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甘肃白银市2025年九年级中考三模数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（2025·白银模拟）下列各数中，最小的是（　　）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵|-2|=2，|-1|=1，而2＞1，
∴-2＜-1，
∴-2＜-1＜1＜2，
∴最小的数是-2.
故答案为：D.
【分析】根据正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小进行判断得出答案.
2．（2025·白银模拟）某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选C．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
3．（2025·白银模拟）如图，将三角板按如图所示的方式摆放，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图可知：，
∵，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据平角的定义，结合图形计算求解即可.
4．（2025·白银模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；去括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、去括号法则、单项式乘多项式和完全平方公式逐项判断即可。
5．（2025·白银模拟）如图，点，，在上，是劣弧的中点.若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：，
∴的度数为，
∵是劣弧的中点，
∴的度数为，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理求出的度数为，再求出的度数为，最后计算求解即可.
6．（2025·白银模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设人数为x，由题意得，
故答案为：D
【分析】设人数为x，根据“每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱”即可列出方程。
7．（2025·白银模拟）如图，已知正方形，E是对角线上的中点，F是边的中点，连接，，若，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵E是对角线上的中点，
∴，
∵，
∴，
∵E是对角线上的中点，F是边的中点，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质求出，再利用勾股定理求出，最后根据三角形中位线定理计算求解即可.
8．（2025·白银模拟）“共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式．小张对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法错误的是（　　）
A．小张一共抽样调查了74人
B．样本中当月使用“共享单车”30次次的人数最多
C．样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人
D．样本中当月使用“共享单车”不少于40次的人数不到总人数的
【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：A. 小张一共抽样调查了（人），故此选项正确，不符合题意；
B. 样本中当月使用“共享单车”次的人数有20人，次的人数有12人，所以样本中当月使用“共享单车”次的人数最多，故此选项正确，不符合题意；
C. 样本中当月使用“共享单车”不足20次的人数有（人），故此选项正确，不符合题意；
D. 样本中当月使用“共享单车”不少于40次的人数有人，，所以此说法错误，符合题意，
故答案为：D．
【分析】结合频数分布直方图中的数据，对每个选项逐一判断求解即可.
9．（2025·白银模拟）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进一”就是几进制．各进制表示的数也可以转化，如：十进制数5用二进制可以表示为101，即，则二进制数110010表示的十进制数为（　　）
A．3 B．50 C．100 D．25
【答案】B
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；十进制及其他进制问题
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】根据题意将二进制化为十进制，结合有理数的乘方计算求解即可.
10．（2025·白银模拟）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时，
∴，
当时，此时点与点重合，即，连接，交于点，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的边长为；
故答案为：A．
【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，结合勾股定理即可求出答案.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2025·白银模拟） 因式分解：a2b-5ab2=　 　。
【答案】ab(a-5b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b-5ab2=ab(a-5b)，
故答案为：ab(a-5b).
【分析】利用提公因式法分解因式即可.
12．（2025·白银模拟）一次函数的函数值y随x的增大而减小，则它的图象不经过第　 　象限．
【答案】三
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小，
∴，
∵，
∴它的图象经过第一、二、四象限，
即它的图象不经过第三象限，
故答案为：三.
【分析】根据一次函数的函数值y随x的增大而减小求出，再求出它的图象经过第一、二、四象限，最后判断求解即可.
13．（2025·白银模拟）关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，则m的取值范围为　 　．
【答案】m＞
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，
∴Δ<0，
即，
解得m＞．
故答案为：m＞．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出，再计算求解即可.
14．（2025·白银模拟）如图1，风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下，六角形风铃的平面示意图如图2所示，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：六边形是正六边形，
，
由对称性可知，
故答案为：．
【分析】根据正六边形的性质求出，再根据正六边形的对称性计算求解即可.
