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甘肃省定西市临洮县2025年中考二模数学试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（2025·临洮模拟）下列四个数中最小的是（　　）
A． B． C．0 D．5
2．（2025·临洮模拟）有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·临洮模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·临洮模拟）截至4月12日17时38分，电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房达到156.29亿元，也是我国首部百亿电影．将数据“156.29亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·临洮模拟）如图，是的直径，弦与交于点E，连接，．若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·临洮模拟）一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·临洮模拟）随着人工智能技术的不断突破，人形机器人行业备受关注，未来行业将持续保持高速发展．如图是某机构对2025～2030年全球人形机器人市场规模预测的数据：
根据预测数据，下列分析正确的是（　　）
①2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长；
②2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年增大；
③2025～2030年全球人形机器人市场总规模超7000亿元；
④若保持与2030年相同的年增长率，到2032年全球人形机器人市场规模将超万亿元．
A．①④ B．①② C．②③④ D．①②④
8．（2025·临洮模拟）分式方程的解为（　　）
A．0 B．6 C．2 D．4
9．（2025·临洮模拟）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·临洮模拟）如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，图2是点运动过程中与之间函数关系的图象，则的长是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（木大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·临洮模拟）因式分解 =　 　．
12．（2025·临洮模拟）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则=　 　．（写出一个满足条件的值）
13．（2025·临洮模拟）阿基米德说： “给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理．如图，春白——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用了杠杆原理工作， 图是该舂臼的侧面简易示意图， 点是支点， 点距地面，且，在舂臼使用过程中， 若端上升至距地面处， 则端此时距地面　 　．
14．（2025·临洮模拟）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高　 　m时，水柱落点距离O点．
15．（2025·临洮模拟）古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点A和点B分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，B地在A地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离为800km．当太阳光线在A地直射时，同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是．由此估算地球周长约为　 　km．
16．（2025·临洮模拟）如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为　 　．
三、解答题：（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·临洮模拟）计算：．
18．（2025·临洮模拟）解不等式组：．
19．（2025·临洮模拟）先化简，再求值：，其中．
20．（2025·临洮模拟）在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神．
如今，借助尺规来完成一道几何构造题：
如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下：
①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q；
②作直线交于点D，连接；
③以B为圆心，的长为半径作弧，交直线于点E，连接．
（1）请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，，则四边形的面积是__________．
21．（2025·临洮模拟）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点两处分别测得木塔顶端的仰角的度数（，，在同一条直线上），再测得两点之间的距离．
数据收集：测角仪，测得．
问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）．
参考数据：，，，，，．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
22．（2025·临洮模拟）“宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，最早的“官商角徵羽”的名称见于距今2600余年的春秋时期，在《管子·地员篇》中，有采用数学运算方法获得“宫、商、角、徵、羽”五个音的科学办法，这就是中国音乐史上著名的“三分损益法”．某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中间A处沿轨道进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽．
（1）第一次发出“羽”音的概率为__________；
（2）请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率．
四、解答题：（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．（2025·临洮模拟）广西水果全国产量第一，而蓬勃发展的快递业，为广西的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．火龙果种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家火龙果种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分：
甲：6、6、7、7、7、8、9、9、9、10
乙：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10
c．配送速度和服务质量得分统计表：
统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 m 7
乙 8 8 7
b．服务质量得分统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 ； （填“”“=”或“”)．
（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．
24．（2025·临洮模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）一次函数和反比例函数的解析式；
（2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标．
25．（2025·临洮模拟）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
26．（2025·临洮模拟）如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，．
（1）【问题发现】
如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______；
（2）【问题探究】
如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长．
27．（2025·临洮模拟）如图1，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点、，点P是直线下方抛物线上一动点，分别连接．
（1）求抛物线表达式；
（2）当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标；
（3）将线段沿x轴的负方向平移得到，点A的对应点为点，点C的对应点为点，点Q为点A关于x轴的对称点，连接，在线段平移过程中，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：比较四个有理数的大小：，
