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贵州省遵义市红花岗区2025年初中学业水平第二次模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（2025·红花岗模拟）下列实数：，，0，，是无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在，，0，中，是无理数．
故答案为：A．
【分析】无理数是无限不循环小数．根据无理数的定义，对每个选项逐一判断求解即可.
2．（2025·红花岗模拟）中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故答案为：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
3．（2025·红花岗模拟）下列式子中，的同类项是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：根据同类项的定义可知，的同类项是，
故答案为：D．
【分析】同类项是指所含字母相同，相同字母的次数相同. 根据同类项的定义对每个选项逐一判断求解即可.
4．（2025·红花岗模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A. ，计算错误，不符合题意；
B. ，计算正确，符合题意；
C. ，计算错误，不符合题意；
D. ，计算错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方，积的乘方法则，同底数幂的乘除法以及合并同类项法则计算求解即可.
5．（2025·红花岗模拟）估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
则，
即3和4之间，
故答案为：C．
【分析】根据题意先估算出的范围，再估算的值求解即可.
6．（2025·红花岗模拟）学校食堂对全体同学爱吃哪种水果做调查。下面的调查数据最值得关注的是（　　）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：A、方差是反映数据稳定情况的数据，不能客观反映学生的好恶；
B、众数能比较客观反映学生的好恶；
C、中位数不能客观反映学生的好恶；
D、平均数只能反映学生喜欢各种水果的情况。
故答案为：B.
【分析】方差是衡量一组数据稳定情况的数据，方差越大，数据稳定性越差；众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；中位数是把一组数据按照从小到大的顺序排列后最中间或最中间两个数据的平均值；平均数是一组数据的总和与样本容量的商.
7．（2025·红花岗模拟）将一个含角的直角三角尺和直尺如图放置，当时，，，，四个角中与互余的角有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】平行线的性质；余角
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，，，四个角中与互余的角有和，共个，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再根据平行线的性质求出，，，最后根据余角的定义求解即可.
8．（2025·红花岗模拟）不透明的袋子中只有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球、下列事件是必然事件的是（　　）
A．2个球都是黑球 B．2个球都是白球
C．2个球中有黑球 D．2个球中有白球
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A. 2个球都是黑球是不可能事件，不符合题意；
B. 2个球都是白球是随机事件，不符合题意；
C. 2个球中有黑球是随机事件，不符合题意；
D. 2个球中有白球是必然事件，符合题意；
故答案为：D．
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件. 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小对每个选项逐一判断求解即可.
9．（2025·红花岗模拟）如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为，月季园的坐标为，则牡丹园的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示，
∴牡丹园的坐标为．
故答案为：A.
【分析】根据芍药园和月季园的坐标 ，确定平面直角坐标系，再求牡丹园的坐标即可.
10．（2025·红花岗模拟）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国愧树叶一年的平均滞尘量得2倍少4毫克，
∴可列方程，
∵两片银杏树叶与三片国愧树叶一年的平均滞尘量为146，
∴可列方程，
∴列方程组为：．
故答案为：B．
【分析】根据题意找出等量关系求出，，再列方程组求解即可.
11．（2025·红花岗模拟）如图，在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，，
根据作图可知：，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质求出，，再利用锐角三角函数和勾股定理求出，，最后利用扇形和三角形的面积公式计算求解即可.
12．（2025·红花岗模拟）下面的四个问题中都有两个变量：
①含角的直角三角形中，直角三角形的面积与斜边长；
②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积与其中一个正数；
③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积与半径．
④设正方体的棱长为，表面积为，则与的函数关系
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）
A．①② B．②③④ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①含角的直角三角形中，
∵斜边长，
∴较短的直角边的长为，较长的直角边的长为，
∴直角三角形的面积，该函数开口向上，不符合题意；
②设一个正数为x，两个正数和为m，则拆成两个正数中另一个正数为，
则，该函数图象开口向下，符合题意；
③设篱笆的长度为，扇形花园的半径为，
∴扇形的弧长为：，
∴扇形的面积y与它的半径之间的函数关系式为：，该函数图象开口向下，符合题意；
④∵正方体的棱长为，表面积为，
∴与的函数关系为，该函数开口向上，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意分别求出每个问题中与的关系，再结合二次函数的图象求解即可.
