长到，过点作
C．如图③，过上一点作，
D．如图④，过点作
10．（2025七下·广东期末）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．
11．（2025七下·广东期末）小明把一副扑克中带数字7的扑克牌全部拿出给小龙抽，则小龙抽到黑桃7概率为 　 　．
12．（2025七下·广东期末）关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是　 　．
13．（2025七下·广东期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线与相交于点，若，则　 　．
14．（2025七下·广东期末）如图所示，，，，，，则　 　
15．（2025七下·广东期末）已知为三边的长，若，则的形状为　 　 ．
16．（2025七下·广东期末）10年前，小明的爸爸的年龄是小明的6倍；10年后，小明爸爸的年龄是小明的2倍，则小明现在的年龄是　 　
17．（2025七下·广东期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为1，设点运动时间为秒，当是以为腰的等腰三角形时，的值为　 　．
18．（2025七下·广东期末）已知：；；；；…；．
请你根据上式中包含的规律，则不等式的解集是　 　．
三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2025七下·广东期末）（）解方程组．
（）解不等式组．
20．（2025七下·广东期末）分解因式．
（1）；
（2）
21．（2025七下·广东期末）如图，已知锐角，．请用尺规作图法，在内部求作一点P，使，且 （保留作图痕迹，不写做法）．
22．（2025七下·广东期末）【项目背景】《中华人民共和国保守国家秘密法》是规范围家秘密保护的基础性法律，首次颁布于年，历经了年和年两次重大修订，最新修订版本于年月日起实施，今年月日是该部法律实施一周年纪念日，某校为了解同学们对该部法律的了解情况，选取了部分同学进行调查．
【数据的收集与整理】
该校道德与法治老师从七、八年级中各随机抽取了相同人数的学生进行答卷测评将抽查学生的成绩进行如下分组：
组别
并将抽查学生的成绩制成如下的统计图表：
八年级学生测试成绩频数分布表
组别 频数 频率
—
七年级组学生成绩（单位：分）为．
【数据分析与应用】
任务：本次抽查的七、八年级学生共多少人？的值是多少？
任务：该校七年级共人，请估计七年级全体学生对法律了解情况是组别的学生数量；
任务：从七年级组学生中选取名男生和名女生，从八年级组学生中选取名男生和名女生组成《中华人民共和国保守国家秘密法》宣讲团，某天该校从宣讲团中任选一名同学到六年级宣讲该法律，求抽到的同学是女生的概率．
23．（2025七下·广东期末）如图，直线与直线相交于点，与轴分别交于两点．
（1）求的值，并结合图象写出关于的方程组的解；
（2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集；
（3）求的面积．
24．（2025七下·广东期末）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题．
应用题：小东在某商场中看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元．由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售， ，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台．空调两台，共花费7200元．求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？
解：设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意，得
25．（2025七下·广东期末）利用三角形全等测距离．
任务1 目测出操场上与你距离相等的两个点
方案 第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点．
示意图
原理 ∵，，∴______， 又∵，，∴（______），∴______．
任务2 测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图．
方案 第一步：______； 第二步：______； （可适当添加步骤）……
示意图（请按方案补充完整）
26．（2025七下·广东期末）问题情境：如图①，，，，求度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求的度数．
（1）按小明的思路，易求得的度数为______度；
（2）问题迁移：如图②，，点P在射线上运动，记，．
①当点P在B、D两点之间运动时，请直接写出与α，β之间的数量关系；
②如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系；
（3）问题解决：
如图③是北斗七星的位置图，将其抽象成图④，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且，，，那么与有什么关系？请说明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、方程是三元一次方程，不是二元一次方程，故A不符合题意；
B、方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故B不符合题意；
C、方程不是整式方程，不是二元一次方程，故C不符合题意；
D、方程是二元一次方程，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】
根据二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程；逐一判断即可解答．
2．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、右边为多项式，不是因式分解，A错误；
B、，是因式分解，B正确；
C、右边为多项式，不是因式分解，C错误；
D、，因式分解错误，D错误．
故答案为：B．
【分析】要判断一个等式变形是否为因式分解，得先明确因式分解的核心：把一个多项式，通过变形转化成几个整式乘积的形式，所以解题时，就逐个看选项，检查左边是不是多项式，右边是不是整式乘积 .
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；同位角的概念；余角；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
4．【答案】A
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
由②①得到：，
∵，
∴，
∴．
故答案为·：A．
【分析】本题要解决的是根据二元一次方程组的解满足的条件，求参数m的取值范围，关键思路是利用方程组中两个方程的系数特点，通过相减消元，直接得到x + y关于m的表达式，再结合x + y>0这个条件，解关于m的不等式即可.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；两直线平行，同位角相等；三角形的外角和
【解析】【解答】解：如图所示，
，，
，
，
故答案为：D．
【分析】
根据平行线的性质得，再根据三角形外角的性质可得，计算即可解答．
6．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；余角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：由图可得，∠CDE=40° ，∠C=90°，
∴∠CED=50°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF=50°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60° 50°=10°，
故答案为：A.