四个数中最小的是．
故答案为：A．
【分析】根据有理数的大小比较方法，可得出，从而得出 四个数中最小的 -5，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 冰壶如图放置时的俯视图是：
故答案为：D．
【分析】画出冰壶如图放置时的俯视图俯视图，即可得答案．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法、整式的除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，分别计算出各选项答案，即可得出正确答案．
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：156.29亿=；
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．这里是表示较大的数，n比原整数为少1，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】连接，利用直径所对的圆周角是直角可得，再根据圆周角定理得到，求出∠ADC即可解题．
6．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】 解：∵一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意可知 一次函数， 其图象不经过第一象限， 故而经过二、三、四象限或二、四象限；故而得出的图象过 据此可得，解之即可．
7．【答案】A
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解：根据市场规模条形统计图可知，年全球人形机器人市场规模逐年增长，故①正确；
根据增长率的折线统计图可知，年全球人形机器人市场规模增长率逐年降低，故②错误；
根据市场规模条形统计图可知，年全球人形机器人市场总规模为：（亿元），故③错误；
2032年全球人形机器人市场规模为：（亿元），故④正确．
故答案为：A．
【分析】根据条形统计图及折线统计图获取信息，逐项进行分析，即可得出答案．
8．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
解得，
经检验是分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】由题意，在方程两边同时乘以最简公分母（x-2），可将分式方程化为整数方程，解整式方程求出x的值，再检验可求解．
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，过点作，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】过点作，利用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，推出，根据两直线平行，同位角相等，推出，再利用角的和差和对顶角相等即可求解．
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；通过函数图象获取信息；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：根据函数图象，可知点表示时的面积为24，
，
，
，
根据勾股定理．
故答案为：C．
【分析】首先根据图2点可知：，的面积为24，进一步根据三角形面积计算公式可得出BC的长度，然后根据勾股定理即可求得AC的长度；
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： = = ，故答案为： ．
【分析】提取公因式2，然后利用完全平方公式分解即可.
12．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
∴满足条件，
故答案为：1（答案不唯一） ．
【分析】首先求出根的判别式，然后根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，解不等式得出，写出一个符合题意的c的值即可。
13．【答案】35
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，则，，
由题意得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
端此时距地面，
故答案为：．
【分析】过B作地面于D，过A作地面于H，过O作地面于C，过B作于E交OC于F，根据平行线的性质，易证，得到，代入数据求出，AE的长，进而即可求出
14．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高时，可设，
此时函数图象经过点
将代入解析式得出①；
喷头高时，可设；
此时函数图象经过点
将代入解析式得②；
当喷头高为h米时，可设，
此时函数图象经过点，
将代入得出4a+2b+h=0③
联立①，②可求出，
将，代入③可得
解得，
故答案为：．
【分析】根据题意可知：在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得当喷头高为h米时，可设，将代入得出4a+2b+h=0联立可求出和的值，把a，b的值代入4a+2b+h=0中，即可求得H的值。
15．【答案】40000
【知识点】平行线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：设地球的半径是，
太阳的光线是平行的，
，
的长，
∴
，
地球周长约是．
故答案为：40000．
【分析】首先根据平行线的性质求出圆弧AB所对的圆心角为7.2°，设地球的半径是，由弧长公式得到：的长，求出，进而利用圆的周长计算公式即可得到地球周长．
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；面积及等积变换
【解析】【解答】解：四边形为正方形，且边长为4，
，，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
由三角形的面积得：，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】首先证明和全等得，然后在中由勾股定理求出，则，再根据面积法求出，进而可得的长．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则，先算乘除法，再算加减法，即可得出答案。
18．【答案】解：解不等式①，得：
，
解不等式②：
，
∴原不等式组的解集为．

【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】首先分别解不等式①和不等式②，再找出①②解集的公共部分，即可得出原不等式组的解集为．
19．【答案】解：
，
代入，原式．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；分式的通分；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则进行分式的化简，得出最简结果为，然后把代入中，进行计算，即可得出结果。
20．【答案】（1）解：由题意，作图如下：
（2）80
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）解：根据作图可得，垂直平分，
∴，，
∵由作图得，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
故答案为：80．
【分析】（1）按照题中描述进行作图即可；
（2）根据作图过程可得出，得出四边形为菱形，然后菱形的性质结合勾股定理，可求出，，进而根据l求出菱形的面积即可．
（1）解：由题意，作图如下：
（2）解：根据作图可得，垂直平分，
∴，，
∵由作图得，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
故答案为：80．
21．【答案】解：由题意得，四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
设的长为，则
在中，，
，
在中，，
，
∴
解得，
，
∴，
甘州木塔的高度约为。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意，易得， ，设的长为，则，在 和 中，分别根据正切函数的定义，求出AF的值，然后再建立等量关系，即可求出x的值，进而即可求出OA的值
22．【答案】（1）
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中先发出“角”音，再发出“徵”音的结果只有1种，
先发出“角”音，再发出“徵”音的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）总共有“宫、商、角、徵、羽”五个音，
∴第一次发出“羽”音的概率为，
故答案为：．
【分析】（1）利用概率公式即可求得第一次发出“羽”音的概率；
（2）先画出树状图进行分析，得到所有机会均等的结果总共有25种，再找出先发出“角”音，再发出“徵”音的结果又1种，即可得出答案．
（1）解：（1）总共有“宫、商、角、徵、羽”五个音，
∴第一次发出“羽”音的概率为，
故答案为：．
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中先发出“角”音，再发出“徵”音的结果只有1种，
先发出“角”音，再发出“徵”音的概率为．
23．【答案】（1）
（2）解：小丽应选择甲公司，理由见解析解：小丽应选择甲公司.