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．（2025·红花岗模拟）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】x≥0且x≠1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴x≥0，x﹣1≠0，
∴实数x的取值范围是：x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
【分析】利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出即可．
14．（2025·红花岗模拟）某正比例函数经过二、四象限，写出一个满足条件的的值　 　．
【答案】
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数经过二、四象限，
∴，
∴（答案不唯一）.
【分析】根据题意先求出，再求解即可.
15．（2025·红花岗模拟）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为　 　．
【答案】35
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；线段的中点；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵支柱经过的中点，
∴，
当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，如图所示，点与点对应，点与点对应，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】根据线段的中点求出，再根据相似三角形的判定方法求出，最后根据相似三角形的性质计算求解即可.
16．（2025·红花岗模拟）如图，在矩形中，是边上一点，是上一点，，，则的长　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长交延长线于点，延长交于点，过点作于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴设，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
即，
解得：，（舍），，（舍），
∴由得到或（均舍负），
∴当时，此时，
∴，与得到矛盾，故舍，
∴，
∴，符合题意，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质求出，再根据相似三角形的判定方法求出，最后利用勾股定理计算求解即可.、
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·红花岗模拟）（1）从下列几个式子中任选3个求和：①；②；③；④．
（2）化简：．
【答案】解：（1）①②③：原式；
①②④：原式；
②③④：原式；
①③④：原式；
（2）原式
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）利用二次根式，零指数幂，特殊角的锐角三角函数值，负整数指数幂以及实数的混合运算法则计算求解即可；
（2）利用分式的混合运算法则计算求解即可.
18．（2025·红花岗模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
（1）求和的值．
（2）横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点，现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
∴，，
解得，．
（2）解：∵横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点，
∴，
即，
∵将点向下平移落在一次函数图象上时，，
则，
∴向下平移的距离为．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算求解即可；
（2）先求出点B的坐标，再求出，最后作答求解即可.
（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
∴，，
解得，．
（2）解：∵横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点，
∴，
即，
将点向下平移落在一次函数图象上时，
，
，
∴向下平移的距离为．
19．（2025·红花岗模拟）某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？
（3）在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）解：此次调查中一共抽取的学生人数为：（名）
（名），
补充条形统计图如图所示：
（2）解：
答：扇形统计图中部分的圆心角是．

（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）通过部分求出总体，总体减去已知的数据，即可得出的数据，最后作答即可；
（2）利用占比即可求出部分圆心角度数；
（3）先画树状图，再求出共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，最后求概率即可.
（1）解：（名）
答：此次调查一共抽取了50名学生．
（名）
补充条形统计图如图所示．
（2）解：
答：扇形统计图中部分的圆心角是．
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是．
20．（2025·红花岗模拟）如图，四边形中，，连接，尺规作图：作出的垂直平分线，交与点，与、所在的直线相交于点、．（点不与点重合）
（1）根据题意补全图形（保留作图痕迹），并证明；
（2）连接、，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，直线l即为所求，
证明：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
连接、，如图所示：
根据解析（1）可知，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）按照线段垂直平分线的作图方法作图，先求出BO=DO，再根据平行线的性质求出，，最后利用全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出，再根据平行四边形的判定方法证明四边形为平行四边形，最后根据菱形的判定方法证明求解即可.
（1）解：如图，直线l即为所求，
证明：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
连接、，如图所示：
根据解析（1）可知，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，即，
∴四边形为菱形．
21．（2025·红花岗模拟）根据背景素材，探索解决问题．
素材1 电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
素材2 若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1 为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________．
任务2 若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示）
任务3 当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．
【答案】任务1：；
任务2：；
任务3：设总利润为w元，销售量为y个，
∴
，
∴当时，元，
∴当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1：设增长百分率为a，依题意列方程为：；
故答案为：；
任务2：该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为；
故答案为：.
【分析】任务1：设增长百分率为a ，再根据题意找出等量关系列方程求解即可；
任务2：根据售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个列代数式求解即可；
任务3：先设总利润为w元，销售量为y个，再求出当时，元，最后作答即可.