15．（2025·白银模拟）玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶　 　碰到水柱．（填“能”或“不能”）
【答案】不能
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系，
则抛物线的解析式为，
令，则，
故她的头顶不能碰到水柱．
故答案为：不能．
【分析】根据顶点求出抛物线的解析式为，再令，求出的值，最后与比较求解即可.
16．（2025·白银模拟）如图1，这是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量，得到扇形的圆心角的度数为，，C，D分别为的中点，则花窗的面积为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；线段的中点
【解析】【解答】解：
分别为的中点，
故答案为：．
【分析】根据线段的中点求出，再利用三角形的面积公式求出，最后利用扇形的面积公式计算求解即可.
三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·白银模拟）计算：．
【答案】解：
．

【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的乘法运算以及加减运算计算求解即可.
18．（2025·白银模拟）化简：．
【答案】解：
．

【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先进行括号内异分母的分式减法运算，再进行乘法计算，最后化为最简分式计算求解即可.
19．（2025·白银模拟）解不等式组．
【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．

【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式的性质求出和，再求不等式组的解集即可.
20．（2025·白银模拟）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知，请你用直尺和圆规作圆的内接正方形．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
作法 图形
①作直径； ②过点A作的垂线； ③作的平分线交于点B； ④以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D； ⑤依次连接，四边形就是所求作的正方形
【答案】解：如图，四边形即为所求．
理由：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形．
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定；圆周角定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据要求作出图形；先根据角平分线的定义求出，再求出，最后根据菱形和正方形的判定方法证明求解即可.
21．（2025·白银模拟）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信，因此，端午节前，学校举行“传经典乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：包粽子，划旱船，诵诗词，创美文；人人参加，每人限选一项．
（1）假如小红要通过抽签选择其中一项参加，她选到创美文的概率是 ；
（2）某班甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率．
【答案】（1）
（2）解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种，
所以同时选中甲和乙的概率为．
答：甲、乙两人同时被选中的概率.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：小红的抽签结果共有4种可能结果，其中选到创美文的结果只有一种，则她选到创美文的概率是．
故答案为：．
【分析】（1）理解题意，根据概率公式计算求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，再求出共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种，最后求概率即可.
（1）解：小红的抽签结果共有4种可能结果，期中选到创美文的结果只有一种，则她选到创美文的概率是．
故答案为：．
（2）解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种，
所以同时选中甲和乙的概率为．
答：甲、乙两人同时被选中的概率．
22．（2025·白银模拟）黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景．如图，风力发电机舱在点处，三片扇叶两两所成的角为，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点处安放测角仪（测角仪高度米），当扇叶恰好与塔杆重合时，测得扇叶的末端点的仰角为，经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高．请你判断该发电机机舱的高度是否合适．（参考数据，，，）
【答案】解：如图，过点A作塔杆的垂线，点B作水平面的垂线，垂线与交于点D，过点O作的垂线与交于点F，
∵，
∴四边形为矩形，，
∵，
∴，
中，，，
∴，．
∵，
∴，
中，，，
由，得，
∵，
∴，
∴点O到地面的距离约为米，在45米到50米之间，该发电机机舱的高度合适．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点A作塔杆的垂线，点B作水平面的垂线，垂线与交于点D，过点O作的垂线与交于点F，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，，再根据角之间的关系可得，在中，根据正切定义，特殊角的三角函数值可得OF，再根据边之间的关系可得AD，在中，根据正切定义可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（2025·白银模拟）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了名用户的得分（得分用x表示）数据进行整理、描述和分析，共分为四组：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息．
甲款人工智能软件得分数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：
，，，，，，，．
甲、乙两款人工智能软件得分统计表：
软件 平均数 中位数 众数 方差
甲 b
乙 a
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，________．
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）若本次调查有名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计这次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数．
【答案】（1），，
（2）解：从平均数看，两款软件相同；从中位数看，乙款软件的中位数大于甲款软件的中位数，说明乙款软件一半以上用户的评分较高，所以乙款人工智能软件更受用户欢迎．（答案不唯一）
（3）解：由（1）可知，乙款人工智能软件非常满意（）的用户数占比为：，则乙款人工智能软件非常满意（）的用户数为：（人）；
抽取的20名用户中，甲款人工智能软件非常满意（）的用户数为6人，则甲款人工智能软件非常满意（）的用户数为：（人），
所以这次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为：（人）．
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，，
所以乙款得分的中位数为：，
甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：，
组人数，
所以，
故，
故答案为：，，．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义来计算和，再根据组数据个数计算；
（2）根据平均数、中位数、众数的定义，结合题意作答求解即可；
（3）根据题意先计算出样本中对两款软件非常满意的比例，再用这个比例乘以总体人数来估计总用户数求解即可.
