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2024-2025 学年山东省菏泽市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 45 + 25 =( )
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
2.设两个正态分布 ( , 21 1)( 1 > 0)和( 22, 2)( 2 > 0)的密度函数图象如图所示.则有( )
A. 1 < 2， 1 < 2 B. 1 < 2， 1 > 2
C. 1 > 2， 1 < 2 D. 1 > 2， 1 > 2
3.某质点沿直线运动，位移 (单位： )与时间 (单位： )之间的关系为 ( ) = 5 2 + 6，则物体在 2 时的瞬
时加速度(单位： / 2)是( )
A. 5 B. 10 C. 11 D. 20
4.已知函数 ( ) = + 2 2 在(0, + ∞)上单调递增，则 的取值范围是( )
A. > 1 12 B. ≥ 2 C. > 1 D. ≥ 1
5.假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有两个小孩的家庭，已知该家庭有女孩，则两个小孩
都是女孩的概率是( )
A. 23 B.
1
2 C.
1
3 D.
1
4
6 ( ) =
(2 1)
.已知函数 1 ，则 ( )的大致图象为( )
A. B. C. D.
7.离散型随机变量 的取值为 0，1，2，若 ( = 0) = 0.2， ( = 1) = ， ( = 2) = ， ( ) = 1，则 (2
1) =( )
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A. 0.2 B. 0.6 C. 0.8 D. 1.6
8.用 1，2，3 组成三位数，数字 最多用 次，其中 = 1，2，3，则满足条件的三位数个数是( )
A. 15 个 B. 18 个 C. 19 个 D. 27 个
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(1 + )( 2)5 = 0 + 1 + 22 + 3 4 5 63 + 4 + 5 + 6 ，则( )
A. 0的值为 32
B. 4的值为 30
C. ( + + + )20 2 4 6 ( 21 + 3 + 5) 的值为 2
D. 6 ( 2 =1 ) = 0
10.下列命题正确的有( )
A.在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数 越大，则样本的线性相关性越强
B.若用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
C.若以 = 模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设 = ，将其变换后得到线性方程 = 4 +
3，则 ， 的值分别为 3，4
D.一组成对数据( , )， = 1，2， ， ，增加一对数据( +1, +1)
1 1
，其中 = +1 =1 ， +1 = =1 ，




= + ( = =1 ( )( 线性回归方程 不变 其中 )

)
=1 ( )2
11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 0 出发，每隔 1 向左或向右移动一个单位，向左移动的概
2 1
率为3，向右移动的概率为3，设移动 次后质点位于位置 ，则下列结论正确的有( )
A.当 = 4，则 ( 84 = 0) = 27
B. 80当 = 5，则 ( 5 = 1) = 243
C.当 = 6，该质点共经过两次 3 4的概率为243
D.当 = 2025， 2025的期望 ( 2025) = 675
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在数字通信中，信号是由数字 0 和 1 组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号 0 或 1 有可能被错
误地接收为 1 或 0.已知发送信号 0 时，接收为 0 和 1 的概率分别为 0.8 和 0.2；发送信号 1 时，接收为 1
和 0 的概率分别为 0.9 和 0.1.假设发送信号 0 和 1 是等可能的，则接收信号为 1 的概率是______．
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13.把 6 张座位编号为 1，2，3，4，5，6 的电影票全部分给 4 个人，每个人至少分 1 张，至多分 2 张，且
这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有______种. (用数字作答)
14.已知 ( )是定义域为(0, + ∞)的函数，且满足 ( ) + ′( ) = ， (1) = 2，则不等式 ( ) ≤ log3
的解集是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知(2 + 1 ) 的展开式中第三项的系数是第二项系数的 2 倍．
(1)求 的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求(1 + )3 + (1 + )4 + + (1 + ) +2的展开式中含 2项的系数(结果用数值表示)．
16.(本小题 15 分)
为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取 80 名学生，通过测试得到了表中数
据：
数学成绩
学校 合计
不优秀 优秀
甲校 10 30 40
乙校 20 20 40
合计 30 50 80
(1)依据小概率值 = 0.01 的 2独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？如果表中所
有数据都扩大为原来的 10 倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，
结论还一样吗？请你试着解释其中的原因；
(2)现从所抽取的数学成绩优秀学生中利用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机选取 3 人，设这 3
人中来自乙校的人数为 ，求 的分布列和期望．
2 = ( )
2
附：① ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
②临界值表
0.1 0.01 0.005
2.706 6.635 7.879
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17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 1 33
1
2 (2 + 1)
2 + 2 + 1．
(1) 7若 ( )在点(1, 6 )处的切线方程为 = + ，求 的值；
(2)求 ( )的单调区间．
18.(本小题 17 分)
在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局，现有 8 支
1
球队随机编号到对阵位置，所有球队在任何一场比赛中获胜的概率均为2，已知甲、乙两队参赛．
(1)求甲队获得冠军的概率；
(2)求甲、乙在第 轮(其中 = 1，2，3)相遇的概率；
(3)为使得甲、乙两队在比赛过程中相遇的概率小于 0.001，组委会计划增加球队支数到2 ( ∈ )支，对阵
图和上图类似，求 的最小值．
19.(本小题 17 分)
( ) = + ( ) = 已知函数 ， + ．
(1)若函数 ( )的极大值与 ( ) 2的极大值之和为 ，求 的值；
(2)若 ( 1) = ( 2) = ，当 <