22．（2025·红花岗模拟）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座．
（1）若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号）
（2）在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点到所在直线的距离．（精确到，）
【答案】（1）解：如图，延长交于，
垂直于地面，上臂与水平面平行，
，
，，
，
，，
，
即点到地面的距离为；
（2）解：如图，过点作垂直于地面，垂足为，过作交的延长线于，交于点，过点作交延长线于点，则四边形是矩形，
∴，，
，
∴
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
点到所在直线的距离为.
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再求出，最后根据含角的直角三角形的性质计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再根据平行线的性质求出，最后根据锐角三角函数计算求解即可.
（1）解：如图，延长交于，
垂直于地面，上臂与水平面平行，
，
，，
，
，，
，
即点到地面的距离为；
（2）解：如图，过点作垂直于地面，垂足为，过作交的延长线于，交于点，过点作交延长线于点，则四边形是矩形，
∴，
，
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴，
点到所在直线的距离为．
23．（2025·红花岗模拟）如图①有一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线型．如图②，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高为．如图③所示建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知该拱桥限高米，要使船只通过此拱桥，求可通行船只的最大宽度；
（3）现有两艘宽都为米，高出水面米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升米．请问两船能否在桥下顺利交汇？（不考虑两船间的空隙）．
【答案】（1）解：根据题意，得：，，，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，得：，
解得：或，
∴（米），
∴可通行船只的最大宽度为米；
（3）解：当时，，
∵，
∴两船不能在桥下顺利交汇．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出，再解方程求出x的值，最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出，再计算求解即可.
（1）解：根据题意，得：，，，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，得：，
解得：或，
∴（米），
∴可通行船只的最大宽度为米；
（3）当时，，
∵，
∴两船不能在桥下顺利交汇．
24．（2025·红花岗模拟）如图，是的外接圆，，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点，连接．
（1）写出一个与相等的角；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）
（2）证明：连接，
∵平分，平分，
∴平分，
∴，，
由（1）知，
即，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图，作，，垂足分别为，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，平分，
∴，
在中，，
∴，
∵平分，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）利用圆周角定理，结合图形求解即可；
（2）根据角平分线求出，，再根据三角形的外角性质求出，，最后根据等角对等边证明求解即可；
（3）利用锐角三角函数求出，再利用勾股定理求出AF=8，最后根据全等三角形的判定与性质证明求解即可.
（1）解：∵，∴，
故答案为：；
（2）证明：连接，
∵平分，平分，
∴平分，
∴，，
由（1）知，即，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：作，，垂足分别为，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，平分，
∴，
在中，，
∴，
又平分，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
25．（2025·红花岗模拟）数学课上，同学们对矩形进行探究，已知，，将绕点旋转得到．
【探究发现】
（1）如图①，当点落在上，连接，则___________．
【深入探究】
（2）如图，旋转到如图②的位置，连接与相交于点，若时，求的值．
【拓展应用】
（3）如图③，在旋转过程中，当点，分别为，中点时，连接，当以为直角边的直角三角形时，直接写出的长．
【答案】(1)；
(2)解：如图，作于点，作于点，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，（舍去负值），
，
在中，，
．
(3)或1或4
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形的中位线定理；求正弦值
【解析】【解答】（1）解：四边形是矩形，
，
，
由旋转的性质得，，，，
，，
．
故答案为：；
（3）解：①若，连接，如图，
由旋转的性质得，，
点，分别为，中点，
，，
，，
，
三点共线，
，
又，
，
，
；
②若且在的下方，连接，如图，
点，分别为，中点，
，，
，
，
三点共线，
由旋转的性质得，，
，
；
③若且在的上方，连接，如图，
点，分别为，中点，
，，
，
，
三点共线，
由旋转的性质得，，
，
；
综上所述，的长为或1或4．
【分析】（1）利用矩形的性质求出，再根据旋转的性质求出，，，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据相似三角形的判定方法求出，再利用勾股定理求出AQ的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）根据题意，分①；②且在的下方；③且在的上方三种情况讨论，利用相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理等计算求解即可.