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司.
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）将甲快递公司的配送速度得分按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数，
则，
，
，
则，
故答案为：．
（2）解：小丽应选择甲公司.
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司.
【分析】（1）根据中位数和方差的公式可分别求得，，，进而即可得出答案；
（2）根据中位数、平均数和方差的意义，配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，根据甲的方差明显小于乙的方差，即可得出甲更稳定，所以小丽应选择甲公司.
（1）解：将甲快递公司的配送速度得分按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数，
则，
，
，
则，
故答案为：．
（2）解：小丽应选择甲公司.
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司.
24．【答案】（1）解：把点代入，得，
解得，
一次函数的解析式为，
把点代入，得，
∴
把点代入，得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入，得，
，
设，则，
，，
，
，
或，
或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式求出，最后计算求解即可.
（1）解：把点代入，得，解得，
一次函数的解析式为，
把点代入，得，
∴
把点代入，得，
反比例函数的解析式为，
（2）解：把代入，得，
，
设，则，
，，
，
，
或，
或．
25．【答案】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵于点E，交的延长线于点F，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴的半径长为3．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定；正切的概念
【解析】【分析】（1）连接，可分别根据等腰三角形的性质得出，，可等量代换为，进而得出，再根据垂直定义以及平行线的性质可得出，进而根据切线的判定，得出结论；
（2）由， 可得出，因为，，可得出，在直角三角形ODF中，根据勾股定理可得出，解方程即可得出，即的半径长为3．
（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵于点E，交的延长线于点F，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴的半径长为3．
26．【答案】（1），；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，交于，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，
，；
（3）解：分两种情况，情况一：如图，
，，
，
由（1）得，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
情况二：如图，
同理得，，
，
综上所述：的长为3或15．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）延长交于点，
为等腰直角三角形，四边形为正方形，
，，，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）先利用SAS证明，再结合全等三角形的性质证明，进而即可作答；
（2）先证是等腰直角三角形，，，，，，则，推出四边形为平行四边形，即可作答；
（3）分两种情况讨论，分别求出BG．
（1）解：延长交于点，
为等腰直角三角形，四边形为正方形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
即，
故答案为：，；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，交于，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，
，；
（3）解：分两种情况，情况一：如图，
，，
，
由（1）得，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
情况二：如图，
同理得，，
，
综上所述：的长为3或15．
27．【答案】（1）解：把，代入函数中，得
，
解方程组，得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，交线段于点，
由可知，
设直线的解析式为，
将，代入，得
，
解得，
直线的解析式为；
设点的横坐标为，
则，，
，
，，
解得，
，
；
（3）解：设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到，将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下：
由平移的性质可知，，，
的值最小就是的最小值，
显然点在直线上运动，
如图，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度．
点关于直线对称的对称的点是，，
，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）把，代入函数中，可求得， 即可得出抛物线的解析式为；
（2）先求出，进而求出直线的解析式为；设，，则，求出，得到，解方程即可得到答案；
（3）先根据题意作图，由平移的性质可知，，，则的值最小就是的最小值， 如图，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，据此利用勾股定理求解即可．
（1）解：将，代入，得
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，交线段于点，
由可知，
设直线的解析式为，
将，代入，得
，
解得，