时，求 12 2的最小值；
(3)判断 ( )图象上存在多少组关于点(1, )对称的点对，说明你的结论和理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.55
13.144
14.(0, 3]
15.(1)由题意可得，
2 2 2 = 2 × 2 1 1 ( 1) ，解得 2 = 4 ，因为 ∈ ，所以 = 9；
1 1 1 1
(2)由题意可知， 5 = 25 49 2 = 4032 2，第 6 项为 4 5

6 = 2 9 2 = 2016 2，
1 1
所以二项式系数最大的项为 4032 2和 2016 2；
(3)由(1)知展开式中 2的系数为
2 + 23 4 + + 2 3 2 211 = 3 + 3 + 4 + + 2 311 1 = 12 1 = 219，
所以展开式中含 2项的系数为 219．
16.(1)零假设 0：两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异，
2 = 80(10×20 30×20)
2
因为 30×50×40×40 ≈ 5.333 < 6.635 = 0.01，
依据小概率值 = 0.01 的 2独立性检验，没有充分的理由推断 0不成立，
所以认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异，
若表中所有数据都扩大为原来的 10 倍，在相同的检验标准下，
2 = 800(100×200 300×200)
2
300×500×400×400 ≈ 53.333 > 6.635．
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依据小概率值 = 0.01 的 2独立性检验，可以认为 0不成立，
即学校与数学成绩有关联，
结论不一样，主要是因为样本容量的不同，导致推断结论发生了变化；
(2)若从所抽取的数学成绩优秀学生中利用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机选取 3 人，
所以抽取的 5 名学生中有 2 名来自乙校，
易知 的所有可能的取值为 0，1，2，
3 2 1 1 2
所以 ( = 0) = 3 = 1 33 10， ( = 1) =
3 2
3 = 5， ( = 2) =
3 2 = 3
5 5
3
5 10
，
则 的分布列为：
0 1 2
1 3 3
10 5 10
( ) = 0 × 1故 10 + 1 ×
3 3 6
5 + 2 × 10 = 5．
17.(1) 1 1由于函数 ( ) = 3 2 23 2 (2 + 1) + 2 + 1，因此导函数 ′( ) = (2 + 1) + 2 ，
由于函数 ( )过点(1, 7 ) 1 1 76 ，因此3 2 (2 + 1) + 2 + 1 = 6，解得 = 2，
又由于 ′(1) = 1 2 1 + 2 = 0 7，函数 ( )在点(1, 6 )处的切线方程为 = + ，
= 7因此 6， = 0，
因此 = 56．
(2)由于导函数 ′( ) = 2 (2 + 1) + 2 = ( 2 )( 1)，令 ′( ) = 0，
解得 1 = 2 ， 2 = 1，
①当 2 > 1 即 > 12时，
当 < 1 时， ′( ) > 0， ( )为增函数；
当 1 < < 2 时， ′( ) < 0， ( )为减函数；
当 > 2 时， ′( ) > 0， ( )为增函数；
2 < 1 < 1②当 即 2时，
当 < 2 时， ′( ) > 0， ( )为增函数，
当 2 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )为减函数，
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )为增函数；
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③当 2 = 1 即 = 12时， ′( ) > 0，
( )在( ∞, + ∞)上为增函数；
1
综上：当 < 2时， ( )的单调递增区间为( ∞,2 )和(1, + ∞)，递减区间为(2 , 1)；
= 1当 2时， ( )的单调递增区间为( ∞, + ∞)，无单调递减区间；
