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河南省郑州市中原区郑州一中2024-2025学年高一下期末数学试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
时间：120分钟 满分:150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2024福建泉州期末)若复数z满足z=(2+i)·i,则复平面内z对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.(2024贵州遵义阶段练习)欧几里得大约生活在公元前330年至公元前275年，著有《几何原本》《光学》《曲面轨迹》《已知数》等著作.若从这4部著作中任意抽取2部，则抽到《光学》的概率为 ()
A. B. C. D.
3.(2024广州期末)已知向量a,b不共线,满足|a+b|=|a-b|,则a-b在b上的投影向量为 ( )
A. a B. b D.-b
4.(2024 山东临沂期末)若水平放置的平面四边形AOBC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中A'C'∥O'B',B'C'⊥O'B',A'C'=1,O'B'=3,则原四边形AOBC的面积为 ( )
A.2 B.4 C.4 D.8
5.(2024福州期末)如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列结论中错误的是 ( )
A.圆锥的轴截面为直角三角形
B.圆锥的表面积大于球的表面积的一半
C.圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为π
D.圆锥的体积与球的体积之比为1：4
6.(2024甘肃陇南期末)已知平面向量a,b,c 满足|a|=|b|=4,|c|=2,a·b=-8,若c=λa+μb(λ∈R,μ∈R),则2λ+μ的取值范围是
( )
B.[3,-3]c.[2,]D.[-2 ,2
7.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是 ()
A.①② B.②④ C.①③ D.②③
8.(2024吉林东北师大附中阶段练习数学文化)八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心,且IOAI=1,则下列结论不正确的是 ( )
在 上的投影向量为
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.(2024贵州遵义期末)已知事件A，B发生的概率分别为 则下列说法正确的是 ( )
A.若A与B相互独立，则
B.若 则A与B相互独立
C.若A与B互斥，则
D.若B发生时A一定发生，则
10.(2024 安徽亳州期末)已知等腰△ABC 中,底边BC=8,点 D 满足 点.M是△ABC的外接圆O上的任意一点，则( )
C.外接圆半径为3
的最大值为
11.(2024山西长治期末)已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切)，若圆台的上、下底面半径分别为r ，r 且 则 ( )
A.球O的体积为
B.圆台的体积大于16π
C.圆台的侧面积小于16π
D.圆台的母线与底面所成角的余弦值为
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2024四川绵阳期末)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线交于点O,点E在 BC上,且BC=4BE,连接DE 交AC 于点 G,若 则
13.(2024海南省直辖县级单位期末)已知某工厂生产A，B，C三种型号的零件，这三种型号的零件周产量之比为2：3：5，现在用比例分配的分层抽样的方法从某周生产的零件中抽取若干个进行质量检查，若抽取B型号零件15个，则这三种型号的零件共抽取的个数为 .
14.(2024浙江嘉兴期末)如图，壕股塔位于嘉兴南湖西侧的南湖渔村中，某项目学习小组为了测量其高度，选取与塔底O在同一水平面的三个测量点A,B,C,分别测得塔顶 P点的仰角为30°,45°,30°,延长AB交OC 于点 D，经测量D为OC上靠近O点的三等分点 B为AD的中点,AC=120米,则塔高PO= 米.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2024辽宁葫芦岛期末)已知. 的内角A，B，C的对边分别为a, b, c,3E
(1)求 sin C;
(2)已知 E为 BC 的中点,当 中边BC上的中线AE 的长为 时，求 面积的最大值.
16.(15分)(2024 西宁期末)为了解学生的周末学习时间(单位：小时)，高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图(学习时间分组为[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]).
(1)用比例分配的分层随机抽样的方法从学习时间在[20，25)和[25，30]的学生中共抽取6人成立学习小组，再从该小组中抽取3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率；
(2)估计这40名同学周末学习时间的25%分位数.
17.(15分)(2024长春期末)如图1,在平行四边形ABCD 中,E 是CD边上一点,且满足AC⊥AD,AE⊥CD,∠DCA=π/6现以AC 为折痕把 折起，使点 D到达点P的位置，且AE⊥BE，如图2.
(1)证明:平面PAB⊥平面ABC;
(2)求二面角 P-AB-E 的余弦值.
18.(17分)(2024南昌期末)在复平面内,复数z=a+ bi (a, b∈R) 对应的点为Z(a，b)，连接OZ(O为坐标原点)可得向量 ，则称复数z为向量 的对应复数，向量 为复数z的对应向量.