（1）解：乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，，
所以乙款得分的中位数为：，
甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：，
组人数，
所以，故，
故答案为：，，．
（2）解：从平均数看，两款软件相同；从中位数看，乙款软件的中位数大于甲款软件的中位数，说明乙款软件一半以上用户的评分较高，所以乙款人工智能软件更受用户欢迎．（答案不唯一）
（3）解：由（1）可知，乙款人工智能软件非常满意（）的用户数占比为：，则乙款人工智能软件非常满意（）的用户数为：人；
抽取的20名用户中，甲款人工智能软件非常满意（）的用户数为6人，则甲款人工智能软件非常满意（）的用户数为：人，
所以，这次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为：人．
24．（2025·白银模拟）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：.
（2）解：∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为8，点D的横坐标为8．
∴，，
∴，，
∴，
过点A作轴交于点E，则，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点B和点D的坐标，再求出AE=4，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
（2）∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为8．点D的横坐标为8．
∴，，
∴，，
∴，
过点A作轴交于点E，则，
∴，
∴
25．（2025·白银模拟）如图，在中，，D是上的一点，且满足，以为直径的分别与相交于点E，F．
（1）求证：直线是的切线．
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：过点C作于点M，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再求出，最后根据切线的判定方法证明求解即可；
（2）根据圆周角定理求出，再根据锐角三角函数求出，最后利用勾股定理计算求解即可.
（1）证明：过点C作于点M，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．（2025·白银模拟）如图1，在矩形中，，，点E在边上运动（不与点B和点C重合），将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接，过点F作于点M．
（1）求证：．
（2）当直线恰好经过点E时，求的长．
（3）如图2，连接，试探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：由旋转知：，，
∴．
即．
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，，．
∵在中，，
∴．
如图，当直线恰好经过点E时，，
设，则．
∵在中，，
∴．
解得：．
∴在中，．

（3）解：存在最小值，
理由如下：过点D作，交直线于点H，设交于点N，
∵，．
∴．
∴．
即．
∴，，
∴．
∵，．
∴．
∴．
即．
∴，．
∴．
∴当点F与点H重合时，，使存在最小值．

【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得，，再求出，最后利用AAS证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质求出，，，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）根据相似三角形的判定方法求出，再根据相似三角形的性质求出，最后计算求解即可.
