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2024-2025 学年内蒙古锡林郭勒盟二中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { 2,0,2,4,6}， = { |0 < ≤ 4}，则 ∩ =( )
A. { 2,0,2,4} B. {0,2,4} C. {2,4} D. (0,4]
2.已知 ， ∈ ，且 > ，则下列不等式中一定成立的是( )
A. + 1 > B. > + 1 C. + 1 < + 1 D. 1 < 1
3.命题“ > 0， 2 3 10 > 0“的否定是( )
A. > 0， 2 3 10 > 0 B. > 0， 2 3 10 ≤ 0
C. ≤ 0， 2 3 10 ≤ 0 D. > 0， 2 3 10 ≤ 0
4.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高
中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共
有( )
A. 45 15 20 40 30 30 40 20400 200种 B. 400 200种 C. 400 200种 D. 400 200种
5.已知(1 + ) 的展开式中第 9 项、第 10 项、第 11 项的二项式系数成等差数列，则 =( )
A. 11 B. 14 C. 11 或 23 D. 14 或 23
6.下列说法中正确的是( )
1 5①设随机变量 服从二项分布 (6, 2 )，则 ( = 3) = 16
②已知随机变量 服从正态分布 (2, 2)且 ( < 4) = 0.9，则 (0 < < 2) = 0.4
③小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 =“4 个人去的景点互不相同”，
2
事件 =“小赵独自去一个景点”，则 ( | ) = 9；
④ (2 + 3) = 2 ( ) + 3； (2 + 3) = 2 ( ) + 3．
A.①②③ B.②③④ C.②③ D.①③
7.若函数 ( ) = 12
2 2 在[1,4]上存在单调递增区间，则实数 的取值范围为( )
A. [ 1, + ∞) B. ( 1, + ∞) C. ( ∞, 7 716 ] D. ( ∞, 16 )
8.抛抛两枚质地均匀的骰子，两个点数都出现偶数的概率和已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二
枚骰子的点数是偶数的概率分别是( )
A. 1都是4 B.
1 1 1 1 1
都是2 C. 4和2 D. 2和4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.设正实数 ， 满足 + = 1，则( )
A. 1 2 + 的最小值为 3 + 2 2 B. + 的最大值为 2
C. 1 1的最大值为 2 24 D. + 的最小值为2
10.若(1 2 )6 = 0 + 1 + 2 3 42 + 3 + 4 + 5 + 65 6 ，则下列结论中正确的是( )
A. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 1
B. 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 = 12
C.当 = 4 时，(1 2 )6除以 8 的余数是 1
D.展开式中二项式系数最大项为第 3 项
11.若关于 的方程 2 + ( 1) + 1 = 0 至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是( )
A. 1 < < 3 B. 2 < < 4 C. < 4 D. 1 ≤ < 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ∈ ，则不等式 2 2 3 < 0 的解集为______．

13.已知一组数据点( , )( = 1,2, …, 7)，用最小二乘法得到其线性回归方程为 = 2 + 4，若
7
=1 = 7，
则7 =1 = ______．
14.在工业生产中轴承的直径服从 (3.0,0.0025)，购买者要求直径为 3.0 ± ，不在这个范围的将被拒绝，要
使拒绝的概率控制在 4.55%之内，则 至少为______. (若 ～ ( , 2)，则 (| | < 2 ) = 0.9545)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某校高二年级为研究学生数学与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容
量为 200 的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩
合计
优秀 不优秀
优秀 45 35 80
数学成绩
不优秀 45 75 120
合计 90 110 200
(1)根据 = 0.01 的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2) ( | )在人工智能中常用 ( | ) = 表示在事件 发生的条件下事件 发生的优势，在统计学中称为似然
( | )
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比.现从该校学生中任选一人，设 =“选到的学生语文成绩不优秀”， =“选到的学生数学成绩不优秀”，
请利用样本数据，估计 ( | )的值．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + 4 2的图象经过点 (1,5)．
(1)求曲线 = ( )在点 处的切线方程；
(2)曲线 = ( )是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
17.(本小题 15 分)
近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起.某企业着力推进技术革新，利润稳步提高.统计该企业 2019
年至 2023 年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图.其中 2019 年至 2023 年对应的年份代码依次为
1，2，3，4，5．
(1)根据散点图判断， = + 和 = + 2哪一个适宜作为企业利润 (单位：亿元)关于年份代码 的回
归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)中的判断结果，建立 关于 的回归方程；
(3)根据(2)的结果，估计 2024 年的企业利润．
参考公式及数据；