直线的解析式为；
设点的横坐标为，
则，，
，
，，
解得，
，
；
（3）解：设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到，将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下：
由平移的性质可知，，，
的值最小就是的最小值，
显然点在直线上运动，
如图，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度．
点关于直线对称的对称的点是，，
，
．
1 / 1甘肃省定西市临洮县2025年中考二模数学试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（2025·临洮模拟）下列四个数中最小的是（　　）
A． B． C．0 D．5
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：比较四个有理数的大小：，
四个数中最小的是．
故答案为：A．
【分析】根据有理数的大小比较方法，可得出，从而得出 四个数中最小的 -5，即可得出答案。
2．（2025·临洮模拟）有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 冰壶如图放置时的俯视图是：
故答案为：D．
【分析】画出冰壶如图放置时的俯视图俯视图，即可得答案．
3．（2025·临洮模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法、整式的除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，分别计算出各选项答案，即可得出正确答案．
4．（2025·临洮模拟）截至4月12日17时38分，电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房达到156.29亿元，也是我国首部百亿电影．将数据“156.29亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：156.29亿=；
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．这里是表示较大的数，n比原整数为少1，即可得出答案。
5．（2025·临洮模拟）如图，是的直径，弦与交于点E，连接，．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】连接，利用直径所对的圆周角是直角可得，再根据圆周角定理得到，求出∠ADC即可解题．
6．（2025·临洮模拟）一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】 解：∵一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意可知 一次函数， 其图象不经过第一象限， 故而经过二、三、四象限或二、四象限；故而得出的图象过 据此可得，解之即可．
7．（2025·临洮模拟）随着人工智能技术的不断突破，人形机器人行业备受关注，未来行业将持续保持高速发展．如图是某机构对2025～2030年全球人形机器人市场规模预测的数据：
根据预测数据，下列分析正确的是（　　）
①2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长；
②2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年增大；
③2025～2030年全球人形机器人市场总规模超7000亿元；
④若保持与2030年相同的年增长率，到2032年全球人形机器人市场规模将超万亿元．
A．①④ B．①② C．②③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解：根据市场规模条形统计图可知，年全球人形机器人市场规模逐年增长，故①正确；
根据增长率的折线统计图可知，年全球人形机器人市场规模增长率逐年降低，故②错误；
根据市场规模条形统计图可知，年全球人形机器人市场总规模为：（亿元），故③错误；
2032年全球人形机器人市场规模为：（亿元），故④正确．
故答案为：A．
【分析】根据条形统计图及折线统计图获取信息，逐项进行分析，即可得出答案．
8．（2025·临洮模拟）分式方程的解为（　　）
A．0 B．6 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
解得，
经检验是分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】由题意，在方程两边同时乘以最简公分母（x-2），可将分式方程化为整数方程，解整式方程求出x的值，再检验可求解．
9．（2025·临洮模拟）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，过点作，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】过点作，利用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，推出，根据两直线平行，同位角相等，推出，再利用角的和差和对顶角相等即可求解．
10．（2025·临洮模拟）如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，图2是点运动过程中与之间函数关系的图象，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；通过函数图象获取信息；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：根据函数图象，可知点表示时的面积为24，
，
，
，
根据勾股定理．
故答案为：C．
【分析】首先根据图2点可知：，的面积为24，进一步根据三角形面积计算公式可得出BC的长度，然后根据勾股定理即可求得AC的长度；
二、填空题：（木大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·临洮模拟）因式分解 =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： = = ，故答案为： ．
【分析】提取公因式2，然后利用完全平方公式分解即可.