（1）证明：由旋转知：，．
∴．
即：．
又，
∴．
（2）∵．
∴，，．
在中，．
∴．
如图，当直线恰好经过点E时，，
设，则．
在中，，
即：．
解得：．
在中，．
（3）存在最小值，理由如下：
过点D作，交直线于点H，设交于点N，
∵，．
∴．
∴．
即：．
∴，，
∴．
又，．
∴．
∴．
即：．
∴，．
∴．
所以当点F与点H重合时，，使存在最小值．
27．（2025·白银模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：；
（3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．
【答案】（1）解：该抛物线的顶点为，
∴该抛物线的对称轴为直线，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，
即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出该抛物线的对称轴为直线，再求出b和c的值，最后求抛物线的表达式即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式为，再利用两点间距离公式求出，最后利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）利用相似三角形的判定方法求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，，
．
1 / 1甘肃白银市2025年九年级中考三模数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（2025·白银模拟）下列各数中，最小的是（　　）．
A．2 B．1 C． D．
2．（2025·白银模拟）某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·白银模拟）如图，将三角板按如图所示的方式摆放，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·白银模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·白银模拟）如图，点，，在上，是劣弧的中点.若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·白银模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·白银模拟）如图，已知正方形，E是对角线上的中点，F是边的中点，连接，，若，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．4
8．（2025·白银模拟）“共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式．小张对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法错误的是（　　）
A．小张一共抽样调查了74人
B．样本中当月使用“共享单车”30次次的人数最多
C．样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人
D．样本中当月使用“共享单车”不少于40次的人数不到总人数的
9．（2025·白银模拟）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进一”就是几进制．各进制表示的数也可以转化，如：十进制数5用二进制可以表示为101，即，则二进制数110010表示的十进制数为（　　）
A．3 B．50 C．100 D．25
10．（2025·白银模拟）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2025·白银模拟） 因式分解：a2b-5ab2=　 　。
12．（2025·白银模拟）一次函数的函数值y随x的增大而减小，则它的图象不经过第　 　象限．
13．（2025·白银模拟）关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，则m的取值范围为　 　．
14．（2025·白银模拟）如图1，风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下，六角形风铃的平面示意图如图2所示，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为　 　．
15．（2025·白银模拟）玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶　 　碰到水柱．（填“能”或“不能”）
16．（2025·白银模拟）如图1，这是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量，得到扇形的圆心角的度数为，，C，D分别为的中点，则花窗的面积为　 　．（结果保留）
三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·白银模拟）计算：．
18．（2025·白银模拟）化简：．
19．（2025·白银模拟）解不等式组．
20．（2025·白银模拟）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知，请你用直尺和圆规作圆的内接正方形．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
作法 图形
①作直径； ②过点A作的垂线； ③作的平分线交于点B； ④以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D； ⑤依次连接，四边形就是所求作的正方形
21．（2025·白银模拟）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信，因此，端午节前，学校举行“传经典乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：包粽子，划旱船，诵诗词，创美文；人人参加，每人限选一项．
（1）假如小红要通过抽签选择其中一项参加，她选到创美文的概率是 ；
（2）某班甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率．
22．（2025·白银模拟）黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景．如图，风力发电机舱在点处，三片扇叶两两所成的角为，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点处安放测角仪（测角仪高度米），当扇叶恰好与塔杆重合时，测得扇叶的末端点的仰角为，经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高．请你判断该发电机机舱的高度是否合适．（参考数据，，，）
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（2025·白银模拟）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了名用户的得分（得分用x表示）数据进行整理、描述和分析，共分为四组：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息．
甲款人工智能软件得分数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：
，，，，，，，．
甲、乙两款人工智能软件得分统计表：
软件 平均数 中位数 众数 方差
甲 b
乙 a
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，________．
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）若本次调查有名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计这次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数．
24．（2025·白银模拟）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
25．（2025·白银模拟）如图，在中，，D是上的一点，且满足，以为直径的分别与相交于点E，F．
（1）求证：直线是的切线．
（2）连接，若，，求的长．
26．（2025·白银模拟）如图1，在矩形中，，，点E在边上运动（不与点B和点C重合），将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接，过点F作于点M．
（1）求证：．
（2）当直线恰好经过点E时，求的长．
（3）如图2，连接，试探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
27．（2025·白银模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：；
（3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵|-2|=2，|-1|=1，而2＞1，
∴-2＜-1，
∴-2＜-1＜1＜2，
∴最小的数是-2.
故答案为：D.
【分析】根据正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小进行判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选C．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
3．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图可知：，
∵，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据平角的定义，结合图形计算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；去括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、去括号法则、单项式乘多项式和完全平方公式逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：，
∴的度数为，
∵是劣弧的中点，
∴的度数为，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理求出的度数为，再求出的度数为，最后计算求解即可.