【分析】
先根据角度的和差运算得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小，解答即可．
7．【答案】A
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
又∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】本题目标是求五角星中∠A + ∠B +∠C +∠D +∠E的度数，关键在于利用三角形外角性质，把分散的角转化到同一个三角形里，再结合三角形内角和定理求解，也就是找能把∠B、∠C、∠ D、∠E转化成与∠A共三角形内角的外角即可求解．
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故答案为：B．
【分析】
先设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米， 由信息相向而行，每隔1分钟相遇一次，可列方程x+y=400；由信息同向而行，每隔5分钟相遇一次， 甲比乙的速度快 ，列方程5x-5y=400；由此即可解答.
9．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，故A选项不符合题意，
∵，
∴，
∵，
∴，故B选项不符合题意，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，故C选项不符合题意，
∵，
∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】要判断哪种辅助线不能证明 “三角形内角和为180°”，关键思路是：利用平行线的性质（如内错角相等、同位角相等 ），把三角形的三个内角转化到同一条直线上，形成平角(平角为180°)，若能转化则可证明，反之则不能 .
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①∵和的平分线相交于点，
，，
∴，故①符合题意；
②过作于点，于点，如图：
和的平分线相交于点，
∴点在的平分线上，
，
，故②符合题意；
③∵，
∴，
∵分别是与的平分线，
，
∴，
∴，
∴，
如图，在上取一点，使，连接，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题需逐一验证三个结论，解题思路围绕角平分线性质、三角形内角和定理、全等三角形判定与性质以及三角形面积公式展开： 对于结论①，利用角平分线定义将、用、表示，再结合三角形内角和定理推导与的关系；对于结论②，依据角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ），得出，再用三角形面积公式，将面积拆分为三个小三角形面积和进行验证；对于结论③，通过作辅助线构造全等三角形，先证，再证，利用全等性质得到线段等量关系，结合时的角度推导，验证即可.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从4张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有4种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到黑桃7的结果有1种．
∴抽到黑桃7的概率为．
故答案为：．
【分析】
从4张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有4种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到黑桃7的结果有1种，再根据概率公式计算即可解答．
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，得：，
∵不等式组有4个整数解，
∴，整数解为：，
∴，
解得：；
故答案为：．
【分析】
先解不等式求出不等式组的解集，找到不等式组的整数解整数解为：，可得到参数的范围，计算进行求解即可解答．
13．【答案】126°
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；内错角的概念；两直线平行，内错角相等
14．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
15．【答案】等边三角形
【知识点】完全平方公式及运用；等边三角形的判定；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：因为，
即，
即，
得：，
所以，
所以，
所以的形状为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【分析】本题要判断三角形的形状，关键在于对给定等式进行变形，利用完全平方公式的非负性，思路是把等式整理成几个平方和为0的形式，因为平方数具有非负性，当几个非负的平方和为0时，每个平方都为0，从而得到三边的关系，进而确定三角形形状 .
16．【答案】15岁
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设小明今年的年龄为，则年前小明的年龄为，爸爸的年龄为；
]年后小明的年龄为，爸爸的年龄为；
由题意有，即
整理得，解得.
故答案为：15岁.
【分析】 本题是年龄问题，考查一元一次方程.关键在于抓住年龄差始终不变这一特性，通过设小明现在年龄为未知数，分别表示出 10 年前、10 年后小明和爸爸的年龄，再根据年龄差不变建立方程求解即可 .
17．【答案】4或
【知识点】坐标与图形性质；坐标系中的两点距离公式；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
根据题意，动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为1，点运动时间为，
则可设，
∵是以为腰的等腰三角形
∴当时，可有，
解得，
当时，可有，
解得或（舍去）．
综上所述，的值为4或．
故答案为：4或．
【分析】
根据两点之间的距离公式可得，设，根据等腰三角形的定义分和两种情况，分别利用两点之间的距离公式计算出线段的长度建立方程求解即可解答．
18．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；探索数与式的规律；有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：
，
∴原不等式化为：，
∴；
故答案为：.
【分析】本题是数字规律与不等式求解的结合，关键思路是先观察已知的分数拆分规律，把不等式左边的每一项按照规律拆成两个分数相减的形式，然后通过抵消（裂项相消法 ）简化式子，最后解简化后的不等式 即可.