(1)若复数. 的对应向量共线，求实数x的值；
(2)已知复数. 的对应向量分别为 和 若 求f(x)·的最小正周期和单调递增区间.
19.(17分)(2024山东德州期末)如图1,已知正△ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点.
(1)若将△ABC沿CD 翻折,使得平面ADC⊥平面BCD,如图2所示，若三棱锥 E-DFC的体积为 ，求a的值；
(2)若将△ABC沿CD 翻折后,二面角A-DC-B的平面角为60°,求BE与平面BCD所成的角θ的正切值 tanθ;
(3)设将△ABC沿CD 翻折后,二面角A-DC-B的平面角为α(α为锐角),BE与平面BCD 所成的角为θ,用cosα表示tan θ.
答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D D C B B B ABD ACD ABD
一、单项选择题
则z=-1-2i,
所以复平面内∑对应的点的坐标为(-1，-2)，位于第三象限故选 C.
2. B 记4部著作分别为a,b,c,d,
则从4部著作中任意抽取2部的基本事件为ab, ac, ad, bc,bd, cd,共6个,
抽到《光学》的基本事件为 ab, bc, bd,共3个.
所以抽到《光学》的概率为 故选B.
3. D 因为|a+b|=|a-b|,
所以 即 所以a·b=0,
则a-b在b上的投影向量为 故选 D.
4. D 如图1,过点A'作A'D'⊥O'B',交O'B'于点 D',因为A'C'∥O'B',B'C'⊥O'B',A'C'=1,O'B'=3,所以 所以
作出平面四边形AOBC 的平面图,如图2,则AO=2A'O'=
所以 故选D.
5. C对于A，设球的半径为R，圆锥的顶点为A，A在底面的射影为O，连接OA，BC(BC为底面圆的直径)，易知O为BC的中点，如图所示，
则OB=OA=OC=R,在 Rt△AOB 中,易知. AB=AC,
所以 所以 故 A 中结论正确；
对于 B，圆锥的表面积
球的表面积 所以 故 B 中结论正确；对于C，圆锥的母线长为 R，底面周长为2πR，所以圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为 故 C 中结论错误；
对于D 故 V图验： 故 D 中结论正确.
故选C.
6. B 因为|a|=|b|=4,|c|=2,a·b=-8,且c=λa+μb(λ∈R,μ∈R),
所以
所以 令2λ-μ=cosθ, μ=sinθ,所以
其中
所以 即 2λ+μ 的取值范围年
故选 B.
7. B 对于①,易证AB与CE所成的角为45°,则直线AB 与平面CDE不垂直;对于②,易证AB⊥CE,AB⊥ED,又CE∩ED=E,CE,ED 平面CDE,则AB⊥平面CDE;对于③,易证AB与CE 所成的角为60°,则直线AB 与平面 CDE 不垂直;对于④,连接AC,AD,易证ED⊥平面ABC,则ED⊥AB,易证EC⊥平面ABD,则EG⊥AB,又ED∩EC=E,EC,EDC平面CDE,所以AB⊥平面 CDE.
故选 B.
A中结论正确；
B中结论不正确；
所以 C中结论正确；
在 上 的 投 影 向 量 为
D中结论正确.
故选B.
二、多项选择题
9.对于A, 若A与B相互独立, 则P (AB) =P (A) 。
所以P (AAB) =P (A) +P (B) - 故A 正确；
对于B，因为 所以 又
所以 所以A与B相互独立，故B正确；
对于C，若A 与B互斥，则 故C错误；
对于D,若B发生时A 一定发生,则 B A,则 P(AB)= 故 D 正确.
故选 ABD.
10.自动呼叫分流器因为，所以 所以 故A正确；
因为 所以BD=6, DC=2,
易知
由余弦定理可得
即
解得 则 则
所以cos∠bac= cos (π-2∠abc) =-cos2∠abc= - (1-
故B错误；
设外接圆的半径为 R，
由正弦定理得 解得 故 C正确；
易得
易知 当 且同向时， 取最大值，为 12
所以 的最大值为 故D 正确.
故选 ACD.
名师点睛 (1)平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现.