6．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设人数为x，由题意得，
故答案为：D
【分析】设人数为x，根据“每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱”即可列出方程。
7．【答案】C
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵E是对角线上的中点，
∴，
∵，
∴，
∵E是对角线上的中点，F是边的中点，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质求出，再利用勾股定理求出，最后根据三角形中位线定理计算求解即可.
8．【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：A. 小张一共抽样调查了（人），故此选项正确，不符合题意；
B. 样本中当月使用“共享单车”次的人数有20人，次的人数有12人，所以样本中当月使用“共享单车”次的人数最多，故此选项正确，不符合题意；
C. 样本中当月使用“共享单车”不足20次的人数有（人），故此选项正确，不符合题意；
D. 样本中当月使用“共享单车”不少于40次的人数有人，，所以此说法错误，符合题意，
故答案为：D．
【分析】结合频数分布直方图中的数据，对每个选项逐一判断求解即可.
9．【答案】B
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；十进制及其他进制问题
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】根据题意将二进制化为十进制，结合有理数的乘方计算求解即可.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时，
∴，
当时，此时点与点重合，即，连接，交于点，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的边长为；
故答案为：A．
【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，结合勾股定理即可求出答案.
11．【答案】ab(a-5b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b-5ab2=ab(a-5b)，
故答案为：ab(a-5b).
【分析】利用提公因式法分解因式即可.
12．【答案】三
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小，
∴，
∵，
∴它的图象经过第一、二、四象限，
即它的图象不经过第三象限，
故答案为：三.
【分析】根据一次函数的函数值y随x的增大而减小求出，再求出它的图象经过第一、二、四象限，最后判断求解即可.
13．【答案】m＞
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，
∴Δ<0，
即，
解得m＞．
故答案为：m＞．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出，再计算求解即可.
14．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：六边形是正六边形，
，
由对称性可知，
故答案为：．
【分析】根据正六边形的性质求出，再根据正六边形的对称性计算求解即可.
15．【答案】不能
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系，
则抛物线的解析式为，
令，则，
故她的头顶不能碰到水柱．
故答案为：不能．
【分析】根据顶点求出抛物线的解析式为，再令，求出的值，最后与比较求解即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；线段的中点
【解析】【解答】解：
分别为的中点，
故答案为：．
【分析】根据线段的中点求出，再利用三角形的面积公式求出，最后利用扇形的面积公式计算求解即可.
17．【答案】解：
．

【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的乘法运算以及加减运算计算求解即可.
18．【答案】解：
．

【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先进行括号内异分母的分式减法运算，再进行乘法计算，最后化为最简分式计算求解即可.
19．【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．

【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式的性质求出和，再求不等式组的解集即可.
20．【答案】解：如图，四边形即为所求．
理由：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形．
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定；圆周角定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据要求作出图形；先根据角平分线的定义求出，再求出，最后根据菱形和正方形的判定方法证明求解即可.
21．【答案】（1）
（2）解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种，
所以同时选中甲和乙的概率为．
答：甲、乙两人同时被选中的概率.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：小红的抽签结果共有4种可能结果，其中选到创美文的结果只有一种，则她选到创美文的概率是．
故答案为：．
【分析】（1）理解题意，根据概率公式计算求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，再求出共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种，最后求概率即可.