12．（2025·临洮模拟）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则=　 　．（写出一个满足条件的值）
【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
∴满足条件，
故答案为：1（答案不唯一） ．
【分析】首先求出根的判别式，然后根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，解不等式得出，写出一个符合题意的c的值即可。
13．（2025·临洮模拟）阿基米德说： “给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理．如图，春白——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用了杠杆原理工作， 图是该舂臼的侧面简易示意图， 点是支点， 点距地面，且，在舂臼使用过程中， 若端上升至距地面处， 则端此时距地面　 　．
【答案】35
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，则，，
由题意得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
端此时距地面，
故答案为：．
【分析】过B作地面于D，过A作地面于H，过O作地面于C，过B作于E交OC于F，根据平行线的性质，易证，得到，代入数据求出，AE的长，进而即可求出
14．（2025·临洮模拟）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高　 　m时，水柱落点距离O点．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高时，可设，
此时函数图象经过点
将代入解析式得出①；
喷头高时，可设；
此时函数图象经过点
将代入解析式得②；
当喷头高为h米时，可设，
此时函数图象经过点，
将代入得出4a+2b+h=0③
联立①，②可求出，
将，代入③可得
解得，
故答案为：．
【分析】根据题意可知：在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得当喷头高为h米时，可设，将代入得出4a+2b+h=0联立可求出和的值，把a，b的值代入4a+2b+h=0中，即可求得H的值。
15．（2025·临洮模拟）古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点A和点B分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，B地在A地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离为800km．当太阳光线在A地直射时，同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是．由此估算地球周长约为　 　km．
【答案】40000
【知识点】平行线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：设地球的半径是，
太阳的光线是平行的，
，
的长，
∴
，
地球周长约是．
故答案为：40000．
【分析】首先根据平行线的性质求出圆弧AB所对的圆心角为7.2°，设地球的半径是，由弧长公式得到：的长，求出，进而利用圆的周长计算公式即可得到地球周长．
16．（2025·临洮模拟）如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；面积及等积变换
【解析】【解答】解：四边形为正方形，且边长为4，
，，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
由三角形的面积得：，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】首先证明和全等得，然后在中由勾股定理求出，则，再根据面积法求出，进而可得的长．
三、解答题：（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·临洮模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则，先算乘除法，再算加减法，即可得出答案。
18．（2025·临洮模拟）解不等式组：．
【答案】解：解不等式①，得：
，
解不等式②：
，
∴原不等式组的解集为．

【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】首先分别解不等式①和不等式②，再找出①②解集的公共部分，即可得出原不等式组的解集为．
19．（2025·临洮模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
代入，原式．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；分式的通分；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则进行分式的化简，得出最简结果为，然后把代入中，进行计算，即可得出结果。
20．（2025·临洮模拟）在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神．
如今，借助尺规来完成一道几何构造题：
如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下：
①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q；
②作直线交于点D，连接；
③以B为圆心，的长为半径作弧，交直线于点E，连接．
（1）请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，，则四边形的面积是__________．
【答案】（1）解：由题意，作图如下：
（2）80
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）解：根据作图可得，垂直平分，
∴，，
∵由作图得，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
故答案为：80．
【分析】（1）按照题中描述进行作图即可；
（2）根据作图过程可得出，得出四边形为菱形，然后菱形的性质结合勾股定理，可求出，，进而根据l求出菱形的面积即可．
（1）解：由题意，作图如下：
（2）解：根据作图可得，垂直平分，
∴，，
∵由作图得，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
故答案为：80．
21．（2025·临洮模拟）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点两处分别测得木塔顶端的仰角的度数（，，在同一条直线上），再测得两点之间的距离．
数据收集：测角仪，测得．
问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）．
参考数据：，，，，，．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【答案】解：由题意得，四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
设的长为，则
在中，，
，
在中，，
，
∴
解得，
，
∴，
甘州木塔的高度约为。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意，易得， ，设的长为，则，在 和 中，分别根据正切函数的定义，求出AF的值，然后再建立等量关系，即可求出x的值，进而即可求出OA的值
22．（2025·临洮模拟）“宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，最早的“官商角徵羽”的名称见于距今2600余年的春秋时期，在《管子·地员篇》中，有采用数学运算方法获得“宫、商、角、徵、羽”五个音的科学办法，这就是中国音乐史上著名的“三分损益法”．某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中间A处沿轨道进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽．
（1）第一次发出“羽”音的概率为__________；
（2）请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率．
【答案】（1）
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中先发出“角”音，再发出“徵”音的结果只有1种，
先发出“角”音，再发出“徵”音的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）总共有“宫、商、角、徵、羽”五个音，
∴第一次发出“羽”音的概率为，
故答案为：．
【分析】（1）利用概率公式即可求得第一次发出“羽”音的概率；
（2）先画出树状图进行分析，得到所有机会均等的结果总共有25种，再找出先发出“角”音，再发出“徵”音的结果又1种，即可得出答案．
（1）解：（1）总共有“宫、商、角、徵、羽”五个音，
∴第一次发出“羽”音的概率为，
故答案为：．
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中先发出“角”音，再发出“徵”音的结果只有1种，
先发出“角”音，再发出“徵”音的概率为．
四、解答题：（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．（2025·临洮模拟）广西水果全国产量第一，而蓬勃发展的快递业，为广西的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．火龙果种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家火龙果种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分：
甲：6、6、7、7、7、8、9、9、9、10
乙：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10
c．配送速度和服务质量得分统计表：
统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 m 7
乙 8 8 7
b．服务质量得分统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 ； （填“”“=”或“”)．
（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：小丽应选择甲公司，理由见解析解：小丽应选择甲公司.