(2)正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用、
.提醒：运算两平面向量的数量积时，要注意两向量的方向、
11. ABD 作出该几何体的轴截面，如图，其中圆O 为等腰梯形ABCD的内切圆,O ,O 分别为AD,BC的中点,M为圆O与AB的切点，
设球的半径为r，连接OA，OB，
易知00 =唵、OA办公自动化,OO∠ ====∠OMA=
所以△OO A≌△OMA,所以OA平分∠O OM,
同理可得OB平分∠O OM,所以∠AOB=90°,
所以由 得
同理可得 ,所以△AOO△OBO△,所以 即 所以 故球O的体积 A正确；
该圆台的体积 当且仅当 时等号成立，又r1易知 当且仅当 时等号成立，又 所以AB>4,
当且仅当 时等号成立，又r1所以圆台的侧面积 C错误；
所以
又因为 r =4,所以 即圆台的母线与底面所成角的余弦值为 D正确.
故选 ABD.
三、填空题
12.答案18/49
解题思路 在平行四边形 ABCD 中,∠CGE = ∠AGD,∠ECA=∠DAG,
所以△CGE△AGD, 所以
所以
又 所以 所以
13.答案 50
解题思路设这三种型号的零件共抽取的个数为n，90由题意得 解得n=50.
14.答案60
解题思路设PO=a米,AB=BD=x米,
由∠Pao=30°, 得 米, 同理可得OB=A米, OC= 米，
由D为OC上靠近O点的三等分点，得 米，在△OAB, △OAD中, 解得
在△OAC; △OAD中, 。 解得a=60.故塔高PO=60米.
四、解答题
15.解题思路(1)由正弦定理得 即 (2分)
故 (4分)
又C∈(0,π),所以
所以 (6分)
(2)由(1)知
在△ACE中，由余弦定理可得 ACCOSC, (8分)
即 (10分)
所以ab≤16，当且仅当 时等号成立， (12分)
所以 故△ABC 面积的最大值为 (13分)
16.解题思路 (1)40 名学生中周末的学习时间在〔20，25)的人数为0.03×5×40=6,
周末的学习时间在[25,30]的人数为0.015×5×40=3,
(2分)
用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，则6人中周末的学习时间在[20,25)的有4人,记为A,B,C,D,周末的学习时间在[25,30]的有2人,记为a,b,
从中抽取3人接受检测的基本事件有ABC，ABD，ABa，ABB, ACD, ACA, ACB, ADA, ADB, AAB, BCD, BCA,, BDA, BDB, BAB, CDA, CDB, CAB, DAB, 共20个个,其中检测的3人来自同一区间的基本事件有ABC，ABD，ACD,BCD,共4个, (4分)
所以检测的3人来自同一区间的概率 (6分)
(2)周末学习时间在5小时以下的频率为0.02×5=0.1<0.25, (8分)
周末学习时间在10小时以下的频率为0.1+0.04×5=0.3>0.25, (10分)
所以25%分位数在区间[5,10)内, (12分)
则 (14分)
所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时.
(15分)
17.解题思路 (1)证明:由题意得 PA⊥AC,AE⊥CP,又AE⊥BE,CP∩BE=E,CP,BE 平面PBC,所以AE⊥平面PBC,又BC 平面PBC,所以AE⊥BC,
(2分)
易知AC⊥BC,又AE∩AC=A,AE,AC 平面 PAC,所以BC⊥平面PAC, (4分)
{}{}
又AC∩BC=C,AC,BC 平面ABC,所以PA⊥平面ABC,
又 PA 平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面ABC. (6分)
(2)过点 E 作 EF∥PA 交AC 于 F,由(1)知,PA⊥平面美国广播公司 (ABC) 、UNK0广播公司 (EF) 、则广播公RAHE平面网面广,所以屏上ABC过 F作 FO⊥AB于O,连接EO,
又EF∩FO=F,EF,FO 平面EFO,所以AB⊥平面EFO,又EO 平面EFO,所以AB⊥EO,
又EO 平面EAB,FO 平面ABC,所以∠EOF 是二面角E-AB-C的平面角, (8分)
由(1)知二面角P-AB-C是直二面角，它被半平面 EAB 分成两个二面角，
因此二面角 P-AB-E的大小等于 (10分)令PE=1, 易知 ,则PA=2, PC=4, AC=2 , BC=PA=2, AB=PC=4, AE= BE=
所以 易知 则
(12分)
所以BC|
(14分)
所以二面角P-AB-E的余弦值是 (15分)
18.审题指导(1)写出两复数对应的向量 的坐标，利用向量共线的坐标表示计算即可；
(2)利用三角恒等变换将函数f(x)化成正弦型函数，求得f(x)的最小正周期，利用正弦函数的单调递增区间求解即可.
解题思路 (1)复数. 的对应向量分别为
由 可得X (X-1) =2, (4分)
解得x=2或.x=-1. (6分)
(2)由题意得 (8分)则

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