（1）解：小红的抽签结果共有4种可能结果，期中选到创美文的结果只有一种，则她选到创美文的概率是．
故答案为：．
（2）解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种，
所以同时选中甲和乙的概率为．
答：甲、乙两人同时被选中的概率．
22．【答案】解：如图，过点A作塔杆的垂线，点B作水平面的垂线，垂线与交于点D，过点O作的垂线与交于点F，
∵，
∴四边形为矩形，，
∵，
∴，
中，，，
∴，．
∵，
∴，
中，，，
由，得，
∵，
∴，
∴点O到地面的距离约为米，在45米到50米之间，该发电机机舱的高度合适．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点A作塔杆的垂线，点B作水平面的垂线，垂线与交于点D，过点O作的垂线与交于点F，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，，再根据角之间的关系可得，在中，根据正切定义，特殊角的三角函数值可得OF，再根据边之间的关系可得AD，在中，根据正切定义可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1），，
（2）解：从平均数看，两款软件相同；从中位数看，乙款软件的中位数大于甲款软件的中位数，说明乙款软件一半以上用户的评分较高，所以乙款人工智能软件更受用户欢迎．（答案不唯一）
（3）解：由（1）可知，乙款人工智能软件非常满意（）的用户数占比为：，则乙款人工智能软件非常满意（）的用户数为：（人）；
抽取的20名用户中，甲款人工智能软件非常满意（）的用户数为6人，则甲款人工智能软件非常满意（）的用户数为：（人），
所以这次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为：（人）．
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，，
所以乙款得分的中位数为：，
甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：，
组人数，
所以，
故，
故答案为：，，．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义来计算和，再根据组数据个数计算；
（2）根据平均数、中位数、众数的定义，结合题意作答求解即可；
（3）根据题意先计算出样本中对两款软件非常满意的比例，再用这个比例乘以总体人数来估计总用户数求解即可.
（1）解：乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，，
所以乙款得分的中位数为：，
甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：，
组人数，
所以，故，
故答案为：，，．
（2）解：从平均数看，两款软件相同；从中位数看，乙款软件的中位数大于甲款软件的中位数，说明乙款软件一半以上用户的评分较高，所以乙款人工智能软件更受用户欢迎．（答案不唯一）
（3）解：由（1）可知，乙款人工智能软件非常满意（）的用户数占比为：，则乙款人工智能软件非常满意（）的用户数为：人；
抽取的20名用户中，甲款人工智能软件非常满意（）的用户数为6人，则甲款人工智能软件非常满意（）的用户数为：人，
所以，这次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为：人．
24．【答案】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：.
（2）解：∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为8，点D的横坐标为8．
∴，，
∴，，
∴，
过点A作轴交于点E，则，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点B和点D的坐标，再求出AE=4，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
（2）∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为8．点D的横坐标为8．
∴，，
∴，，
∴，
过点A作轴交于点E，则，
∴，
∴
25．【答案】（1）证明：过点C作于点M，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再求出，最后根据切线的判定方法证明求解即可；
（2）根据圆周角定理求出，再根据锐角三角函数求出，最后利用勾股定理计算求解即可.
（1）证明：过点C作于点M，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．【答案】（1）证明：由旋转知：，，
∴．
即．
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，，．
∵在中，，
∴．
如图，当直线恰好经过点E时，，
设，则．
∵在中，，
∴．
解得：．
∴在中，．

（3）解：存在最小值，
理由如下：过点D作，交直线于点H，设交于点N，
∵，．
∴．
∴．
即．
∴，，
∴．
∵，．
∴．
∴．
即．
∴，．
∴．
∴当点F与点H重合时，，使存在最小值．

【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得，，再求出，最后利用AAS证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质求出，，，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）根据相似三角形的判定方法求出，再根据相似三角形的性质求出，最后计算求解即可.
（1）证明：由旋转知：，．
∴．
即：．
又，
∴．
（2）∵．
∴，，．
在中，．
∴．
如图，当直线恰好经过点E时，，
设，则．
在中，，
即：．
解得：．
在中，．
（3）存在最小值，理由如下：
过点D作，交直线于点H，设交于点N，
∵，．
∴．
∴．
即：．
∴，，
∴．
又，．
∴．
∴．
即：．
∴，．
∴．
所以当点F与点H重合时，，使存在最小值．
27．【答案】（1）解：该抛物线的顶点为，
∴该抛物线的对称轴为直线，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，
即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出该抛物线的对称轴为直线，再求出b和c的值，最后求抛物线的表达式即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式为，再利用两点间距离公式求出，最后利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）利用相似三角形的判定方法求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，，
．
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