1 / 1贵州省遵义市红花岗区2025年初中学业水平第二次模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（2025·红花岗模拟）下列实数：，，0，，是无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．
2．（2025·红花岗模拟）中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·红花岗模拟）下列式子中，的同类项是（　　）
A． B． C．2 D．
4．（2025·红花岗模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C．3 D．
5．（2025·红花岗模拟）估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．（2025·红花岗模拟）学校食堂对全体同学爱吃哪种水果做调查。下面的调查数据最值得关注的是（　　）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
7．（2025·红花岗模拟）将一个含角的直角三角尺和直尺如图放置，当时，，，，四个角中与互余的角有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（2025·红花岗模拟）不透明的袋子中只有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球、下列事件是必然事件的是（　　）
A．2个球都是黑球 B．2个球都是白球
C．2个球中有黑球 D．2个球中有白球
9．（2025·红花岗模拟）如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为，月季园的坐标为，则牡丹园的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·红花岗模拟）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·红花岗模拟）如图，在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·红花岗模拟）下面的四个问题中都有两个变量：
①含角的直角三角形中，直角三角形的面积与斜边长；
②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积与其中一个正数；
③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积与半径．
④设正方体的棱长为，表面积为，则与的函数关系
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）
A．①② B．②③④ C．②③ D．②④
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．（2025·红花岗模拟）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是　 　．
14．（2025·红花岗模拟）某正比例函数经过二、四象限，写出一个满足条件的的值　 　．
15．（2025·红花岗模拟）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为　 　．
16．（2025·红花岗模拟）如图，在矩形中，是边上一点，是上一点，，，则的长　 　．
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·红花岗模拟）（1）从下列几个式子中任选3个求和：①；②；③；④．
（2）化简：．
18．（2025·红花岗模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
（1）求和的值．
（2）横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点，现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离．
19．（2025·红花岗模拟）某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？
（3）在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率．
20．（2025·红花岗模拟）如图，四边形中，，连接，尺规作图：作出的垂直平分线，交与点，与、所在的直线相交于点、．（点不与点重合）
（1）根据题意补全图形（保留作图痕迹），并证明；
（2）连接、，试判断四边形的形状，并说明理由．
21．（2025·红花岗模拟）根据背景素材，探索解决问题．
素材1 电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
素材2 若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1 为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________．
任务2 若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示）
任务3 当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．
22．（2025·红花岗模拟）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座．
（1）若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号）
（2）在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点到所在直线的距离．（精确到，）
23．（2025·红花岗模拟）如图①有一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线型．如图②，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高为．如图③所示建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知该拱桥限高米，要使船只通过此拱桥，求可通行船只的最大宽度；
（3）现有两艘宽都为米，高出水面米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升米．请问两船能否在桥下顺利交汇？（不考虑两船间的空隙）．
24．（2025·红花岗模拟）如图，是的外接圆，，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点，连接．
（1）写出一个与相等的角；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
25．（2025·红花岗模拟）数学课上，同学们对矩形进行探究，已知，，将绕点旋转得到．
【探究发现】
（1）如图①，当点落在上，连接，则___________．
【深入探究】
（2）如图，旋转到如图②的位置，连接与相交于点，若时，求的值．
【拓展应用】
（3）如图③，在旋转过程中，当点，分别为，中点时，连接，当以为直角边的直角三角形时，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在，，0，中，是无理数．
故答案为：A．
【分析】无理数是无限不循环小数．根据无理数的定义，对每个选项逐一判断求解即可.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故答案为：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
3．【答案】D
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：根据同类项的定义可知，的同类项是，
故答案为：D．
【分析】同类项是指所含字母相同，相同字母的次数相同. 根据同类项的定义对每个选项逐一判断求解即可.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A. ，计算错误，不符合题意；
B. ，计算正确，符合题意；
C. ，计算错误，不符合题意；
D. ，计算错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方，积的乘方法则，同底数幂的乘除法以及合并同类项法则计算求解即可.
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
则，
即3和4之间，
故答案为：C．
【分析】根据题意先估算出的范围，再估算的值求解即可.
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：A、方差是反映数据稳定情况的数据，不能客观反映学生的好恶；
B、众数能比较客观反映学生的好恶；
C、中位数不能客观反映学生的好恶；
D、平均数只能反映学生喜欢各种水果的情况。
故答案为：B.