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司.
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）将甲快递公司的配送速度得分按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数，
则，
，
，
则，
故答案为：．
（2）解：小丽应选择甲公司.
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司.
【分析】（1）根据中位数和方差的公式可分别求得，，，进而即可得出答案；
（2）根据中位数、平均数和方差的意义，配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，根据甲的方差明显小于乙的方差，即可得出甲更稳定，所以小丽应选择甲公司.
（1）解：将甲快递公司的配送速度得分按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数，
则，
，
，
则，
故答案为：．
（2）解：小丽应选择甲公司.
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司.
24．（2025·临洮模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）一次函数和反比例函数的解析式；
（2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标．
【答案】（1）解：把点代入，得，
解得，
一次函数的解析式为，
把点代入，得，
∴
把点代入，得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入，得，
，
设，则，
，，
，
，
或，
或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式求出，最后计算求解即可.
（1）解：把点代入，得，解得，
一次函数的解析式为，
把点代入，得，
∴
把点代入，得，
反比例函数的解析式为，
（2）解：把代入，得，
，
设，则，
，，
，
，
或，
或．
25．（2025·临洮模拟）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵于点E，交的延长线于点F，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴的半径长为3．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定；正切的概念
【解析】【分析】（1）连接，可分别根据等腰三角形的性质得出，，可等量代换为，进而得出，再根据垂直定义以及平行线的性质可得出，进而根据切线的判定，得出结论；
（2）由， 可得出，因为，，可得出，在直角三角形ODF中，根据勾股定理可得出，解方程即可得出，即的半径长为3．
（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵于点E，交的延长线于点F，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴的半径长为3．
26．（2025·临洮模拟）如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，．
（1）【问题发现】
如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______；
（2）【问题探究】
如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长．
【答案】（1），；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，交于，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，
，；
（3）解：分两种情况，情况一：如图，
，，
，
由（1）得，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
情况二：如图，
同理得，，
，
综上所述：的长为3或15．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）延长交于点，
为等腰直角三角形，四边形为正方形，
，，，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）先利用SAS证明，再结合全等三角形的性质证明，进而即可作答；
（2）先证是等腰直角三角形，，，，，，则，推出四边形为平行四边形，即可作答；
（3）分两种情况讨论，分别求出BG．
（1）解：延长交于点，
为等腰直角三角形，四边形为正方形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
即，
故答案为：，；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，交于，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，
，；
（3）解：分两种情况，情况一：如图，
，，
，
由（1）得，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
情况二：如图，
同理得，，
，
综上所述：的长为3或15．
27．（2025·临洮模拟）如图1，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点、，点P是直线下方抛物线上一动点，分别连接．
（1）求抛物线表达式；
（2）当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标；
（3）将线段沿x轴的负方向平移得到，点A的对应点为点，点C的对应点为点，点Q为点A关于x轴的对称点，连接，在线段平移过程中，求的最小值．
【答案】（1）解：把，代入函数中，得
，
解方程组，得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，交线段于点，
由可知，
设直线的解析式为，
将，代入，得
，
解得，
直线的解析式为；
设点的横坐标为，
则，，
，
，，
解得，
，
；
（3）解：设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到，将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下：
由平移的性质可知，，，
的值最小就是的最小值，
显然点在直线上运动，
如图，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度．
点关于直线对称的对称的点是，，
，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）把，代入函数中，可求得， 即可得出抛物线的解析式为；
（2）先求出，进而求出直线的解析式为；设，，则，求出，得到，解方程即可得到答案；
（3）先根据题意作图，由平移的性质可知，，，则的值最小就是的最小值， 如图，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，据此利用勾股定理求解即可．
（1）解：将，代入，得
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，交线段于点，
由可知，
设直线的解析式为，
将，代入，得
，
解得，
直线的解析式为；
设点的横坐标为，
则，，
，
，，
解得，
，
；
（3）解：设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到，将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下：
由平移的性质可知，，，
的值最小就是的最小值，
显然点在直线上运动，
如图，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度．
点关于直线对称的对称的点是，，
，
．
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