= =1 2 2 ， = ， =1
5 2 = 55，5 4 5 =1 =1 = 979， =1 = 390，
5
=1 = 1221，
5 2 =1 = 4607.9
18.(本小题 17 分)
2020 年 1 月 15 日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(也称
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“强基计划”)，《意见》宣布：2020 年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划
主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考
由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三
1
门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为2，该考生报考乙
1 2
大学，每门科目通过的概率依次为6，3， ，其中 0 < < 1．
(Ⅰ)若 = 23，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(Ⅱ)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，
则当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求 的范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 1．
(1)求 ( )的最小值；
(2)设 ( ) = 2 + ( )，若 ( ) = 0 有且仅有两个实根 1， 2( 1 < 2)，证明： 1 2 = 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.{ | 1 < < 3}
13.14
14.0.1
15.解：(1)零假设 0：数学成绩与语文成绩无关，
2 = 200×(45×75 45×35)
2 75
根据表中数据计算得， 90×110×80×120 = 11 ≈ 6.818 > 6.635，
根据 = 0.01 的独立性检验，我们推断 0不成立，认为数学成绩与语文成绩有关联；

(2)由表格可知， ( | ) = 75 15 35 7110 = 22， ( | ) = 110 = 22，
15
∴ ( | ) = ( | ) = 22 = 15．
( | ) 7 722
16.解：(1)依题意可得 (1) = + 4 = 5，则 = 1．
所以 ′( ) = 3 2 + 8 ，则 ′(1) = 11，
所以曲线 = ( )在点(1,5)处的切线方程为 5 = 11( 1)，即 = 11 6．
3 2
(2) + 4 = ,设切点为( , )，则
3 2 + 8 = ,
消去 ，整理得 3 + 2 2 = 0，
解得 = 0 或 = 2，
所以曲线 = ( )存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为(0,0)或( 2,8)．
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17.解：(1)由散点图可知， = + 2适宜作为企业利润 (单位：亿元)关于年份代码 的回归方程类型；

(2)由题意得： 2 = 15

5 =1 ( )
2
= 11， =
155 =1 =
1
5 × 390 = 78，

5 2

55 390
= =1
5×( 2) 4607.9 5×
= 5
× 5 = 317.9 = 0.85，
5 ( 2)2 5×( 2)2 979 5×(
55)2 374
=1 5

= × ( 2) = 3905 0.85 ×
55
5 = 68.65，

∴ 关于 的回归方程为 = 68.65 + 0.85 2；

(3)在(2)中求得回归方程 = 68.65 + 0.85 2中，

令 = 6，得 = 68.65 + 0.85 × 62 = 99.25，估计 2024 年的企业利润为 99.25 亿元．
18. 1解：(Ⅰ)该考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为2，
∴ 1甲通过的考试科目的门数 ～ (3, 2 )，
∴该考生报考甲大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率为：
= 1 1 1 2 33( 2 )( 2 ) = 8．
当 = 2 1 2 23时，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为6，3，3，
∴该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率为：
= 16 × (1
2
3 ) × (1
2
3 ) + (1
1 2 2
6 ) × 3 × (1 3 ) + (1
1 2 2 7
6 ) × (1 3 ) × 3 = 18．
(Ⅱ) ∵ 1甲通过的考试科目的门数 ～ (3, 2 )，
∴ ( ) = 3 × 1 32 = 2．
设乙通过的考试科目的门数为 ，
则 ( = 0) = (1 16 ) × (1
2
3 ) × (1 ) =
5
18 (1 )，
( = 1) = (1 16 ) × (1
2
3 ) × + (1
1
6 ) ×
2
3 × (1 ) +
1
6 × (1
2
3 ) × (1 ) =
5 11
18 + 18 (1 )，
( = 2) = 1 × 26 3 × (1 ) +
1
6 × (1
2 1 2
3 ) × + (1 6 ) × 3 × =
1
9 (1 ) +
11
18 ，
( = 3) = 16 ×
2
3 × =
1
9 ，
∴ ( ) = 0 × 5 (1 ) + 1 × [ 5 + 11 118 18 18 (1 )] + 2 × [ 9 (1 ) +
11
18 ] + 3 ×
1
9 = +
5
6，
∵该考生更希望通过乙大学的笔试，
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∴ ( ) > ( ) ∴ + 5 > 3， 6 2，
2
再由 0 < < 1，解得3 < < 1．
∴ 2当该考生更希望通过乙大学的笔试时， 的范围是( 3 , 1)．
19.(1) ( ) = 1 1 = 1′ ，
所以当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( ) = (1) = 1 1 1 = 0．
(2)证明： ( ) = 2 + ( ) = 2 + 1 = ( 1) 1，
′( ) = + 1 1 =
1
，单调递增，
(1) = 1 < 0 (2) = 2 1 = 4 1又 ′ ， ′ 2 2 > 0，
所以 ( )存在唯一 0，使得 ′( 0) = 0，即
1
0 = (1 < 0 < 2)，0
又当 > 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 0 < < 0时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( )极小值 = ( 0) = ( 0 1) 0 0 1 = 0
1
< 2，0
因为 ( 2) = 2 3 > 0，
所以 ( )在( 0, + ∞)内存在唯一实数根，不妨记作 2，
由 1 < 10 < 2，得 < 1 < 0，2
( 1 ) = ( 1 1)ln 1 1 1 = ( 2)又 = 0，2 2 2 2 2
因为 ( )有且仅有两个零点，
1
所以 1 = ，即 1 2 = 1．2
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