【分析】方差是衡量一组数据稳定情况的数据，方差越大，数据稳定性越差；众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；中位数是把一组数据按照从小到大的顺序排列后最中间或最中间两个数据的平均值；平均数是一组数据的总和与样本容量的商.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；余角
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，，，四个角中与互余的角有和，共个，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再根据平行线的性质求出，，，最后根据余角的定义求解即可.
8．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A. 2个球都是黑球是不可能事件，不符合题意；
B. 2个球都是白球是随机事件，不符合题意；
C. 2个球中有黑球是随机事件，不符合题意；
D. 2个球中有白球是必然事件，符合题意；
故答案为：D．
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件. 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小对每个选项逐一判断求解即可.
9．【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示，
∴牡丹园的坐标为．
故答案为：A.
【分析】根据芍药园和月季园的坐标 ，确定平面直角坐标系，再求牡丹园的坐标即可.
10．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国愧树叶一年的平均滞尘量得2倍少4毫克，
∴可列方程，
∵两片银杏树叶与三片国愧树叶一年的平均滞尘量为146，
∴可列方程，
∴列方程组为：．
故答案为：B．
【分析】根据题意找出等量关系求出，，再列方程组求解即可.
11．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，，
根据作图可知：，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质求出，，再利用锐角三角函数和勾股定理求出，，最后利用扇形和三角形的面积公式计算求解即可.
12．【答案】C
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①含角的直角三角形中，
∵斜边长，
∴较短的直角边的长为，较长的直角边的长为，
∴直角三角形的面积，该函数开口向上，不符合题意；
②设一个正数为x，两个正数和为m，则拆成两个正数中另一个正数为，
则，该函数图象开口向下，符合题意；
③设篱笆的长度为，扇形花园的半径为，
∴扇形的弧长为：，
∴扇形的面积y与它的半径之间的函数关系式为：，该函数图象开口向下，符合题意；
④∵正方体的棱长为，表面积为，
∴与的函数关系为，该函数开口向上，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意分别求出每个问题中与的关系，再结合二次函数的图象求解即可.
13．【答案】x≥0且x≠1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴x≥0，x﹣1≠0，
∴实数x的取值范围是：x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
【分析】利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出即可．
14．【答案】
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数经过二、四象限，
∴，
∴（答案不唯一）.
【分析】根据题意先求出，再求解即可.
15．【答案】35
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；线段的中点；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵支柱经过的中点，
∴，
当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，如图所示，点与点对应，点与点对应，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】根据线段的中点求出，再根据相似三角形的判定方法求出，最后根据相似三角形的性质计算求解即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长交延长线于点，延长交于点，过点作于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴设，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
即，
解得：，（舍），，（舍），
∴由得到或（均舍负），
∴当时，此时，
∴，与得到矛盾，故舍，
∴，
∴，符合题意，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质求出，再根据相似三角形的判定方法求出，最后利用勾股定理计算求解即可.、
17．【答案】解：（1）①②③：原式；
①②④：原式；
②③④：原式；
①③④：原式；
（2）原式
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）利用二次根式，零指数幂，特殊角的锐角三角函数值，负整数指数幂以及实数的混合运算法则计算求解即可；
（2）利用分式的混合运算法则计算求解即可.
18．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
∴，，
解得，．
（2）解：∵横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点，
∴，
即，
∵将点向下平移落在一次函数图象上时，，
则，
∴向下平移的距离为．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算求解即可；
（2）先求出点B的坐标，再求出，最后作答求解即可.
（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
∴，，
解得，．
（2）解：∵横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点，
∴，
即，
将点向下平移落在一次函数图象上时，
，
，
∴向下平移的距离为．
19．【答案】（1）解：此次调查中一共抽取的学生人数为：（名）
（名），
补充条形统计图如图所示：
（2）解：
答：扇形统计图中部分的圆心角是．

（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）通过部分求出总体，总体减去已知的数据，即可得出的数据，最后作答即可；
（2）利用占比即可求出部分圆心角度数；
（3）先画树状图，再求出共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，最后求概率即可.
