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第27章 相似
27.2.3
相似三角形应用举例
授课：
时间：
问题思考
(1) 相似三角形有哪些判定定理
相似三角形的判定定理
三边成比例
定义
两边成比例及其夹角相等
两角相等
斜边直角边
平行相似
问题思考
(2) 相似三角形有哪些性质
相似三角形的性质
三边成比例
角分别相等
对应线段之比等于相似比
周长比等于相似比
面积比等于相似比的平方
如何测量金字塔的高度
据史料记者, 古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理, 在金字塔影子顶部立一根木杆, 借助太阳光线构成两个相似三角形, 来测量金字塔的高度.
问题探索
例1. 如图, 如果木杆 长2 , 它的影长 为3 .
(1) 图中AB与ED平行吗 为什么
平行, 因为太阳光是平行光线.
(2) 影子部分是______三角形,
怎样测出OA的长
等腰
OA的长等于这个等腰三角形的高与金字塔的边长一半的和.
(3) 若OA＝201m,求金字塔的高BO.
问题探索
例1. 如图, 如果木杆EF长2m, 它的影长FD为3m.
(3) 若OA＝201m,求金字塔的高BO.
解: ∵太阳是平行光, AB//ED,
∴∠BAO＝∠D,
又∠O＝∠EFD＝90°,
∴ △AOB∽△DFE,
∴ ,
∴BO＝＝134m,
则金字塔的高BO为134m.
小试锋芒
练习1.如图, 小智用长为3m的竹竿CD做测量工具, 测量学校旗杆AB的高度, 移动竹竿, 使竹竿与旗杆的距离DB＝12m, 竹竿的影长OD＝6m,则旗杆AB的高为( ).
A. 6m B. 7m C. 8m D. 9m
竹
竿
旗
杆
D
小试锋芒
练习2.小雯用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度: 如图, 在水平地面上放一面平面镜, 镜子与教学大楼的距离EA＝21米.当她与镜子的距离CE＝2.5米时, 她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6米.请你帮助小雯计算出教学大楼的高度AB是多少米 (注意: 根据光的反射定律: 反射角等于入射角).
解:教学大楼的高度AB是13.44米.
如何测量河的宽度
Q
测量河宽的步骤:
①在河对岸选定一个目标点P, 在近岸取点Q和S, 使点P, Q, S共线且直线PS与河垂直;
②在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T, 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.
典例精析
P
R
S
T
a
b
某河
典例精析
Q
P
R
S
T
a
b
例2. 如图, 测得QS＝45m,ST＝90m, QR＝60m.
如何计算河宽PQ
解: ∵∠PQR＝∠PST＝90°,∠P＝∠P,
∴ △PQR∽△PST,
∴ ,
设PQ＝x m,则PS＝(45＋x)m,
则 ,
解得x＝90,
经检验, x＝90是原分式方程的解.
∴河宽PQ为90m.
小试锋芒
练习3.如图, 经测得BE＝60m, CE＝30m, CD＝35m, 则河的宽度AB为( ).
A. 30m B. 35m C. 60m D. 70m
D
小试锋芒
练习4.我国古代数学《九章算术》中, 有个“井深几何”问题: 今有井径五尺, 不知其深, 立五尺木于井上, 从木末望水岸, 入径四寸(1尺＝10寸), 问井深几何 其意思如图所示, 则井深BD的长为( ).
A. 12尺 B. 56尺5寸 C. 57尺5寸 D. 62尺5寸
C
典例精析
例3.已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m, 两树底部的距离BD＝5m.一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进, 当她与左边较低的树的距离小于多少时, 就不能看到右边较高的树的顶端点C了
A
C
F
B
D
l
G
(1) 观察者观察树AB的顶点A的仰角是_______,观察树CD的顶点C的仰角是_______;
(2) 观察者的视野盲区是_________;
(3) 当观察者走到什么位置时, 就不能看到右边较高的树的顶端点C了
I
IⅠ
∠AFG
∠CFG
区域I和Ⅱ
典例精析
例3.已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m, 两树底部的距离BD＝5m.一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进, 当她与左边较低的树的距离小于多少时, 就不能看到右边较高的树的顶端点C了
A
C
E
B
D
l
G
I
IⅠ
(3) 当观察者走到什么位置时, 就不能看到右边较高的树的顶端点C了
当观察者从左向右走到点E时, 她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A,C恰在同一直线上时, 满足条件.
典例精析
例3.已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m, 两树底部的距离BD＝5m.一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进, 当她与左边较低的树的距离小于多少时, 就不能看到右边较高的树的顶端点C了
A
H
K
C
E
B
D
l
G
I
IⅠ
解: ∵AB⊥l,CD⊥l,∴AB//CD
∴ △AEH∽△CEK,
∴ ,
设EH＝x m,则EK＝(x＋5) m,
则 ,
经检验, x＝8是原分式方程的解.
∴当她与左边较低的树的距离小于8m时, 满足题意.
解得x＝8,
小试锋芒
练习5.如图, 一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上.已知胶片与屏幕平行, A点为光源, 与胶片BC的距离为0.1m, 胶片的高BC为0.038m, 若需要投影后的图像DE高1.9m, 则投影机光源到屏幕的距离为____.
5m
F
G
小试锋芒
练习6.如图所示为一条东西走向的笔直公路, 点A, B表示公路北侧间隔150m的两棵树所在的位置, 点C表示电视塔所在的位置.小王在公路南侧沿直线PQ行走, 当他到达点P的位置时, 观察并发现树A恰好挡住电视塔C, 即点P, A, C在同一条直线上, 当他继续走180m到达点Q的位置时, 以同样的方法观察, 发现树B也恰好挡住电视塔C.假设公路两侧AB//PQ, 且公路的宽为60m, 求电视塔C到公路南侧PQ的距离.
答案:电视塔C到公路南侧PQ的距离为360m.
D
E
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