> 1当 2时， ( )的单调递增区间为( ∞,1)和(2 , + ∞)，递减区间为(1,2 )．
18.(1)设甲队获得冠军为事件 ，甲如果想获得冠军，每轮比赛都要获胜，
则 ( ) = ( 12 )
3 = 18．
(2)设甲乙第一轮相遇概率为 1，甲乙第二轮相遇概率为 2，甲乙第三轮相遇概率为 3，
设甲的位置固定，若乙要与甲在第一轮相遇只能在同一组，
1
所以甲乙在第一轮相遇的概率 1 = 7，
0.06×0.25 2
甲乙要在第二轮相遇，则甲乙在同一个半区，但不在同一组的概率为 0.0525 = 7，
2 1 1 1
同时甲乙在第一轮都要获胜，则 2 = 7 × 2 × 2 = 14．
4
甲乙要在第三轮相遇，则甲乙不在同一个半区的概率为7，
4 1 1 1
同时甲乙在第一、二轮都要获胜，则 3 = 7 × 4 × 4 = 28．
1 1 1
综上，第 1 轮相遇的概率为7，第 2 轮相遇的概率为14，第 3 轮相遇概率为28．
(3)记比赛的轮次为事件 ( = 1,2,3 )，甲乙在比赛过程中相遇的事件为 ，
要使甲乙能在第 轮相遇，
1 2 1
则甲乙必须得在同一个( 2 )
1区内的不同半区，概率为2 1，
同时甲乙在前 1 轮都要获胜，
2 1 ( ) = × ( 1所以 1 1 1 2 1 2 ) × ( 2 ) =
1 1 1
2 1 × ( 2 ) ，
1 1
所以甲乙相遇的概率为 ( ) = 12 1 =1 ( 2 )
1 1 (
1)
= 2 12 1 × = ．1 1 2 12
要使得甲乙相遇的概率小于 0.001 1，即 < 0.001，即2 12 1 > 1000，
又因为 为整数，所以最小的 值为 11．
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19.(1) 1 由题意，函数 ( )的定义域为 ， ′( ) = ，
令 ′( ) = 0，得 = 1，
则 ′( )， ( )随 的变化情况列表如下：
( (1, ∞, 1) 1 + ∞)
′( ) + 0
( ) 增函数 极大值减函数
∴ ( )的极大值为 (1) = 1 + ，
( ) = 1 + 的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 2 ，
令 ′( ) = 0，得 = ，
′( )， ( )随 的变化情况列表如下：
(0, ) ( ,+ ∞)
′( ) + 0
( ) 增函数极大值减函数
∴ ( ) 1的极大值为 ( ) = + ，
∴ 2( 1 + ) = 2 2 ，解得 = ．
(2)由题意可知： < ， 1 1 + =
2 1 2
+ = ，即 1 = = < 0，2 2
∴ 1 < 0， 2 < 0，即 1 < 0 且 0 < 2 < 1，

又∵ 1 2 2 1 = = ，2 2
设 ( ) = ，由(1)知 ( )在( ∞,1)上单调递增，∴ 1 = 2，
2
1
2 = 2
2
2 (0 < 2 < 1)

，令 ( ) = 2 (0 < < 1)，
( ) = 1 1 = 2 1则 ′ 2 2 ，
1
在(0, 2 )上， ′( ) < 0， ( )单调递减，
( 1在 2 , 1)上， ′( ) > 0， ( )单调递增，
∴ ( ) = ( 1 ) = 1 + 2 1 1 2 2 2 2 ，即 2 2的最小值为2 + 2 ；
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(3) ( )存在唯一的点对关于(1, )对称，理由如下：
假设存在，设 (1 , (1 ))， (1 + , (1 + ))， > 0，
于是 (1 ) + (1 + ) = 2 ，
1
得 1 +
1+
1+ = 0，即(1 ) + (1 + ) = 0，
令 ( ) = (1 ) + (1 + ) ，则 ′( ) = ( + ) < 0，
∴ ( ) (0, + ∞) (1) = 2在 上单调递减， > 0, (2) =
2 + 3 2 < 0，
由零点存在性定理可知 0 ∈ (1,2)，使得 ( 0) = 0，
即存在唯一的点对 ， 关于(1, )对称．
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