（1）解：（名）
答：此次调查一共抽取了50名学生．
（名）
补充条形统计图如图所示．
（2）解：
答：扇形统计图中部分的圆心角是．
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是．
20．【答案】（1）解：如图，直线l即为所求，
证明：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
连接、，如图所示：
根据解析（1）可知，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）按照线段垂直平分线的作图方法作图，先求出BO=DO，再根据平行线的性质求出，，最后利用全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出，再根据平行四边形的判定方法证明四边形为平行四边形，最后根据菱形的判定方法证明求解即可.
（1）解：如图，直线l即为所求，
证明：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
连接、，如图所示：
根据解析（1）可知，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，即，
∴四边形为菱形．
21．【答案】任务1：；
任务2：；
任务3：设总利润为w元，销售量为y个，
∴
，
∴当时，元，
∴当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1：设增长百分率为a，依题意列方程为：；
故答案为：；
任务2：该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为；
故答案为：.
【分析】任务1：设增长百分率为a ，再根据题意找出等量关系列方程求解即可；
任务2：根据售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个列代数式求解即可；
任务3：先设总利润为w元，销售量为y个，再求出当时，元，最后作答即可.
22．【答案】（1）解：如图，延长交于，
垂直于地面，上臂与水平面平行，
，
，，
，
，，
，
即点到地面的距离为；
（2）解：如图，过点作垂直于地面，垂足为，过作交的延长线于，交于点，过点作交延长线于点，则四边形是矩形，
∴，，
，
∴
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
点到所在直线的距离为.
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再求出，最后根据含角的直角三角形的性质计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再根据平行线的性质求出，最后根据锐角三角函数计算求解即可.
（1）解：如图，延长交于，
垂直于地面，上臂与水平面平行，
，
，，
，
，，
，
即点到地面的距离为；
（2）解：如图，过点作垂直于地面，垂足为，过作交的延长线于，交于点，过点作交延长线于点，则四边形是矩形，
∴，
，
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴，
点到所在直线的距离为．
23．【答案】（1）解：根据题意，得：，，，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，得：，
解得：或，
∴（米），
∴可通行船只的最大宽度为米；
（3）解：当时，，
∵，
∴两船不能在桥下顺利交汇．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出，再解方程求出x的值，最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出，再计算求解即可.
（1）解：根据题意，得：，，，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，得：，
解得：或，
∴（米），
∴可通行船只的最大宽度为米；
（3）当时，，
∵，
∴两船不能在桥下顺利交汇．
24．【答案】（1）
（2）证明：连接，
∵平分，平分，
∴平分，
∴，，
由（1）知，
即，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图，作，，垂足分别为，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，平分，
∴，
在中，，
∴，
∵平分，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）利用圆周角定理，结合图形求解即可；
（2）根据角平分线求出，，再根据三角形的外角性质求出，，最后根据等角对等边证明求解即可；
（3）利用锐角三角函数求出，再利用勾股定理求出AF=8，最后根据全等三角形的判定与性质证明求解即可.
（1）解：∵，∴，
故答案为：；
（2）证明：连接，
∵平分，平分，
∴平分，
∴，，
由（1）知，即，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：作，，垂足分别为，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，平分，
∴，
在中，，
∴，
又平分，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
25．【答案】(1)；
(2)解：如图，作于点，作于点，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，（舍去负值），
，
在中，，
．
(3)或1或4
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形的中位线定理；求正弦值
【解析】【解答】（1）解：四边形是矩形，
，
，
由旋转的性质得，，，，
，，
．
故答案为：；
（3）解：①若，连接，如图，
由旋转的性质得，，
点，分别为，中点，
，，
，，
，
三点共线，
，
又，
，
，
；
②若且在的下方，连接，如图，
点，分别为，中点，
，，
，
，
三点共线，
由旋转的性质得，，
，
；
③若且在的上方，连接，如图，
点，分别为，中点，
，，
，
，
三点共线，
由旋转的性质得，，
，
；
综上所述，的长为或1或4．
【分析】（1）利用矩形的性质求出，再根据旋转的性质求出，，，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据相似三角形的判定方法求出，再利用勾股定理求出AQ的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）根据题意，分①；②且在的下方；③且在的上方三种情况讨论，利用相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理等计算求解即可.
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