19．【答案】解：（）方程组整理得，，②①得，，
∴，
把代入②得，，
∴，
∴方程组的解为；
（），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）对于二元一次方程组，思路是先将含分母的方程去分母化为整式方程，再用消元法（这里可用加减消元），消去一个未知数，求解另一个未知数，最后回代求剩余未知数 .（2）解不等式组需分别求解每个不等式，再取它们的解集的公共部分，解不等式时，依据不等式基本性质，通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解.
20．【答案】（1）解：

（2）解：

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】
（1）先提公因式-2x，再利用完全平方公式因式分解即可解答；
（2）先提公因式3x-2，再利用平方差公式因式分解即可解答．
（1）解：
（2）
21．【答案】解：如图，点即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题要在锐角内部找一点，满足且 。解题关键是拆解条件，转化为基本作图：
由，根据线段垂直平分线性质（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 ），可知在的垂直平分线上，由，且已知，可知是的角平分线（因为 ），所以，通过作的垂直平分线和的角平分线，它们的交点就是满足条件的点 .
22．【答案】解：任务：∵，∴八年级学生抽查了人，
∴，
∵抽查的七、八年级学生人数相同，
∴本次抽查的七、八年级学生共人；
任务：∵，
∴估计七年级全体学生对法律了解情况是组别的学生为人；
任务：由题意可知，宣讲团共有名同学，其中女生名，
∴选一名同学到六年级宣讲该法律，抽到的同学是女生的概率是．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；条形统计图；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】任务 1：利用八年级B组的频数与频率求出八年级抽样人数，再根据七、八年级抽样人数相同，结合八年级频数分布表求出a，进而得到总人数；
任务 2：先算出七年级B组抽样人数占七年级抽样总人数的比例，再用七年级总人数乘以该比例，估计B组别的学生数量；
任务 3：先确定宣讲团的总人数和女生人数，再根据概率公式P =女生人数÷总人数，计算抽到女生的概率即可.
23．【答案】（1）解：把代入，得，∴，
把代入，得，
∴，
∴直线的解析式为，
由函数图象可知，方程组的解即为直线和直线的交点的坐标，
∴方程组的解为；
（2）解：由函数图象可得，当时，，∴不等式的解集为；
（3）解：把代入，得，∴，
把代入，得，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）利用点在函数图象上时，坐标满足函数解析式，先将代入求出b，得到P点坐标后，再代入求出m；而方程组的解就是两直线交点P的坐标；
（2）根据函数图象，找L1图象在L2图象上方（包括重合）时x的取值范围；
（3）先求出A、B两点坐标（函数与x轴交点，即y = 0时x的值 ），算出AB的长度，再结合P点纵坐标（三角形的高 ），用三角形面积公式求解 即可.
（1）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴，
∴直线的解析式为，
由函数图象可知，方程组的解即为直线和直线的交点的坐标，
∴方程组的解为；
（2）解：由函数图象可得，当时，，
∴不等式的解集为；
（3）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】解：被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，设“五一”前同样的电视每合x元，空调每台y元，根据题意，得
解得
答：“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题是二元一次方程组在实际销售问题中的应用，解题关键在于根据已知方程组和题目背景，分析出被污染的条件（即空调的优惠信息 ），再通过建立方程组求解电视和空调 “五一” 前的价格。思路是先补全被污染的条件，再利用 “五一” 前总价和促销期花费这两个等量关系列方程组求解.
25．【答案】解：任务一：∠DEF；ASA；EF.
任务二：
方案：
第一步：在平地上取一个可以到达的点；
第二步：连接，并延长，使，，连接；
如图，则的长度即为的长度；
理由：∵，，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；全等三角形的实际应用
【解析】【解答】任务一：解：∵，，
∴，
又∵，，
∴（），
∴．
故填：∠DEF；ASA；EF.
【分析】任务一：根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可；
任务二：根据全等三角形的性质设计方案，利用全等的性质将不能直接测量的线段进行转换：即先再全等草图，最后证明即可；
26．【答案】（1）110
（2）①．②或
（3）解：∵，，由（2）得：，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：（1）过点P作，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：；
（2）．
理由：如图，过点P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
②如图，当点P在的延长线上时，，
过点P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图，当点P在线段上时，，
过点P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【分析】
（1）过点P作，利用平行线的性质分别求出，，再求出它们的和即可得，由此解答即可；
（2）①过点P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可解答；
②分两种情况：当P在的延长线上时；当点P在线段上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可解答；
（3）根据（2）的结论得，即可解答．
（1）解：过点P作，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：；
（2）．
理由：如图，过点P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
②如图，当点P在的延长线上时，，
过点P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图，当点P在线段上时，，
过点P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）∵，，
由（2）得：，
∵，
∴，
∴．
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